河南新乡市新乡县第一中学等学校2025-2026学年高一下学期素养测评（一）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南新乡市新乡县第一中学等学校2025-2026学年高一下学期素养测评（一）数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
河南新乡县第一中学等学校2025-2026学年高一下学期素养测评（一）数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如图，在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
2.下列命题错误的是（）
A. 若向量与向量都是单位向量，则
B. 若向量，则与是平行向量
C. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D. 若，则
3.已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（ ）
A. B. C. D.
4.如图，分别是的边，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min）
A. B. C. 6 D. 12
7.已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（ ）
A. 6 B. C. D.
8.已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（ ）
A.
B. 若与不垂直，则
C.
D. 若，则
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量在向量上的投影向量的模为
D. 若，则
10.若，是平面内两个不共线的非零向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 可以表示平面内的所有向量
B. 对于平面内的任一向量，使得的实数，都有无数多对
C. 若向量与共线，存在唯一实数，使得
D. 若实数，使得，则
11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 .
13.已知的面积为，角，，则 .
14.设是所在平面内的一点，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，满足，且，，.
(1)求向量与的夹角.
(2)是否存在实数，使与垂直 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
16.(本小题15分)
在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．
(1)求大学与站的距离；
(2)求铁路段的长度．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c-acos.
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，内角A的角平分线交边BC于E，b=4，求AE的长；
（3）若a=7，边BC上的中线，设点O为△ABC的外接圆圆心，求的值.
19.(本小题17分)
布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】AB
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵，∴，∴，
∴，即，
∴.
又∵，所以，即.
又，所以.
（2）若，则，即.
∴，∴，
∴存在使得与垂直.
16.【答案】解：（1）在△ABC中，sin（B+C）＝sinA，
由已知可得：，
再由正弦定理可得：，
因此原等式变形为：，
因为△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，可得，
又B是锐角三角形内角，故；
（2）由可得sinA+sinC＝sinA+sin（A）
＝sinAcosAsinAsinAcosAsin（A），
又因为△ABC是锐角三角形，则，
则，即，
因为sinx在上的取值范围是，
所以，
即sinA+sinC的取值范围为．
17.【答案】解：(1)在△AOM中，AO=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=，
由余弦定理可得：
AM2=OA2+OM2 2OA OM cos∠AOM
，
∴AM=，
∴大学M与站A的距离AM为km；
(2)∵cosβ=，且β为锐角，
∴sinβ=，
在△AOM中，由正弦定理可得：，
即，
∴sin∠MAO=，由图可知为锐角，
∴∠MAO=，
∴∠ABO=α ，
∵tanα=2，
∴sinα=，cosα=，
∴sin∠ABO=sin(α )=，
又∵∠AOB=π α，
∴sin∠AOB=sin(π α)=，
在△AOB中，AO=15，
由正弦定理可得：，
即，
∴解得AB=，
∴铁路AB段的长AB为km.
18.【答案】解：（1）由c-acos，
结合正弦定理可得sinC-sinAcosB=sinB-sinAsinB，
即为sin（A+B）-sinAcosB=cosAsinB=sinB-sinAsinB，
由sinB＞0，可得cosA+sinA=1，即sin（A+）=，
由0＜A＜π，可得A+=，解得A=；
（2）由△ABC的面积为，可得bcsinA=×4c×=4，
解得c=4，
由等积法可得S△ABC=S△ABE+S△ACE，
即为4=c AE +b AE =AE （c+b）=2AE，
解得AE=2；
（3）若a=7，边BC上的中线，
由中线长定理可得4AD2=2（b2+c2）-a2，
即有b2+c2=（4AD2+a2）=×（11+49）=30，
则= （+）=（ + ）
=（2+2）=（c2+b2）==．
19.【答案】解：（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
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一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如图，在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
2.下列命题错误的是（）
A. 若向量与向量都是单位向量，则
B. 若向量，则与是平行向量
C. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D. 若，则
3.已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（ ）
A. B. C. D.
4.如图，分别是的边，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min）
A. B. C. 6 D. 12
7.已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（ ）
A. 6 B. C. D.
8.已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（ ）
A.
B. 若与不垂直，则
C.
D. 若，则
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量在向量上的投影向量的模为
D. 若，则
10.若，是平面内两个不共线的非零向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 可以表示平面内的所有向量
B. 对于平面内的任一向量，使得的实数，都有无数多对
C. 若向量与共线，存在唯一实数，使得
D. 若实数，使得，则
11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 .
13.已知的面积为，角，，则 .
14.设是所在平面内的一点，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，满足，且，，.
(1)求向量与的夹角.
(2)是否存在实数，使与垂直 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
16.(本小题15分)
在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．
(1)求大学与站的距离；
(2)求铁路段的长度．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c-acos.
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，内角A的角平分线交边BC于E，b=4，求AE的长；
（3）若a=7，边BC上的中线，设点O为△ABC的外接圆圆心，求的值.
19.(本小题17分)
布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】AB
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵，∴，∴，
∴，即，
∴.
又∵，所以，即.
又，所以.
（2）若，则，即.
∴，∴，
∴存在使得与垂直.
16.【答案】解：（1）在△ABC中，sin（B+C）＝sinA，
由已知可得：，
再由正弦定理可得：，
因此原等式变形为：，
因为△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，可得，
又B是锐角三角形内角，故；
（2）由可得sinA+sinC＝sinA+sin（A）
＝sinAcosAsinAsinAcosAsin（A），
又因为△ABC是锐角三角形，则，
则，即，
因为sinx在上的取值范围是，
所以，
即sinA+sinC的取值范围为．
17.【答案】解：(1)在△AOM中，AO=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=，
由余弦定理可得：
AM2=OA2+OM2 2OA OM cos∠AOM
，
∴AM=，
∴大学M与站A的距离AM为km；
(2)∵cosβ=，且β为锐角，
∴sinβ=，
在△AOM中，由正弦定理可得：，
即，
∴sin∠MAO=，由图可知为锐角，
∴∠MAO=，
∴∠ABO=α ，
∵tanα=2，
∴sinα=，cosα=，
∴sin∠ABO=sin(α )=，
又∵∠AOB=π α，
∴sin∠AOB=sin(π α)=，
在△AOB中，AO=15，
由正弦定理可得：，
即，
∴解得AB=，
∴铁路AB段的长AB为km.
18.【答案】解：（1）由c-acos，
结合正弦定理可得sinC-sinAcosB=sinB-sinAsinB，
即为sin（A+B）-sinAcosB=cosAsinB=sinB-sinAsinB，
由sinB＞0，可得cosA+sinA=1，即sin（A+）=，
由0＜A＜π，可得A+=，解得A=；
（2）由△ABC的面积为，可得bcsinA=×4c×=4，
解得c=4，
由等积法可得S△ABC=S△ABE+S△ACE，
即为4=c AE +b AE =AE （c+b）=2AE，
解得AE=2；
（3）若a=7，边BC上的中线，
由中线长定理可得4AD2=2（b2+c2）-a2，
即有b2+c2=（4AD2+a2）=×（11+49）=30，
则= （+）=（ + ）
=（2+2）=（c2+b2）==．
19.【答案】解：（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
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