上海市南汇中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（含答案）

南汇中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）
1.已知集合，，则______．
2.若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是______cm．
3.已知，则______．
4.将化为形式，其中，则______．
5.已知，是第四象限角，则______．
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则______．
7.若，化简的结果是______．
8.已知且，且函数过点，则函数，的值域为______．
9.已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，则函数的图像不经过第______象限．
10.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______．
11.偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______．
12.对于函数，，若存在正常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的取值范围为______．
二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）
13.已知实数满足，则下列不等式不一定成立的（ ）．
A. B. C. D.
14.已知，，则角的终边所在的象限为第（ ）象限．
A.一 B.二 C.三 D.四
15.设，，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的（ ）条件．
A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要
16.定义函数，其中，符号表示中的较大者．现有以下命题：
①为偶函数；
②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1；
③当时，的最小值为9；
④“”是“”成立的充要条件．
正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题（共5题，共52分）
17.（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．
（1）若全集为，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
如图所示，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元．
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现购买200台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量
（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为800件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量．
20.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分4分）
设，函数．
（1）是否存在，使函数为奇函数，并说明理由；
（2）当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
21.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分6分）
设表示不小于的最小整数，例如，，．
（1）解方程；
（2）设，求在区间上的值域；
（3）已知函数的值域为，且当或或时，取到最大值1，当或或时，取到最小值，现设实数，，，若对于任意都有，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.一; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.C 15.D 16.C
15.设，，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的（ ）条件．
A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要
【答案】D
【解析】充分性：函数的图像经过点，.
又∵，∴函数为奇函数.
必要性：∵函数为奇函数，，
∴函数的图像经过点.＂函数的图像经过点＂是＂函数为奇函数＂的充要条件，故选D.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）200 （2）126
20.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分4分）
设，函数．
（1）是否存在，使函数为奇函数，并说明理由；
（2）当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）存在，理由见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3）
【解析】（1）存在，使函数为奇函数.理由如下：
若为奇函数，则.
将代入函数可得：，解得.
当时，，其定义域为，关于原点对称.
计算，满足奇函数的定义.
（2）当时，，其定义域为.
设，且，
则
通分可得：
因为指数函数在上单调递增，且，所以，即.
又因为，所以，即.
所以在上单调递增.
（3）由（1）可知，当时，为奇函数，
所以
可化为
因为在上单调递增，所以即
令，其对称轴为
因为二次项系数，所以的固象开口向下，
则在上单调递增，在上单调递减.
计算，所以.
因为，所以.所以实数的取值范围是.
21.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题满分6分）
设表示不小于的最小整数，例如，，．
（1）解方程；
（2）设，求在区间上的值域；
（3）已知函数的值域为，且当或或时，取到最大值1，当或或时，取到最小值，现设实数，，，若对于任意都有，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为，所以，解得.
所以方程的解集为.
（2）当时，，则，
所以，即在上的值域为.
当时，，则，
所以或4，即在上的值域为.
当时，，则，
所以或8或9，即在上的值域为.
综合以上三种情况，在上的值域为.
（3）已知，因为的值域为，所以.
对于二次函数，其对称轴为，
在上，当时，取得最小值；
当时，.
所以，则，
当时，取得最大值4.
因为对于任意都有，所以在上的最小值大于4.
当时，，则，对求导得.
令，即，解得.
当，即时，在）上单调递减，在上单调递增，则，由，解得，所以.
当，即时，在上单调递减，则，
由，解得，所以。
取以上各种情况的并集，可得的取值范围是）.