2026年四川德阳市凯江教育集团九年级第一次学情调研数学试题(含答案)

2026年四川德阳市凯江教育集团九年级第一次学情调研数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中最小的数是（）
A. B. 3 C. 0 D.
2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
4.把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.2024年末，人工智能公司在全球范围内迅速发展．据统计，其平台每月处理的用户请求量约为次．若计划将用户请求数据以科学记数法存档，每日平均处理量可表示为（　　）次．（每月按30天计算）
A. B. C. D.
6.一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球, 每个球除颜色外都相同, 从中任意摸出3个球, 下列事件为必然事件的是( )
A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球
7.古代一歌谣: 栖树一群鸦, 鸦树不知数: 三个坐一棵, 五个地上落; 五个坐一棵,闲了一棵树.请你动脑筋, 鸦树各几何 若设乌鸦有x只, 树有y棵, 由题意可列方程组( )
A. B. C. D.
8.如图,RtABC中,ACB=,AB=2,AC=,O是ABC的外接圆,D为圆上一点,连接CD且CD=CB,过点C作O的切线与AD的延长线交于点E,则CE的长为( )
A. B. 1
C. D.
9.已知函数当函数值为3时，自变量x的值为 （ ）
A. -2 B. C. -2或 D. -2或
10.二次函数（）的图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.把ax2﹣4a分解因式的结果是 ．
12.已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ．
13.如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为 ．
14.关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 .
15.边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在上，作交于点F，交于，连接交于H，则下列结论正确的有 ．（填写序号）①；②；③；④若，则
三、解答题：本题共7小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.
(1) 计算：（2+）0+3tan30°-+
(2) 先化简，再求值：，其中a2-4 a+3=0．
17.(本小题15分)
如图，在中，，过点A作的平行线与的平分线交于点D，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 连接与交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，求的长．
18.(本小题15分)
如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点．
(1) 求k和a的值；
(2) 根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
(3) 当AB长为时，求点A的坐标．
19.(本小题15分)
人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：
(1) 随机抽查的学生共有 人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为 °；
(2) 该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？
(3) 在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20.(本小题15分)
为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵10元，用300元购进A种冰箱贴的数量与用200元购买B种冰箱贴的数量相同．
(1) 求A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？
(2) 若某公司购买A、B两种冰箱贴共200个，且A种的数量至少比B种的数量多27个，当购买A、B两种冰箱贴各多少时？总费用最少？并求出最少费用．
21.(本小题15分)
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
(1) 求证：DH＝DB；
(2) 过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
22.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A（3，0），B（0，－3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
(1) 分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
(2) 若点P在第四象限，连接AM，BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；
(3) 是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】a（x+2）（x﹣2）
12.【答案】2024
13.【答案】
14.【答案】a≤5且a≠3
15.【答案】①②③④
16.【答案】【小题1】
（2+）0+3tan30°-+
；
【小题2】
；
，
，
解得或，
，
，
，
当时，
原式

17.【答案】【小题1】
证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
【小题2】
解：四边形是菱形，
，
，菱形中，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
的长为3．

18.【答案】【小题1】
解：反比例函数的图象与直线交于点，
，；
【小题2】
解：根据图象可知，的自变量的取值范围为：；
【小题3】
解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，正比例函数解析式为：，
设，则，
点在反比例函数图象上，
，
解得或（舍去），
．

19.【答案】【小题1】
300
54
【小题2】
C等级人数为（人），
（人），
答：估计等级为C的学生约有1750人；
【小题3】
根据题意，列表如下：
女 女 女 男
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
女 女，女 女，女 男，女
男 女，男 女，男 女，男
从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．

20.【答案】【小题1】
解：设A种冰箱贴的单价是a元，B种冰箱贴的单价是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元），
∴A种冰箱贴的单价是30元，B种冰箱贴的单价是20元．
【小题2】
解：设购买A种冰箱贴x个，则购买B种冰箱贴个．
根据题意，得，
解得；
设购买两种冰箱贴的总费用为W元，则，
，
∴W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W的值最小，，此时（个），
∴当购买A种冰箱贴114个、B种冰箱贴86个时总费用最少，最少费用是5140元．

21.【答案】【小题1】
证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，
∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB＝∠DBH，
∴DH＝DB；
【小题2】
①连接OD，
∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC
∴OD // AC，
∵AC⊥BC，BC // EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴DE＝DG，
∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB＝CE＝1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB＝∠BDG，
∵∠DBG＝∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴，
∴DB2＝AB BG＝5×1＝5，
∴DB＝， DG＝2，
∴ED＝2，
∵H是内心，
∴AE＝AG＝4，
∵DO // AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴DF＝．

22.【答案】【小题1】
解：把A（3，0）B（0，－3）代入y＝x2＋mx＋n，得
解得所以抛物线的解析式是 y＝x2－2x－3；
设直线AB的解析式是y＝kx＋b，把A（3，0）B（0，－3）代入y＝kx＋b，
得解得
所以直线AB的解析式是y＝x－3；
【小题2】
解:设点P的坐标是（t，t－3），则M（t，t2－2t－3），
∵点P在第四象限，
∴，
∴当时， PM取得最大值，此时；
【小题3】
解：存在，理由如下：∵PM // OB，
∴当PM＝OB时，点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴PM＝|（t－3）－（t2－2t－3）|＝|－t2＋3t|＝3，
当－t2＋3t＝3时，方程无实数根；当－t2＋3t＝－3时，解得．
综上所述，P点的横坐标是或．

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