上海师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

上师大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．用集合符号表示：直线在平面上 ．
2．食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有 种．
3．直线的倾斜角的大小为 ．
4．体积为的球的表面积是 ．
5．若椭圆的左焦点在在物线的准线上，则的值为 ．
6．如图，的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，那么的面积为 ．
7．如图，直角梯形中，，该图形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
8．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆球的表面积为 ．
9.在正七棱锥中，直线过中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，满足条件的的条数为 ．
10．如图，有一个无限延伸的大斜坡（没有边界，坡面可视为平面），大斜坡上方悬停着一个，小明拿出新型设备搜集到了大斜坡上三个点的坐标分别为、和，同时测得的坐标为，为了在最近距离观察，小明应该站在大斜坡上的哪个位置？ ．（填坐标，为了简化模型，和小明都可视为点）
11．已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是 ．
12．已知是空间中三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分）
13．四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（ ）种.
A．12 B．16 C．81 D．256
14．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得.已知，则的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，斜线段与平面所成的角为为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．圆物线 D．以上都不对
三、解答题（本题共5大题，满分78分）
17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线与圆．
（1）求直线到直线的距离；
（2）若三个点在圆上，求圆的圆心和半径．
18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，四棱锥中，平面，
，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为＂盾圆＂．
（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程；
（2）如图，已知＂盾圆＂的方程为设＂盾圆＂上的任意一点到的距离为到直线的距离为，求证：为定值．
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在三棱柱中，，，点为棱的中点，点中线段上的一动点，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为，求的最大值．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点在第一象限，直线与轴交于点，设点的坐标为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设．若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
（3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
上师大附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．用集合符号表示：直线在平面上 ．
【答案】
2．食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有 种．
【答案】
3．直线的倾斜角的大小为 ．
【答案】
4．体积为的球的表面积是 ．
【答案】
5．若椭圆的左焦点在在物线的准线上，则的值为 ．
【答案】
6．如图，的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，那么的面积为 ．
【答案】
7．如图，直角梯形中，，该图形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
【答案】
8．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆球的表面积为 ．
【答案】
9.在正七棱锥中，直线过中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，满足条件的的条数为 ．
【答案】
10．如图，有一个无限延伸的大斜坡（没有边界，坡面可视为平面），大斜坡上方悬停着一个，小明拿出新型设备搜集到了大斜坡上三个点的坐标分别为、和，同时测得的坐标为，为了在最近距离观察，小明应该站在大斜坡上的哪个位置？ ．（填坐标，为了简化模型，和小明都可视为点）
【答案】
11．已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】曲线上存在四个点满足四边形是正方形，
可设，由对称性可得，
则，即，即，由曲线的方程可得，
即有解，即有，可得，解得或，
12．已知是空间中三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
【答案】
二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分）
13．四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（ ）种.
A．12 B．16 C．81 D．256
【答案】C
14．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得.已知，则的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
16．如图，斜线段与平面所成的角为为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．圆物线 D．以上都不对
【答案】B
三、解答题（本题共5大题，满分78分）
17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线与圆．
（1）求直线到直线的距离；
（2）若三个点在圆上，求圆的圆心和半径．
【答案】（1）；
（2）由题设，可得，
所以圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为．
18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，四棱锥中，平面，
，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：取中点，连接，
由于是的中点，则，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于上，平面，所以平面
（2）
19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为＂盾圆＂．
（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程；
（2）如图，已知＂盾圆＂的方程为设＂盾圆＂上的任意一点到的距离为到直线的距离为，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）设＂盾圆＂上的任意一点的坐标为．
当时，，
即；
当时，，
即.所以为定值．
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在三棱柱中，，，点为棱的中点，点中线段上的一动点，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）设直线与平面、平面、平面所成角分别为，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【详解】（1）如图，因为，所以，连接，
因，则为等边三角形，
又点为棱的中点，故，因平面，
故平面，因面，故．
（2）由（1）得：，则即为二面角的平面角，
因是边长为2的等边三角形，则，
由，可得，
又平面，故平面，
因平面，则
在中，因，则．
所以二面角的大小为．
（3）由（1）、（2）得：，
因平面，则得平面，
又平面，则可得，且，
设，则，过点作的垂线，垂足为，
因平面平面，则
因平面，故平面，所以，
在中，，在中，，
在中，，在中，，
所以
（其中是锐角，满足）
由题意，是线段上的一动点，且，
在Rt中，，则，
因，则，即
故当时，即时，
取得最大值为．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点在第一象限，直线与轴交于点，设点的坐标为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设．若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
（3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【详解】（1）根据题意：，故，离心率
（2）由与面积相等，可知与面积相等，
即，根据比例可知是的中点．
而，故在椭圆上，代入解得，
故直线的方程为，因此到直线的距离为．
（3）设直线的表达式为，
由于在第一象限，故，联立，
得．故，
取的中点，即，代入化简，
得，即在上有两个不相等的零点
有，代入解得.