上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

南汇中学2025~2026学年高二上学期期末考试
一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分）
1．直线的倾斜角为_________．
2．过点，且法向量是的直线的点法式方程为_______________．
3．若，则_________．
4．计算_________．
5．若三个数成等比数列，其中，则_________．
6．的展开式中的系数为_________．
7．若直线分直线互相平行，则实数_________．
8．若等差数列满足，则_________．
9．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为______________．
10．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是_________．
11．过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是_________．
12．已知数列，并且前项的和满足：①存在小于1013的正整数，使得；②对任意的正整数和，都有．
则满足以上条件的数列共有_________个．
二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）
13．已知事件相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）.
A． B． C． D．0
14．上海南汇中学高二年级有10位同学获得了学习优秀奖一等奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ）.
A． B． C． D．
15．已知数列是无穷项等比数列，公比为，则＂＂是＂数列为严格增数列＂的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
16．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共5题，满分52分）
17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且为中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）。已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据．
（1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数；
（2）从甲、乙两组学生中各为求抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率．
19．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
在中，顶点的坐标为，角的平分线所在直线的方程为，且边上的中线所在直线的方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求边所在直线的一般式方程．
20．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
已知函数，为正整数．
（1）当，且时，求的值；
（2）当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率；
（3）当，且时，若对任意的，都有，求正整数的值．
21．（本题满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
对于任意正整数，若数列满足，则称这个数列为“数列”．
（1）已知数列是“数列”，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12.
11．过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】直线恒过定点，将直线，
整理可得，可得恒过定点，所以.
又因为，即可得两条直线垂直，即，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为9．
12．已知数列，并且前项的和满足：①存在小于1013的正整数，使得；②对任意的正整数和，都有．
则满足以上条件的数列共有________个．
【答案】
【解析】由①存在小于1013的正整数，使得，可得，
又由②对任意的正整数和，都有，可得或或0或1，
从而可得或，，又或，
所以满足条件的数列共有个.
二、选择题
13.B 14.A 15.D 16.A
15．已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列为严格增数列”的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】D
【解析】根据题意，对于等比数列，若，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增，即充分性不成立；
若等比数列单调递增，则，或，不能推出，即必要性不成立；
故“”是“数列为严格增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．
16．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如下图所示的直角坐标系，得，则直线方程为，且的重心为，即.
设关于直线的对称点为，则解得，则，易知关于轴的对称点为.
根据光线反射原理知四点共线，且，
所以直线的方程为，即.
又直线过，所以，解得或（舍去），
所以，所以，
所以的周长为，故选：A．
三、解答题
17.【答案】（1）证明略；；（2）证明略.
18.【答案】（1）；（2）.
19.【答案】（1）；（2）.
20．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
已知函数为正整数．
（1）当，且时，求的值；
（2）当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率；
（3）当，且时，若对任意的，都有，求正整数的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】（1）当时，.
又，所以，所以．
（2）当时，.
又，
.
所以为有理数，所以从中任取一个数，取到有理数的概率为．
（3）当，且时，.
又二项式的展开式的通项为，，
所以.
当时，．.
令，可得，即，所以；
令，可得，即，所以；
令，可得，即，所以；
所以，.
因为对任意的，都有，所以或．
21．（本题满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
对于任意正整数，若数列满足，则称这个数列为“数列”．
（1）已知数列是“数列”，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在．理由见解析；
（3）当时，，数列为“数列”；
当时，，数列不是“数列”.
【解析】（1）由题意得，且，解得，所以实数的取值范围是．
（2）不存在．理由如下：
假设存在等差数列符合要求，设公差为，则.
由，得．
由题意，得对任意的恒成立，即．
当时，；当时，恒成立，因为，所以，这与矛盾，所以这样的等差数列不存在．
（3）设数列的公比为，则.
因为的每一项均为正整数，且，所以在中，为最小项；同理中，为最小项.
由为“数列”，只需，即.
又因为不是“数列”，且为最小项，所以，即．
由数列的每一项均为正整数，可得，所以或.
当时，，则．
令，则.
又，所以为递增数列，即.
因为，所以对于任意的，都有，即数列为“数列”.
当时，，则．
因为，所以数列不是“数列”.
综上所述，当时，，数列为“数列”；
当时，，数列不是“数列”.