湖北襄阳市老河口市2025-2026学年下学期八年级3月质量监测数学试卷（含答案）

湖北襄阳市老河口市2025-2026学年下学期八年级3月质量监测数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中,是二次根式的是( )
A. - B. C. D. x
2.下列各等式成立的是
A. B.
C. D.
3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为( )
A. ：：：4：5 B.
C. a：b：：4：5 D.
5.如图,钓鱼竿AB的长为6m,露在水面上的鱼线BC长为2m.钓鱼者想看鱼钩上的情况,把钓鱼竿AB转到AB'的位置, 此时露在水面上的鱼线B' C'长为3m, 则CC'的长为( )
A. m B. 2m C. m D. 2m
6.海伦—秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记．那么三角形的面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7，8，9，那么这个三角形的面积为
A. 12 B. C. D.
7.如图，数轴上点A表示的数为1，，且．以原点O为圆心，为半径画弧．交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
8.计算的结果是（ ）
A. 5 B. C. D.
9.若等腰三角形中相等的两边长为l0cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）
A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm
10.如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为．关于的等式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12.计算的结果是 ．
13.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为 ．
14.如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则 ．
15.如图，在中，，，，以为边作等腰直角，使，连接，则线段的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
若为实数，且，求的值．
18.(本小题10分)
如图，等边△ABC的边长是6.
求：
(1) 高AD的长；
(2) 这个三角形的面积.
19.(本小题10分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上．
(1) 直接写出线段的长；
(2) 求的度数；
20.(本小题10分)
综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
(1) 试比较与的大小；
(2) 试比较与的大小．
21.(本小题10分)
如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．
(1) 问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2) 求原来的路线AC的长．
22.(本小题12分)
某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上．
(1) 若过点作于点，则 ；
(2) 求的距离；
(3) 若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
23.(本小题10分)
阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
∴
这种方法称为“构造对偶式”
问题：已知
(1) 求的值；
(2) 求的值．
24.(本小题13分)
已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰．
(1) 如图1，，连接，求证：；
(2) 如图2，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值；
(3) 如图3，四边形中，，连接，已知，求的长．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】x≥3
12.【答案】
13.【答案】8
14.【答案】4米/
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】解：由二次根式有意义的条件可得，即，



∵，
∴，
解得
把，代入得．

18.【答案】【小题1】
等边三角形的高即为中线，故D是BC的中点
∵AB=6
∴BD=3
∴AD=
【小题2】
∵BC=6，AD=
∴等边△ABC的面积= BC·AD=

19.【答案】【小题1】
解：由图可得，，，．
【小题2】
解：在中，，，，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：，，
∵，
∴，
∴．
【小题2】
解：，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
是；
理由是：在中，
∵，
∴，
∴，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
【小题2】
设，则，
在中，
，
∴，
解得：，
答：原来的路线AC的长为千米

22.【答案】【小题1】
【小题2】
解：在中，，
设海里，则海里，海里，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∵海里，
∴，
解得，
∴海里，
∴的距离为80海里；
【小题3】
解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险，
理由如下：∵，
∵，
∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险．

23.【答案】【小题1】
解：由题意得：
；
∵，
∴；
【小题2】
解：由（1）知，①
∵，②
∴①+②得：，
解得：．

24.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
取中点，连接，

由①可得，
∵点是中点，
∴，
∴当时，最短，即此时最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
解得，
∴，即的最小值为1；
【小题3】
过点作交的延长线于点，过点作交于点，如下图，

∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
解得，
∴，
∴．

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