2025-2026学年湖南省岳阳市湘阴县高二（上）期末数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年湖南省岳阳市湘阴县高二（上）期末数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 83.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年湖南省岳阳市湘阴县高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列{an}的公差为-3，则a11-a2=（ ）
A. 3 B. -9 C. -27 D. 30
3.已知抛物线y2=2px上一点A（1，m）到其焦点的距离为4，则p=（ ）
A. 3 B. -3 C. 6 D. ±6
4.已知向量与共线，则a+b=（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 6
5.已知圆O1：（x+2）2+y2=4与圆O2：（x-2）2+（y+3）2=8，则两圆（ ）
A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离
6.已知，，则平面ABC的一个法向量的坐标为（ ）
A. （1，2，-1） B. （-1，2，1） C. （1，-2，1） D. （-1，-2，1）
7.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x-y+a=0，l2：2x-y+a2+1=0，和圆x2+y2+2x-4=0相切，则a的取值范围是（ ）
A. a＞7或a＜-3 B. a＞或a＜-
C. a≥7或a≤-3 D. -3≤a≤-或≤a≤7
8.若椭圆C1和C2的方程分别为=1（a＞b＞0）和=λ（a＞b＞0，λ＞0且λ≠1），则称C1和C2为相似椭圆，已知椭圆C1：=1，C2：=λ（0＜λ＜1），过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且=，则△MON的面积最大时，λ的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列数列中，是等差数列的是（ ）
A. 1，4，7，10 B. lg2，lg4，lg8，lg16
C. 25，24，23，22 D. 10，8，6，4，2
10.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BD，CC1的中点，若点G满足（0≤λ≤1，0≤μ≤1），则（ ）
A. G∈平面ADD1A1
B. 当λ=μ=1时，AG∥平面BDF
C. 当λ=μ=1时，EG⊥平面BDF
D. 当时，点G到平面BDF的距离为
11.我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（CassiniOval）.在平面直角坐标系xOy中，两个定点F1（-2，0），F2（2，0），M，N是平面上的两个动点，设满足|MF1| |MF2|=t＞0的M的轨迹为一条连续的封闭曲线C1，满足|NF1|+|NF2|=6的N的轨迹为一条连续的封闭曲线C2，则（ ）
A. C1关于x轴、y轴对称 B. 当M不在x轴上时，||MF1|-|MF2||＞4
C. 当t=5时，M纵坐标的最大值大于1 D. 当C1，C2有公共点时，5≤t≤9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆x2+y2-10x-10y=0和圆x2+y2-6x+2y-40=0的公共弦长是______．
13.已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），且∥，则向量+与-的夹角是______．
14.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则|MF|+2|NF|的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为是首项和公差均为1的等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知直线l：x-my+1=0（m∈R）与圆E：（x-a）2+（y-1）2=4（a∈R）交于M，N两点.
（1）当m=1时.
（i）若a=0，求|MN|；
（ii）求a的取值范围.
（2）记坐标原点为O，若OE∥MN，求四边形OEMN面积的最大值.
18.(本小题17分)
已知椭圆上有点，左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点M，N满足kQM+kQN=1，求证：直线MN恒过定点．
19.(本小题17分)
已知A，B分别为椭圆Γ：的左顶点和下顶点，T为直线x=3上的动点.
（1）求的最小值；
（2）设直线TA与椭圆Γ的另一交点为D，直线TB与椭圆Γ的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标；
（3）已知直线l：（k≥0）与圆F：交于M，N两点，与椭圆Γ交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k,使得（|NQ|-|MP|） d2取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】90°
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意可得，E（a,x,0），F（a-x,a,0）．
（2）证明：∵A1（a,0，a），C1（0，a,a），
∴，，
∴=-ax+a（x-a）+a2=0，
故A1F⊥C1E．
16.【答案】an=2n-1；
．
17.【答案】（1）（i）|MN|=4；（ii）（，） （2）
18.【答案】解：（1）根据椭圆定义得，，即，c=1，
∴，
故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y=kx+t,
则由题意得，将y1=kx1+t,y2=kx2+t,
代入整理得（2k-1）x1x2+（t-1）（x1+x2）=0（*），
将y=kx+t代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
需满足Δ=8（2k2-t2+1）＞0，则，
代入（*）式得，
整理得（t-1）（2k-t-1）=0，
当t-1=0时，直线MN过B点，不合题意；
故2k-t-1=0，直线MN的方程为y=kx+2k-1=k（x+2）-1，
故此时直线MN过定点（-2，-1）；
当直线MN斜率不存在时，设直线MN方程为x=s,
代入，可得，
不妨设，
由kQM+kQN=1，可得，解得s=-2，
此时直线MN方程为x=-2，也过定点（-2，-1），
综合上述，直线MN过定点（-2，-1）．
19.【答案】（1） （2） （3）
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一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列{an}的公差为-3，则a11-a2=（ ）
A. 3 B. -9 C. -27 D. 30
3.已知抛物线y2=2px上一点A（1，m）到其焦点的距离为4，则p=（ ）
A. 3 B. -3 C. 6 D. ±6
4.已知向量与共线，则a+b=（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 6
5.已知圆O1：（x+2）2+y2=4与圆O2：（x-2）2+（y+3）2=8，则两圆（ ）
A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离
6.已知，，则平面ABC的一个法向量的坐标为（ ）
A. （1，2，-1） B. （-1，2，1） C. （1，-2，1） D. （-1，-2，1）
7.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x-y+a=0，l2：2x-y+a2+1=0，和圆x2+y2+2x-4=0相切，则a的取值范围是（ ）
A. a＞7或a＜-3 B. a＞或a＜-
C. a≥7或a≤-3 D. -3≤a≤-或≤a≤7
8.若椭圆C1和C2的方程分别为=1（a＞b＞0）和=λ（a＞b＞0，λ＞0且λ≠1），则称C1和C2为相似椭圆，已知椭圆C1：=1，C2：=λ（0＜λ＜1），过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且=，则△MON的面积最大时，λ的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列数列中，是等差数列的是（ ）
A. 1，4，7，10 B. lg2，lg4，lg8，lg16
C. 25，24，23，22 D. 10，8，6，4，2
10.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BD，CC1的中点，若点G满足（0≤λ≤1，0≤μ≤1），则（ ）
A. G∈平面ADD1A1
B. 当λ=μ=1时，AG∥平面BDF
C. 当λ=μ=1时，EG⊥平面BDF
D. 当时，点G到平面BDF的距离为
11.我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（CassiniOval）.在平面直角坐标系xOy中，两个定点F1（-2，0），F2（2，0），M，N是平面上的两个动点，设满足|MF1| |MF2|=t＞0的M的轨迹为一条连续的封闭曲线C1，满足|NF1|+|NF2|=6的N的轨迹为一条连续的封闭曲线C2，则（ ）
A. C1关于x轴、y轴对称 B. 当M不在x轴上时，||MF1|-|MF2||＞4
C. 当t=5时，M纵坐标的最大值大于1 D. 当C1，C2有公共点时，5≤t≤9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆x2+y2-10x-10y=0和圆x2+y2-6x+2y-40=0的公共弦长是______．
13.已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），且∥，则向量+与-的夹角是______．
14.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则|MF|+2|NF|的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为是首项和公差均为1的等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知直线l：x-my+1=0（m∈R）与圆E：（x-a）2+（y-1）2=4（a∈R）交于M，N两点.
（1）当m=1时.
（i）若a=0，求|MN|；
（ii）求a的取值范围.
（2）记坐标原点为O，若OE∥MN，求四边形OEMN面积的最大值.
18.(本小题17分)
已知椭圆上有点，左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点M，N满足kQM+kQN=1，求证：直线MN恒过定点．
19.(本小题17分)
已知A，B分别为椭圆Γ：的左顶点和下顶点，T为直线x=3上的动点.
（1）求的最小值；
（2）设直线TA与椭圆Γ的另一交点为D，直线TB与椭圆Γ的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标；
（3）已知直线l：（k≥0）与圆F：交于M，N两点，与椭圆Γ交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k,使得（|NQ|-|MP|） d2取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】90°
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意可得，E（a,x,0），F（a-x,a,0）．
（2）证明：∵A1（a,0，a），C1（0，a,a），
∴，，
∴=-ax+a（x-a）+a2=0，
故A1F⊥C1E．
16.【答案】an=2n-1；
．
17.【答案】（1）（i）|MN|=4；（ii）（，） （2）
18.【答案】解：（1）根据椭圆定义得，，即，c=1，
∴，
故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y=kx+t,
则由题意得，将y1=kx1+t,y2=kx2+t,
代入整理得（2k-1）x1x2+（t-1）（x1+x2）=0（*），
将y=kx+t代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
需满足Δ=8（2k2-t2+1）＞0，则，
代入（*）式得，
整理得（t-1）（2k-t-1）=0，
当t-1=0时，直线MN过B点，不合题意；
故2k-t-1=0，直线MN的方程为y=kx+2k-1=k（x+2）-1，
故此时直线MN过定点（-2，-1）；
当直线MN斜率不存在时，设直线MN方程为x=s,
代入，可得，
不妨设，
由kQM+kQN=1，可得，解得s=-2，
此时直线MN方程为x=-2，也过定点（-2，-1），
综合上述，直线MN过定点（-2，-1）．
19.【答案】（1） （2） （3）
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