河南新乡市新乡县第一中学等学校2025-2026学年高二下学期素养测评（一）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南新乡市新乡县第一中学等学校2025-2026学年高二下学期素养测评（一）数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 995.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
河南新乡县第一中学等学校2025-2026学年高二下学期素养测评（一）数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f(x)＝cos x，则（ ）
A. 0 B. C. D.
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（）
A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种
5.有位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排人．若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知等比数列{}的首项为1,前n项和为,若=3,则=（ ）
A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4
7.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点．若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
8.已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10.已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. 数列是等比数列 D.
11.已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点为左支上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线与双曲线有相同的焦点
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为
D. 若为圆上一点，则的最大值为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与曲线在处的切线垂直，则_____ __．
13.小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有 种．
14.已知等差数列的公差，前项和为，，若，，成等比数列，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列．
(1)若是等差数列，求的通项公式；
(2)设，证明：数列是等比数列.
16.(本小题15分)
记数列的前项和为，已知.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
17.(本小题15分)
已知函数．
(1)当，时，判断函数的单调性．
(2)是否存在，，使得为函数的极值点？若存在，求，满足的条件；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且．
(1)证明：；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长．
19.(本小题17分)
已知的两个顶点，的坐标分别为，，且边，所在直线的斜率之积为．
(1)求顶点的轨迹方程；
(2)已知过点的直线与顶点的轨迹相交于，两点．
①若直线的斜率为，求的面积；
②若直线与相交于点，求的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】432
14.【答案】16
15.【答案】解：（1）由题意.
因为是等差数列，所以公差.
所以.
满足，符合题设条件，
所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
由及可知，则，所以，
所以是等比数列.
16.【答案】解：（1）由题意得：当时，，
当时，由有：，
所以，即，所以，
所以，
所以数列是以为公比，首项为的等比数列；
（2）由（1）有，
所以，
所以①，
②，
由①②有：
，
所以.
17.【答案】解：（1）当，时，，，
则．
记，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增．
所以当时，，
所以，所以函数在上单调递增．
（2）解：不存在，，使得为函数的极值点．理由如下：
因为，，
当时，不在函数的定义域内，所以．
当时，若为函数的极值点，则．
因为，所以，即，
所以．
令，，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以．
因为，，所以恒成立，
所以函数在上单调递增，故不是极值点．
综上，不存在，，使得为函数的极值点．
18.【答案】解：（1）证明：以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，，，，．
因为，，
所以，
所以，即．
（2）解：三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当三棱锥的体积最大时，，此时，
所以，．
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以．
因为平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设平面的法向量为，则
因为，，所以
令，则，，所以．
设直线和平面所成的角为，则．
因为，，
所以，解得或（舍去），
所以．
19.【答案】解：（1）由题意设点，则，
整理得，
所以顶点C的轨迹方程为．
（2）由题意知，直线l与轴不重合，设，．
①因为直线的斜率为，直线过点，所以直线的方程为，即．
由消去，整理得，
因为，所以，．
所以．
因为点到直线的距离，
所以的面积．
②由题意，设直线的方程为．
由，消去，整理得．
因为．
所以，．
方法一：因为点在顶点的轨迹上，所以直线，的斜率之积为．
因为直线的斜率，所以直线的斜率，
所以直线的方程为．①
因为直线的斜率，所以直线的方程为．②
由①②得，
整理得
，
解得．又因为点和点N的纵坐标均不为0，
所以直线与的交点的纵坐标不为0．
所以点的轨迹方程．
因为，所以，即的取值范围是．
方法二：因为直线的斜率，
所以直线的方程为．①
因为直线的斜率，所以直线的方程为．②
由①②得，
整理得
，
解得．
又因为点和点的纵坐标均不为0，
所以直线与的交点的纵坐标不为0，
所以点的轨迹方程为．
因为，所以，即的取值范围是．
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一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f(x)＝cos x，则（ ）
A. 0 B. C. D.
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（）
A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种
5.有位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排人．若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知等比数列{}的首项为1,前n项和为,若=3,则=（ ）
A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4
7.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点．若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
8.已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10.已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. 数列是等比数列 D.
11.已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点为左支上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线与双曲线有相同的焦点
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为
D. 若为圆上一点，则的最大值为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与曲线在处的切线垂直，则_____ __．
13.小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有 种．
14.已知等差数列的公差，前项和为，，若，，成等比数列，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列．
(1)若是等差数列，求的通项公式；
(2)设，证明：数列是等比数列.
16.(本小题15分)
记数列的前项和为，已知.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
17.(本小题15分)
已知函数．
(1)当，时，判断函数的单调性．
(2)是否存在，，使得为函数的极值点？若存在，求，满足的条件；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且．
(1)证明：；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长．
19.(本小题17分)
已知的两个顶点，的坐标分别为，，且边，所在直线的斜率之积为．
(1)求顶点的轨迹方程；
(2)已知过点的直线与顶点的轨迹相交于，两点．
①若直线的斜率为，求的面积；
②若直线与相交于点，求的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】432
14.【答案】16
15.【答案】解：（1）由题意.
因为是等差数列，所以公差.
所以.
满足，符合题设条件，
所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
由及可知，则，所以，
所以是等比数列.
16.【答案】解：（1）由题意得：当时，，
当时，由有：，
所以，即，所以，
所以，
所以数列是以为公比，首项为的等比数列；
（2）由（1）有，
所以，
所以①，
②，
由①②有：
，
所以.
17.【答案】解：（1）当，时，，，
则．
记，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增．
所以当时，，
所以，所以函数在上单调递增．
（2）解：不存在，，使得为函数的极值点．理由如下：
因为，，
当时，不在函数的定义域内，所以．
当时，若为函数的极值点，则．
因为，所以，即，
所以．
令，，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以．
因为，，所以恒成立，
所以函数在上单调递增，故不是极值点．
综上，不存在，，使得为函数的极值点．
18.【答案】解：（1）证明：以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，，，，．
因为，，
所以，
所以，即．
（2）解：三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当三棱锥的体积最大时，，此时，
所以，．
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以．
因为平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设平面的法向量为，则
因为，，所以
令，则，，所以．
设直线和平面所成的角为，则．
因为，，
所以，解得或（舍去），
所以．
19.【答案】解：（1）由题意设点，则，
整理得，
所以顶点C的轨迹方程为．
（2）由题意知，直线l与轴不重合，设，．
①因为直线的斜率为，直线过点，所以直线的方程为，即．
由消去，整理得，
因为，所以，．
所以．
因为点到直线的距离，
所以的面积．
②由题意，设直线的方程为．
由，消去，整理得．
因为．
所以，．
方法一：因为点在顶点的轨迹上，所以直线，的斜率之积为．
因为直线的斜率，所以直线的斜率，
所以直线的方程为．①
因为直线的斜率，所以直线的方程为．②
由①②得，
整理得
，
解得．又因为点和点N的纵坐标均不为0，
所以直线与的交点的纵坐标不为0．
所以点的轨迹方程．
因为，所以，即的取值范围是．
方法二：因为直线的斜率，
所以直线的方程为．①
因为直线的斜率，所以直线的方程为．②
由①②得，
整理得
，
解得．
又因为点和点的纵坐标均不为0，
所以直线与的交点的纵坐标不为0，
所以点的轨迹方程为．
因为，所以，即的取值范围是．
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