云南怒江州兰坪白族普米族自治县第一中学等校2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

云南怒江州兰坪白族普米族自治县第一中学等校2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|-3< x<5},B={x|x<2},则AB=（）
A. {x|x<2} B. {x|x<5} C. {x|-3< x<2} D. {x|-3< x<5}
2.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚反面朝上”,B=“第二枚正面朝上”,则（）
A. A包含B B. A与B互斥 C. A与B互为对立 D. A与B相互独立
3.已知等差数列{}的前n项和为,且=-39,则=（）
A. -3 B. -6 C. -9 D. -12
4.已知定义在(a,b)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)的图象如图所示,则f(x)在(a,b)上的极值点个数为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（ ）
A. （） B. （）
C. （） D. （）
6.已知是双曲线（，）的右焦点，且到的渐近线的距离为3a，则的离心率为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
7.已知奇函数在上单调递增，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8.若一个正三棱柱存在棱切球(与所有棱都相切的球),则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（）
A. : B. : C. 2: D. 1:
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量=(t,1),=(2,t-1),曲线C:+=1,则下列判断正确的是（）
A. 若C是圆,则与共线 B. 若C是圆,则与不共线
C. 若,则C是焦点在x轴上的椭圆 D. 若,则C是焦点在y轴上的椭圆
10.已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 数列的前n项和小于
11.已知函数f(x)=且<<<<,f()=f()=f()= f()=f(),则（）
A. 0< f()<1
B. +的值可能为
C. ++++的取值范围是(6,7)
D. 关于x的方程f(f(x))=a至多有13个不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. .
13.在数列{}中,=3,=12[(n-1)],则= .
14.如图,一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器(不考虑铁片的损耗),则该容器容积(忽略铁片的厚度) 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两组评委对同一名选手的打分如表所示．
小组A 75 83 80 78 84
小组B 70 75 80 85 90
(1)从小组A的5个分数中随机抽取2个分数，求抽取的2个分数中恰有1个大于80的概率；
(2)分别求小组A与小组B评委打分的方差，并据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的小组.
17.(本小题15分)
记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2bA+b.
(1)证明:A=2B.
(2)若b=,A的角平分线交BC于D,且AD=2,求a.
18.(本小题17分)
已知函数，.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)求函数的最小值.
19.(本小题17分)
如图，已知点，抛物线C：，过点作斜率为k（）的直线，与的另一个交点为，关于轴的对称点为，设（）.
(1)当时，求的坐标.
(2)证明：是等差数列.
(3)记的面积为，求数列的前n项和.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】（1）证明：如图，连接.
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
得，.
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，，得平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为，
∴平面与平面夹角的余弦值为.

16.【答案】解：（1）这个试验的样本空间
，共包含10个样本点．
设事件“抽取的2个分数中恰有1个大于80”，则
，共包含6个样本点，
所以．
（2）小组A的平均数，
小组B的平均数为，
小组A的方差为，
小组B的方差为，
因为，且专业人士打分通常更稳定，
所以小组A更像是由专业人士组成的小组.

17.【答案】解：(1)由正弦定理==,
可得C-2BA=B.
因为A+B+C=,
所以(A+B)-2BA
=AB-BA=(A-B)=B.
因为A(0,),B(0,),
所以A-B(-,).
因为y=在(-,)上单调递增,
所以A-B=B,即A=2B.
（2）因为A=2B，A的角平分线交BC于D,
所以，
所以，
所以.
在中，由正弦定理得，
即.
.
所以，
所以，
故，
即，
即，解得或.
因为A=2B，所以B为锐角，所以,
所以，所以，
所以,
所以.
18.【答案】解：（1）由函数，可得，可得且，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
（2）由函数，可得，则，
若，则，在上单调递增.
若，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由函数，，
可得，则，
令，可得，
所以在上单调递增.
因为，，
所以存在唯一的零点，且，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，所以，
由，可得，
可得，
所以.
令函数，可得，所以在上单调递增，
又由，可得，则，
所以.

19.【答案】解：（1）当时，：，即.
根据对称性，由，得.
由，得，
分别为该方程的两根，故，即，
又，所以的坐标为.
（2）证明：设直线：（），易得，.
由，得，为该方程的两根，
则.
因为，所以.
故是首项为，公差为的等差数列.
（3）对平面上不共线的三个点，，，设，，
则
.
因为，所以.
由题意得，
，
所以
.
故数列的前n项和为.

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