上海市浦东新区2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

浦东区2025-2026学年第一学期高二年级数学期末统考
一、填空题（本大题满分34分）本大题共有10题，1-6题每个空格填对得3分，7-10题每个空格填对得4分.
1．已知，则 ．
2．已知正方体棱长为2，则直线到平面的距离为 ．
3．为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行调查，已知高一学生有400人，高二学生有500人，高三学生有600人，则应抽取的高三学生人数为 ．
4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为 ．
5．从字母中任取两个，取到字母的概率为 ．
6．如图，在一个半径为2的半圆面内剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ．
7．某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是1.5h．请问，在前面这个情境中本次调查的总体是 ．
8．已知平面平面，点在平面上，点在平面上，如果，且在上的射影长分别为5和9，则与的距离为 ．
9．在某次体检中，高二（1）班17名男生的平均身高为173.1cm，方差为25.9；16名女生平均身高为161.3cm，方差为23.3．则高二（1）班33名同学的方差为 ．（精确到0.1）
10．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，11-12题每题选对得3分，13-14题每题选对得4分.
11．若是异面直线，则下列结论不正确的是（ ）.
A．一定存在平面与都垂直 B．一定存在平面与都平行
C.一定存在平面与所成角都相等 D.一定存在平面与的距离都相等
12．如图，一组数据的平均数为5，方差为，去除这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）.
A． B．
C． D．
13．在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（ ）.
A．若两个事件可以同时发生，则事件与独立；
B．若，则事件是事件的对立事件；
C．若，则事件不是事件的互斥事件；
D．依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系．
14．三棱锥中，，以下选项中不正确的是（ ）.
A．面积最大值为； B．面积没有最大值；
C．三棱锥体积最大值为； D．异面直线与所成的角可能等于
三、解答题（本大题满分52分）
15．（本题共2小题，第（1）小题5分、第（2）小题5分）
如图，正方体分别是的中点．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）证明：平面．
16．（本题共2小题，第（1）小题4分、第（2）小题6分）
为了解公众对＂延迟退休＂的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
（1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
（2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者男性和女性中分别独立随机选取1人进行跟踪调查，求被选中的2人都是投赞成票的概率.（结果用最简分数表示）
17．（本题共2小题，第（1）小题4分、第（2）小题6分）
如图，圆柱轴截面是边长为2的正方形，动点在底面圆周上，是母线的中点．
（1）求圆柱的体积与表面积；
（2）求四面体的体积的最大值及此时的大小．
18．（本题共2小题，第（1）小题4分、第（2）小题6分）
兴趣小组在折纸活动中将矩形纸片沿着对角线翻折至二面角的大小为处（如下图）．
（1）若纸片是正方形，请证明：；
（2）已知，若与面所成的角为，请求出的近似值（精确到）．
19．（本题共2小题，第（1）小题6分、第（2）小题6分）
在学校科技节中甲、乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立．
（1）若甲、乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率；
（2）若甲、乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.该校所有学生评平均每天用于锻炼的时间; 8.; 9.; 10.；
10．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，取中点，过作平面，为上一点，可得，故，对于点，当时，最小，
此时由，可知为等腰直角三角形，，
故，
则的最小值为2，故答案为：2．
二、选择题
11.A 12.D 13.C 14.D
三、解答题
15.（1） （2）证明略
16.（1）44.5 （2）
17.（1） （2）
18．（本题共2小题，第（1）小题4分、第（2）小题6分）
兴趣小组在折纸活动中将矩形纸片沿着对角线翻折至二面角的大小为处（如下图）．
（1）若纸片是正方形，请证明：；
（2）已知，若与面所成的角为，请求出的近似值（精确到）．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）设中点为，连接
因为四边形是正方形，所以
又因为平面，所以平面
因为平面，所以
（2）设，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量为，则
由得，将代入得
令，则，
已知与面所成的角为，根据线面角的向量公式，
可得，即，两边同时平方可得
等式两边同时乘以得，即，
移项可得，则，所以，即
19．（本题共2小题，第（1）小题6分、第（2）小题6分）
在学校科技节中甲、乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立．
（1）若甲、乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率；
（2）若甲、乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意可知满足题意的情况为甲通过且乙未通过，甲乙均通过，甲乙均未通过，故所求概率为．
（2）设甲通过次数为，乙通过次数为，则，
而，其中，且相互独立．
则．
因此，
由独立同分布，故设，
则，因此，即所求概率为．