2025-2026学年上海上师闵分校高二上学期数学期末试卷（含答案）

上师闵分宝分2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______．
2.球的体积是，则球的表面积是______．
3.管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼．
4.已知，则______．（用数字作答）
5.已知直线经过点，与直线夹角为，直线的方程
为______．
6.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______．
7.现从编号为01，02，…，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为______（以下摘自随机数表第7行）．
39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
8.某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为______．
9.已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______．
10.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______．
11.在棱柱中，底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角为______．
12.数列满足：，且，集合或．若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”．“好的”数列的个数为______．
二、选择题（本题共4个小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，，，
14.某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励．加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（ ）
A.平均数 B.中位数 C.第80百分位数 D.方差
15.有一四边形，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币；如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（ ）
A. B. C. D.
16.已知点为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点有且只有一个平面与和都平行；
：过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A.命题是真命题，命题是假命题 B.命题是假命题，命题是真命题
C.命题、都是真命题 D.命题、都是假命题
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21每题18分，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示）
18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（，，，，），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求、的值；
（2）从样本数据在，两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知一条动直线，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标．
（2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面PBC的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则．区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量．已知在三棱锥中，记，，．
（1）若，，求，；
（2）①向量是即有大小又有方向的量．试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）.
②若，，，求直线与平面的所成角的大小；
（3）证明，并用表示三棱锥的体积．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.①③； 11. 12.
11.在棱柱中，底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角为______．
【答案】
【解析】
∵底面是平行四边形，
，故，故答案为
12.数列满足：，且，集合或．若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”．“好的”数列的个数为______．
【答案】
【解析】由题意，要，则需满足,
即，即，
由已知数列为递增数列，，则有，
设，则，又，则，则；
，则，则，所以，
则整数个数为，则＂好的＂数列的个数为1926．故答案为：1926.
二、选择题
13.C 14.C 15.B 16.A
15.有一四边形，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币；如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，共有种情况，要从出发沿着尚未擦去的边能到达点，
若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况；
若保留两条边，则可保留也可擦去，共有2种情况（其中有一种情况与上面重复）．
则要从出发沿着尚未擦去的边能到达点，共有7种情况.
∴可以到达点的概率为．故选B.
16.已知点为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点有且只有一个平面与和都平行；
：过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A.命题是真命题，命题是假命题 B.命题是假命题，命题是真命题
C.命题、都是真命题 D.命题、都是假命题
【答案】A
【解析】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，
和是正方体的边，且与异面．
对于命题，依题意知，过作的平行线，
过作的平行线，由于和异面，则和相交于点，
从而由和确定平面．
假设与相交．
记共面．
过点有且仅有，共面，
∴共面，即平面，这与在正方体内部不符，
故假设不成立，不在内．同理不在内．
∵．
假设存在不同于的平面满足，
则存在直线满足，且．
①若且，∵，
又∵，∴．同理可得，与假设不符．
②若且过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，
∴，与假设不符．
③若且，记
，与假设不符，
同理且时也不符，假设不成立，即有且只有平面满足要求，是真命题.
对于命题，假设至少存在不同直线过点且与和所在直线都相交．
记确定平面，
且，，
与和异面矛盾，假设不成立，命题是假命题．故选A．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2） （3）平均数为88，方差为19
19.（1）证明略，定点为 （2）
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面PBC的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
【答案】（1）2 （2） （3）
【解析】（1）根据离散曲率的定义得：
，
所以．
（2）因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，即，
又，即，所以,
过点作于点，因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
所以点到平面的距离为线段的长，
在Rt中,即点到平面的距离为；
（3）过点作交于点，连接，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
依题意可得
所以
设
在中，
得，所以
所以，所以，
解得或（舍去），故．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则．区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量．已知在三棱锥中，记，，．
（1）若，，求，；
（2）①向量是即有大小又有方向的量．试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）.
②若，，，求直线与平面的所成角的大小；
（3）证明，并用表示三棱锥的体积．
【答案】（1），；
（2）①的方向是平面的法向量； ② （3）证明见解析，
【解析】（1）因为，所以，
所以
（2）①的方向是平面的法向量；
因为，
所以
所以的方向是平面的法向量；
②因为所以，
设平面的法向量为，则，则，
设，则，
则直线与平面的所成角的正弦值为
则直线与平面所成角的大小为．
（3）证明：
由题意知点到平面的距离为