北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷检测卷（含答案）

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北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷检测卷
（考试范围：第一章三角形的证明及其应用、第二章不等式与不等式组）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B． C．a+3＜b+3 D．﹣3a＞﹣3b
2．如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．7或12
3．如图5， 在中，，于点，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
4．下列命题中逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．等角对等边
C．内错角相等 D．如果，那么
5．如图所示， 一次函数(、为常数，且)与正比例函数(为常数，且)相交于点，则不等式的解集是( )．
A． B． C． D．
6．点在第二象限内，其纵、横坐标均为整数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，中，，，，平分，交于D，于E，则等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．如图，中，，平分交于点D，，，则D到的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）

A．1 B．5 C．9 D．10
10．若关于的一元一次不等式组有4个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．不等式组的解集是______ ．
12．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边上的高是______．
13．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为______．
14．如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．
15．如图，中，，于点．于点，且，则下列结论中正确的有________．
①平分；②；③；④．

16．直线：与直线：在同一坐标系里的图像如图所示，当时，x的取值范围是：______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．
18．解不等式组，并写出最小整数解．
19．如图，已知．
(1)用尺规作图方法作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，周长为13，求的周长．
20．如图，已知，，于点，于点，点是的中点．
(1)求证：平分；
(2)求证：是等边三角形
21．已知关于，的方程满足方程组．
(1)若，求的值；
(2)若，均为非负数，求的取值范围；
22．某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元．
(1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？
(2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？
(3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？
23．如图所示，在平面直角坐标系中，过点、的直线与直线：交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若，直接写出x的取值范围；
(3)若点P在直线上，且为直角三角形，求的长．
24．如图：已知、，且a、b满足．
(1)如图1，求 的面积；
(2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值．
25．阅读运用：
对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：，
(1)若，．
①求；
②若关于的不等式组恰有3个整数解，求实数的取值范围．
若对任意实数都成立，试说明是否为定值，并求出该定值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B C C C A C C
二、填空题
11．
12．
13．
14．4
15．①②③
16．
三、解答题
17．【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
把解集在数轴上表示出来，如图：
．
18．【详解】解：不等式组，
解不等式①得：，
由不等式②得：，
∴该不等式组的解集为：，
∴其最小整数解为．
19．【详解】（1）解：如图，直线即为的垂直平分线，连接．即为所求作；
（2）解：∵直线是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，即：，
∴，
∴，
即的周长为．
20．【详解】（1）证明：∵于点，于点，
∴在和中，
，
∴，
∴，
即平分；
（2）证明：∵，平分，
∴，
∵于点，点是的中点，
∴，
∴，，
∴是等边三角形．
21．【详解】（1）解：，
①+②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得：，
∵，均为非负数，
∴，，
即，
解得：．
22．【详解】（1）解：设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据题意得：
，
解得，
答：红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元；
（2）解：设购进红文化衫m件，则购进蓝色文化衫件，根据题意得：，
解得，
答：该校最少购进红文化衫件；
（3）解：∵总进价不超过6000元，
∴，
解得：，
由（2）得，
∴，
∵蓝色文化衫购买数量为件，
∴红色文化衫越多，蓝色文化衫越多，
又∵购买的越多获利越多，
∴当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，且最大利润为：
（元）．
23．【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把、代入中得：
，
解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，
∴点A的坐标为；
（2）∵点A的坐标为，
由图可得，若，则，
∵，点，
∴若，x的取值范围为；
（3）解：设，
∵，
∴，
当，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
当时，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，的长为或．
24．【详解】（1）解：，
，，
，，
、，
，，
的面积；
（2）证明：延长DB到F使BF＝AC，连接OF，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
，，
，
，
在与中，，
，
，，
故；
（3）是定值，作于，在上截取，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，即：，
，
，
，
．
25．【详解】（1）解：①由，，得
，
解得，
∴，
∴．
②∵不等式组，
∴，即，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴，且，
解得．
（2）由得
，，
∵，
∴，
化简得，
∴，
∵若对任意实数都成立，
∴，
∴，
所以是定值，且定值为．
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