云南昭通市第一中学等校2025-2026学年下学期学期高二年级第一次月考数学试题（含答案）

云南昭通市第一中学等校2025-2026学年下学期学期高二年级第一次月考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在0，1，2，3，4中不重复地选取4个数字，共能组成（　　）个不同的四位数.
A. 96 B. 18 C. 120 D. 84
2.已知双曲线C的实轴长是虚轴长的倍，则C的离心率为（　　）
A. 2 B. C. D.
3.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（）（ ）
A. 24 B. 48 C. 144 D. 240
4.现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为（ ）
A. 72 B. 60 C. 48 D. 36
7.某学校有A,B两家餐厅,某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去A餐厅,那么第2天还去A餐厅的概率为;如果某天去B餐厅,那么第2天还去B餐厅的概率为.若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐,则该同学第3天去A餐厅用餐的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知实数m,n满足，则m-n的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（　　）
A. 抽出的产品都是合格品的抽法种数为
B. 抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为
C. 抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为
D. 抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为
10.已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（ ）
A. n=6 B. 展开式中 x 的系数为-135
C. 展开式中奇数项的二项式系数的和为32 D. 展开式中二项式系数最大的项为-540
11.已知函数f(x)=2a-3a+2(aR),下列说法正确的是（）
A. 若x=0是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围为(-,0)
B. 当a0时,函数g(x)=f(x+)+-2为奇函数
C. 若过点P(1,0)有三条直线与曲线y=f(x)相切,则实数a的取值范围为(,2)
D. 若函数f(x)有3个零点,则这3个零点之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设离散型随机变量的分布列如下，若，则 ．
2 3 4
0.3 0.4
13.已知的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数 ．
14.假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，共有 种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且同学必须被分配到社区甲，则共有 种不同的分配方法．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列的各项均为正数，满足：，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16.(本小题15分)
甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球.
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，
①求从乙箱中取出的球是白球的概率.
②若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出的2个小球恰好是1黑1白的概率.
17.(本小题15分)
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲．嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金．假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000

(1)求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由．
18.(本小题17分)
设函数．
(1)当时．求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
19.(本小题17分)
椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的最小距离为1，斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求k的范围；
（3）设F为C的右焦点，P为C上一点，且.判断、、是否成等差数列，如果是，说明理由并求该数列的公差.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】 /
13.【答案】
14.【答案】243 ； 50
15.【答案】解：（1）因为是与的等差中项，所以，即，
设的公比为，则，即，解得或（舍），
因为，所以，即，解得，
所以.
（2）
.
，
.

16.【答案】；
①；
②．
17.【答案】解：
(1)设“甲按“A,B,C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E,
则P(E)=0.80.50.5+0.80.50.5=0.4;
(2)设甲按“A,B,C”的顺序猜歌名所得奖励基金的总额为X,
则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=1000)=0.8(1-0.5)=0.4,
P(X=3000)=0.80.5(1-0.5)=0.2,
P(X=6000)=0.80.50.5=0.2,
所以E(X)=00.2+10000.4+30000.2+60000.2=2200;
设甲按“C,B,A”的顺序猜歌名所得奖励基金的总额为Y,
则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000,
P(Y=0)=0.5,
P(Y=3000)=0.5(1-0.5)=0.25,
P(Y=5000)=0.50.5(1-0.8)=0.05,
P(Y=6000)=0.50.50.8=0.2,
所以E(Y)=00.5+30000.25+50000.05+60000.2=2200.
解法一:由于D(X)=0.2+0.4+0.2+0.2=4560000,
D(Y)=0.5+0.25+0.05+0.2=5860000,
由于D(Y)>D(X),所以应该按照“A,B,C”的顺序猜歌名.
解法二:甲按“C,B,A”的顺序猜歌名时,获得0元的概率为0.5,大于按照“A,B,C”的顺序猜歌名时，获得0元的概率,所以应该按照“A,B,C”的顺序猜歌名.
18.【答案】解：（1）当时，，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，且当时取等号，函数在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减，则最多一个零点；
当时，在处取得极小值，则最多一个零点；
当时，在处取得极小值，则最多一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，要函数有两个零点，则必有，
解得，此时，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，，
因此当且仅当时，函数恰有两个零点，
所以实数的取值范围是.

19.【答案】解：（1）因为，a-c=1，所以c=1，a=2，因此，
因此．
（2）设B（x2，y2），A（x1，y1），因为线段AB的中点为M（1，m），
所以x1+x2=2，y1+y2=2m.
将A，B代入中，可得，
作差得3（x1+x2） （x1-x2）+4（y1+y2） （y1-y2）=0，所以6（x1-x2）+8m（y1-y2）=0，
所以．点M（1，m）在椭圆内，所以，（m＞0），
解得，所以k．①
（3）根据题意得F（1，0），设B（x2，y2），P（x3，y3），A（x1，y1），
那么y1+y2+y3=0，x1-1+x2-1+x3-1=0，
根据第二问及题设得y3=-（y1+y2）=-2m＜0，x3=3-（x1+x2）=1，
又因为点P在椭圆C上，所以，解得，可得，，
因此，同理可得．
因此，所以，所以，，成等差数列．
设该数列的公差为d,那么，②，
将代入①，得k=-1，因此l：，代入椭圆C的方程，化简得．
根据韦达定理可得x1+x2=2，，代入②解得．
所以该数列的公差为或．

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