2025-2026学年上海上师大附中高一上学期数学期末试卷（含答案）

上师大附中2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分）
1. 已知全集，，则=_________.
2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为_________.
3. 化简： （其中）．
4. 已知角的终边经过点，则_________．
5. 已知函数，则函数的值域为________．
记，则_______.
7. 若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________．
8. 已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数的取值范围为_________.
9. 在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒．
10. 已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________.
11. 已知函数，若存在使得，则_________.
设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________．
二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分）
13. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．以上均不对
14. 函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
15. 设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的
是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
16. 函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：
命题①：方程没有实数根；
命题②：存在实数，使得当且时，都有．
则下列选项中正确的是（ ）
A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题
三、解答题（共78分）
17. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）
已知幂函数，且在区间上是严格增函数．
（1）求的值；
（2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式．
18. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）
某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
19.本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
20.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和.
（1）求的表达式；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
21.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”．
（1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）；
（2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式；
（3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：
：函数满足“关联”，且满足“关联”；
：函数满足“关联”.
判断是的什么条件，并证明你的结论.
上师大附中2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（第1~6题，每小题4分，第7~12题，每小题5分，共54分）
1. 已知全集，，则=_________.
【答案】
2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为_________.
【答案】
3. 化简： （其中）．
【答案】
4. 已知角的终边经过点，则_________．
【答案】
5. 已知函数，则函数的值域为________．
【答案】
记，则_______.
【答案】1
7. 若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________．
【答案】
8. 已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数的取值范围为_________.
【答案】或.
9. 在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为 秒．
【答案】
10. 已知函数，若恒成立，则实数的最小值为_____________.
【答案】
11. 已知函数，若存在使得，则_________.
【答案】或
设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________．
【答案】
【解析】记集合，．由题意得，
①当时，，，
从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意
②当时，，，
从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意；
综上，的取值为或．
二．选择题（第13~14题，每小题4分，第15~16题，每小题5分，共18分）
13. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．以上均不对
【答案】A
14. 函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
15. 设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
16. 函数，其中表示不超过的最大整数．给出以下两个命题：
命题①：方程没有实数根；
命题②：存在实数，使得当且时，都有．
则下列选项中正确的是（ ）
A．①、②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①、②均为假命题
【答案】A
三、解答题（共78分）
17. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）
已知幂函数，且在区间上是严格增函数．
（1）求的值；
（2）设定义域为的函数为奇函数，当时，，求的表达式．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或.
当时，在上是严格减函数，所以不符合题意；
当时，在上是严格增函数，所以符合题意.故.
（2）当时，，又，解得，
时，，
当时，，因为为奇函数，
所以，又，
18. 本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）
某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
【答案】（1）选模型③ （2）万元．
【解析】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误，
由图可知，该函数的增长速度由快变慢，
对于模型②，指数型的函数增长速度是由慢变快，故②错误，
对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选模型③
（2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，
则，解得，故所求函数为，
因为总奖金不少于9万元，
所以，即，解得，
所以至少应完成销售利润万元．
19.本题满分14分（第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由
（）
因为，所以，
所以
；
（2）由题知，代入原式得，
整理得，即，①
又，可得，
，所以，，代入①得，，
由，得 .
20.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知（），函数在区间上的最小值和最大值分别是和.
（1）求的表达式；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）函数，
因为，所以在区间上严格增，所以，即，解得，
；
（2）方程有两个不相等的实数根，
得方程有两个不相等的实数根，
令，则关于的一元二次方程有两个不相等的正实根，
，；
（3）令，由在上恒成立，
得恒成立，得恒成立，
即，恒成立，
令，，在上严格增，，
令，，可得，.
21.本题满分18分（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
对于定义域为的函数，以及集合，若对任意的，都有成立，则称：函数满足“关联”．
（1）若，分别判断函数是否满足“关联”，“关联”（无需说明理由）；
（2）若定义域为的函数满足“关联”，且当时，，解不等式；
（3）已知对于定义域为的函数，有如下的两个陈述句：
：函数满足“关联”，且满足“关联”；
：函数满足“关联”.
判断是的什么条件，并证明你的结论.
【答案】（1）见解析 （2） （3）是的充要条件，证明见解析
【解析】（1）满足“关联”，不满足“关联”；
（2）满足“关联”，对于任意，都有，
即对于任意，都有，即，即，
当时，，，
令，解得；当时，，
令，解得；
当时，总存在，使得，
则，无解；
当时，总存在，使得，
则,无解；
综上所述，不等式的解是；
（3）充要条件，证明如下
①若函数满足“关联”，
即对于任意，都有
，，
又是关联的，任取，成立，即是增函数，
任取，则，
，，
，满足“关联”，
是的充分条件；
②若函数满足“关联”
即对于任意，都有成立，
当，都有即
若存在使得，
则，
这与满足，都有相矛盾，
所以成立，即满足“关联”，
任取则存在，使得任取
因为，
又因为满足“关联”，，
所以，
即，所以满足“关联”,
是的必要条件.
综上所述：是的充要条件.