2025-2026学年高一下学期期中复盘卷【高一下学期期中备考研习室】广东卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年高一下学期期中复盘卷【高一下学期期中备考研习室】广东卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 912.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年高一下学期期中复盘卷【高一下学期期中备考研习室】广东卷
一、单项选择题：本大题共5小题，共25分。
1.菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. C. D.
3.已知，为非零向量，则“存在实数λ，使＝λ”是“|＋ |＝| |＋| |”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点为内一点，满足，若，则（ ）
A. -2 B. C. D. 2
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. (4，2) B. (2，4) C. D. (1，2)
二、多项选择题：本大题共2小题，共10分。
6.下列说法正确的是（）
A. 若，，则的最小值为6
B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
C. 在中，若，则为钝角三角形
D. 在平行四边形中，若，则四边形ABCD为矩形
7.如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为2
D. 若，则当B，O，P三点共线时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
8.已知非零向量满足，则向量与的夹角为 .
9.设P，A，B在一条直线上，O在该直线外，已知，则x等于 ．
10.已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 .
11.为圆O的一条弦，且，则的值为 .
四、解答题：本题共4小题，共95分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题20分)
球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为．
(1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；
(2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；
(3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围．
13.(本小题25分)
《九章算术 商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云 中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.
(1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比；
(2)若，：
①在右图（图二）中，求三棱锥的高.
②求三棱锥外接球的体积.
14.(本小题25分)
如图，，分别为长方体的棱，的中点.
(1)求证，
(2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比.
15.(本小题25分)
求下列几何体的体积或表面积
(1)长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积；
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，求这两个圆锥的体积之和；
(3)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】AD
7.【答案】ACD
8.【答案】
9.【答案】2
10.【答案】
11.【答案】2
12.【答案】解：（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，依题意得球冠面积为，
所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为.
（2）设圆锥半径为，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，即，
消去，得，
整理得，而，所以.
（3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为，
则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件，
当顶点在圆锥底面圆周上时，，得，
当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”，
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上，
即，且，又，所以.
13.【答案】解：（1）如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥，
设，，，则，，
于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2.
（2）①，，
等腰的面积，
设三棱锥的高为，由，得，
解得，所以三棱锥的高为.
②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥外接球的半径为，则
所以三棱锥外接球的体积.
14.【答案】解：（1）
如图所示，连接，
是长方体，，分别为棱，的中点，
由长方体的性质可知且
，
四边形都是平行四边形，
，
又因为角的两边与，与方向相同，
所以由等角定理可知，；
（2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体.
设正方体的棱长为，
正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，
所以，即.
所以正方体的体积，
球的体积，
所以该几何体（正方体）与其外接球的体积之比为
.
15.【答案】解：（1）设外接球的半径为，
可知外接球直径即为长方体的体对角线，则，
所以球的表面积为.
（2）如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，
则，可得，，
因为，则，可得，
又因为，则，
可得，则，
所以这两个圆锥的体积之和为.
（3）根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，
上下底面中心连线的中点就是球心，如图：
则的外接圆的半径为，
所以其外接球的半径为，
所以球的表面积为.
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一、单项选择题：本大题共5小题，共25分。
1.菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. C. D.
3.已知，为非零向量，则“存在实数λ，使＝λ”是“|＋ |＝| |＋| |”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点为内一点，满足，若，则（ ）
A. -2 B. C. D. 2
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. (4，2) B. (2，4) C. D. (1，2)
二、多项选择题：本大题共2小题，共10分。
6.下列说法正确的是（）
A. 若，，则的最小值为6
B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
C. 在中，若，则为钝角三角形
D. 在平行四边形中，若，则四边形ABCD为矩形
7.如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为2
D. 若，则当B，O，P三点共线时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
8.已知非零向量满足，则向量与的夹角为 .
9.设P，A，B在一条直线上，O在该直线外，已知，则x等于 ．
10.已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 .
11.为圆O的一条弦，且，则的值为 .
四、解答题：本题共4小题，共95分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题20分)
球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为．
(1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；
(2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；
(3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围．
13.(本小题25分)
《九章算术 商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云 中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.
(1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比；
(2)若，：
①在右图（图二）中，求三棱锥的高.
②求三棱锥外接球的体积.
14.(本小题25分)
如图，，分别为长方体的棱，的中点.
(1)求证，
(2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比.
15.(本小题25分)
求下列几何体的体积或表面积
(1)长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积；
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，求这两个圆锥的体积之和；
(3)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】AD
7.【答案】ACD
8.【答案】
9.【答案】2
10.【答案】
11.【答案】2
12.【答案】解：（1）把“球锥”切割成无数个小锥体，依题意得球冠面积为，
所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为.
（2）设圆锥半径为，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，即，
消去，得，
整理得，而，所以.
（3）设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为，
则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件，
当顶点在圆锥底面圆周上时，，得，
当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”，
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上，
即，且，又，所以.
13.【答案】解：（1）如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥，
设，，，则，，
于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2.
（2）①，，
等腰的面积，
设三棱锥的高为，由，得，
解得，所以三棱锥的高为.
②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥外接球的半径为，则
所以三棱锥外接球的体积.
14.【答案】解：（1）
如图所示，连接，
是长方体，，分别为棱，的中点，
由长方体的性质可知且
，
四边形都是平行四边形，
，
又因为角的两边与，与方向相同，
所以由等角定理可知，；
（2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体.
设正方体的棱长为，
正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，
所以，即.
所以正方体的体积，
球的体积，
所以该几何体（正方体）与其外接球的体积之比为
.
15.【答案】解：（1）设外接球的半径为，
可知外接球直径即为长方体的体对角线，则，
所以球的表面积为.
（2）如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，
则，可得，，
因为，则，可得，
又因为，则，
可得，则，
所以这两个圆锥的体积之和为.
（3）根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，
上下底面中心连线的中点就是球心，如图：
则的外接圆的半径为，
所以其外接球的半径为，
所以球的表面积为.
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