上海市浦东新区2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（含答案）

浦东新区2025-2026学年第一学期高一年级数学期末统考
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．函数，且恒过的定点为 ．
2．函数的定义域为 ．
3．函数是奇函数的充要条件是 ．
4．已知方程的两个根为，则 ．
5．已知，则 ．（用数字作答）
6．若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ．
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
8．已知，则 ．
9．某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）．则至少需要 米栅栏.
10．已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为 ．
11．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖．已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要的天数为 ．（结果四舍五入取整）
12．设函数，关于的方程有三个不等实根，，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．
13．命题＂＂是命题＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
14．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（ ）.
A． B． C． D．
15．函数的图像大致为（ ）.
16．已知定义在上的偶函数在上严格递增，记函数.对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格递增；
②存在函数，函数在上严格递减.则（ ）.
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知全集，集合．
（1）求；
（2）求．
18．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
已知函数．
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数在上严格递增．
20．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
某公司打算在2025年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2026年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）已知2026年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2026年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
21．（本题满分12分，第（1）问2分，第（2）问4分，第（3）问6分）
已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖．已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要的天数为 ．（结果四舍五入取整）
【答案】
【解析】由题意知，且当时，，即①，
当时，，即②，联立①②，解得．
不设设繁殖天后数量达到200，则有③，联立①③可得，
即，所以，所以，即要使数量达到200大约需要22天.
12．设函数，关于的方程有三个不等实根，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】画出函数的图象，如图所示：
结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与函数的图象三个交点的横坐标，
其中两个交点位于二次函数图象上，另一个交点位于一次函数图象上，
不设设，显然关于对称，故，
令，解得，令，解得
显然一次函数图象上的交点在和以及的交点和之间，
故，所以．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.D 15.B 16.A
16．已知定义在上的偶函数在上严格递增，记函数.对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格递增；
②存在函数，函数在上严格递减.则（ ）.
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】A
【解析】，∴是奇函数，
∴在上的单调性与在上的单调性相同.
①若，则，显然在上是增函数，故命题①为真命题；
②若当时，，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，故命题②正确．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）奇函数，理由略 （2）证明略
20．（本题满分10分，第（1）问4分，第（2）问6分）
某公司打算在2025年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2026年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）已知2026年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2026年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
【答案】（1）
（2）当2026年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
【解析】（1）当时，－；
当时，；
当时，.
所以的函数解析式为
（2）当时，；
当时，，当且仅当时取等号；
当时，，当且仅当，即时取等号，
则.而，
所以当2026年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
21．（本题满分12分，第（1）问2分，第（2）问4分，第（3）问6分）
已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）当时，
因为，所以的值域为.
（2）因为对任意，不等式恒成立，所以
即对任意恒成立，
则，解得．
故实数的取值范围为．
（3）设函数在区间的值域为在区间上的值域为．
因为对任意，存在，使得，所以．
当时，，即函数在区间的值域．
函数图象的对称轴为直线，
当时，在上单调递增，故，
易知不是的子集，不符合题意；
当时，在上单调递减，故，
要使，则，解得．
综上，实数的取值范围是．