四川雅安市某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

四川雅安市某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若函数f（x）=xlnx,则f′（1）=（　　）
A. 1+e B. e C. 1 D. 0
2.已知实数成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ）
A. B. C. 2 D.
5.已知函数在处有极值2，则（ ）
A. B. 6 C. 2 D.
6.数列{}满足=(n)且=1,则下列结论错误的是( )
A. =+ B. {}是等比数列 C. (2n-1)=1 D. =
7.已知函数，则（　　）
A. f（x）的单调递减区间为（0，1） B. f（x）的极大值点为1
C. f（x）的极小值为-1 D. f（x）的最大值为0
8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13， .其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.记Sn为“斐波那契数列”{an}的前n项和，若S2023=a,，则a2024=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导,若f'(1)=2,则=2
B. 已知函数f(x)=(2x+1),若f'()=1,则=
C. =
D. 设函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=+3xf'(2)+x,则f'(2)=-
10.设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间是，
B. 的值域为R
C.
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}，a2+a6=6，则a4= .
13.已知数列的前n项和为，若，则 ．
14.已知函数f（x）=（x-2b）ex，g（x）=ax-2ab,若f（x）≥g（x）恒成立，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数．
(1)．
(2)；
(3)；
16.(本小题15分)
函数
(1)求在点处的切线方程.
(2)求的单调区间.
17.(本小题15分)
已知等差数列{an}中，a10=10，a17=17，在各项均为正数的等比数列{bn}中，b1=a2，b3=a8.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，求证：在上是增函数；
(2)若在区间上存在最小值，求的取值范围；
(3)若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．
19.(本小题17分)
已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）设，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）.
（2），
（3）令，则，
．

16.【答案】解：（1）因，
则，又，即切点为，
故在点处的切线方程为，即.
（2）因的定义域为，
令得 ，令得，
故得的单调递增区间是，单调递减区间是.

17.【答案】解：（1）∵数列{an}的前n项和为，
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=n,
n=1时，a1=S1=1，对于上式也成立，
∴an=n,
设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,
∵b1=a2=2，b3=a8=8，
∴q==2，
∴bn=2×2n-1=2n．
（2）anbn=n 2n．
∴数列{anbn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n 2n，
∴2Tn=22+2×23+3×24+…+（n-1） 2n+n 2n+1，
∴-Tn=2+22+23+24+…+2n-n 2n+1=-n 2n+1，
∴Tn=（n-1） 2n+1+2．
18.【答案】解：（1）当，即时，，
令解得，
当时，，当时，，
又连续，所以在上是增函数.
（2），
当时，，
①当时，在上恒成立，
所以，在区间上单调递增，所以在区间上不存在最小值：
②当时，令解得，此时，
0
极小值
所以存在最小值，且，
综上的取值范围是．
（3）仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，
解法一：显然不是的根，故，此时可得有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
令，则，
故在和均为单调递增函数，且当时，恒成立，
当时，，且，所以图象大致如下，

由图象可知与的图象有两个交点，则的取值范围为.
解法二：显然不是的根，故，方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
在同一坐标系上画和的图象如图，

由图象可得当时与的图象有两个交点，即的取值范围为.

19.【答案】解：（1）因为，所以当时，，
当时，，
．
（2）（ⅰ）由（1）知，
所以
①当为偶数，
②当为奇数，
（ⅱ）①当为偶数时，，
，
故当为偶数时，单调递增，
，
故当为偶数且时，；
②当为奇数，，
，故当为奇数时，单调递减，
，当为奇数时，（舍），
综上，当为偶数且时，.

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