上海市奉贤区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

上海市奉贤区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.下面图象中，不能表示函数的是（）
A. B.
C. D.
3.设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数，其中，对于下列两个命题：①若关于的方程有解，则；②若，则恒成立．则下列结论正确的是（ ）
A. ①真命题②假命题 B. ①真命题②真命题 C. ①假命题②真命题 D. ①假命题②假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ．
6.已知方程的两根为、，则 ．
7.函数的定义域是 ．
8.已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为 ．
9.已知两实数、满足，则的最小值为 ．
10.已知，，则 ．
11.定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数 ．
12.不等式的解为 ．
13.如图，扇环的两条弧和的长分别为36 cm，12cm，的长度为8 cm，则扇环的面积为 cm2．
14.某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．

过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离 m．
15.如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则 ．
16.已知函数，其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
设全集为，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
18.(本小题14分)
已知是角终边上一点，且．
(1)求实数的值；
(2)若．求．
19.(本小题14分)
浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡(观光或消费),某校数学建模社团根据调查发现: 该购物中心开业一个月内(以30天计),每天打卡人数P(x)与第x天近似地满足函数P(x)=8+(万人),k为正常数,且第8天的打卡人数为9万人.
(1)经调查, 打卡市民(含观光) 的人均消费C(x)(元) 与第x天近似地满足下表:
x(天) 10 14 18 22 26 30
C(x)(元) 131 135 139 143 139 135
现给出以下三种函数模型:C(x)=ax+b,C(x)=a|x-22|+b,C(x)=+b.请你根据上表中的数据, 从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民(含观光) 的人均消费C(x)(元) 与第x天的关系,并求出该函数的解析式;
(2)确定k的值, 并在问题(1) 的基础上, 求出该购物中心日营业收入f(x)(1x30, x为正整数) 的最小值(单位:万元).
(注: 日营业收入=日打卡人数P(x)人均消费C(x)).
20.(本小题18分)
已知函数的表达式为．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若是上的奇函数，求的值；
(3)若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数．
21.(本小题18分)
设函数，其中．
(1)求函数的定义域与值域；
(2)若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由；
(3)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】 /
11.【答案】0
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】4
17.【答案】解：（1）不等式等价于，解得，
集合．
（2）当时，无实数解，故，满足，故满足条件；
当时，由得，解得，
即，已知，
，解得，
，
综上，的取值范围是．

18.【答案】解：（1）依题意，化简得且，
解得．
（2）由（1）可知，所以，
所以
.

19.【答案】解：(1)由表格,可知C(x)的值先增大,后减小,所以显然,函数模型满足要求,
又由表格可知C(10)=131,C(14)=135,
代入C(x)=a|x-22|+b,得,解得a=-1,b=143,
所以C(x)=-|x-22|+143.
(2)因为第8天的打卡人数为9万人,所有P(8)=8+=9,解得k=8.
易知f(x)=P(x)C(x)=(8+)(143-|x-22|),
当22x30且x为正整数时,f(x)=8(1+)(165-x)=8(164-x+),
因为f(x)为严格减函数,所以f(x)f(30)=1116;
当1x21且x为正整数时,f(x)=8(1+)(121+x)=8(122+x+),
所以f(x)=8(122+x+)8=1152，当且仅当x=11时等号成立.
综上知, 该商场在第30天时日营业收入最小, 最小为1116万元
20.【答案】解：（1）当时，，
则不等式可化为.
因为恒成立，
得到.
即.
因式分解得，
不等式的解集为.
（2）因为是上的奇函数，所以
将代入，解得，
当时，，其定义域为关于原点对称，
且，
满足奇函数的定义，因此.
（3）当时，，
设，且.
展开分子：
因为，且，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
因此，函数在上是严格减函数.

21.【答案】解：（1）因为，所以，那么，即函数的值域为
所以函数的定义域为，值域为.
（2）已知，
则，
所以函数关于点对称.
（3）已知，则，
所以.
令，当时，，
则函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解.
由，可得
令，则，且
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增.
当时，；当时，，
所以，即实数的取值范围是.

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