上海市长宁区2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

长宁区2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）．
1.用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面．
2.若圆柱的底面半径为1，母线长是2，则这个圆柱的体积是______．
3.在元旦迎新会时，某班级将40名学生的姓名写成纸条放进抽奖箱，混合均匀后抽取5名学生进行奖励，则学生A被抽到获奖的可能性为______．
4.若一个球的表面积是，则这个球的体积是______．
5.已知直线与，若，则实数______．
6.如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______．
7.命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）．
8.已知平面和平面外一点，则下列说法中，正确的是______．（写出所有判断正确的序号）
①过点有且只有一条直线与平面垂直；②过点有且只有一个平面与平面垂直；
③过点有且只有一条直线与平面平行；④过点有且只有一个平面与平面平行．
9.已知直线，直线经过点，且与直线的夹角是，则直线的方程是______．
10.甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______．
11.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，，128， ，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______．
12.已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
13.已知直线和直线异面，直线，，平面，，则直线与平面的位置关系是（ ）
A.平行； B.垂直； C.斜交； D.不确定．
14.某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了A高校部分大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），其频率分布直方图如右图所示，已知每日摄取热量在内的人数是10人，则①样本量为100人；
②图中的值为2；
③估计该校大学生每日平均摄取热量约为1.74千大卡；
以上说法中，正确的个数是（ ）
A.3个； B.2个； C.1个； D.0个．
15.关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱；
B.由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱；
C.有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
D.有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱．
16.在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ）
A.； B.； C.； D.．
三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17.（本题满分8分，第（1）小题4分，第（2）小题4分）
某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量．
（1）应抽取品种苹果树多少棵？
（2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）分别为25、25、28、32、20、26、30、26、31、30，在右图中画出10棵果树产量分布的茎叶图，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率．
18.（本题满分8分，第（1）小题4分，第（2）小题4分）
已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．
（1）求直线和所成角的大小；
（2）确定点的位置，使平面平面，并证明．
19.（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为．
（1）若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？
（2）若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？
20.（本题满分12分，共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分）．
已知直角坐标系中，三个不同的点，，．
（1）过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围；
（2）若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标．
21.（本题满分14分，共有2小题，第（1）小题第①问4分，第②问4分，第（2）小题6分）．
如图，等腰直角三角形中，，．
（1）点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为；
①若点是边的中点，，求四棱锥的体积；
②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由；
（2）四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3. ; 4.; 5.; 6. ; 7.假; 8.①④;
9.; 10.； 11. 12.
11.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，，128， ，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______．
【答案】
【解析】由样本的平均数为易有，而由中位数为有样本第三个和第四个数的和为，将已知数据排列有，不妨设，
又由，可知数据排列为，从而可以求解
12.已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______．
【答案】
【解析】设的中点为，连接，则
由余弦定理有：
得，此时，或，此时
（提示，为线面角或其补角两种情况）
二、选择题
13. B 14. A. 15.C 16.D
16.在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ）
A.； B.； C.； D.．
【答案】D
【解析】点的轨迹为过且与平面平行的截正方体所得的多边形，其周长为
三、解答题
17.（1） （2）10中有4，
18.（1） （2）为的中点 （）
19.（1）计算可知甲获胜的概率为，乙为，故甲分75元，乙分25元才公平
（2）由二项分布计算概率可知：选“三局两胜”对甲有利
20．【答案】（1）倾斜角介于直线和的倾斜角之间，为
（2）点关于直线的对称点，直线与的交点为
21.如图，等腰直角三角形中，，．
（1）点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为；
①若点是边的中点，，求四棱锥的体积；
②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由；
（2）四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）．
21．【答案】（1）易有是多面体的高，是直角梯形，故体积
（2）不存在 理由：若存在，则有平面，可得平面
从而，，与是中点矛盾
（3）作高为的正方体即可
整理：ShmathYu（公众号：上海数学研讨）