上海市东昌中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（含答案）

东昌中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（每题3分，满分36分）
1.若集合，，则______．
2.已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______．
3.已知，用表示______．
4.已知角在第二象限，且，则______．
5.幂函数在上单调递减，则的值为______．
6.把化成（其中，）形式时______．
7.已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数．若，则不等式的解集是______．
8.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、1为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为______．
9.已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为______．
10.设函数，若为上严格增函数，则实数a的取值范围是______．
11.已知函数，函数，，，若对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围是______．
12.若函数的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为______．
二、单选题（每题3分，满分12分）
13.设甲：，乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
14.已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
15.对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.记，已知，均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：
①若函数，都是奇函数，则也是奇函数；
②若函数，都是严格减函数，则也是严格减函数．
则关于这两个命题判断正确的是（ ）
A.①错误②正确 B.①正确②错误
C.①②都正确 D.①②都错误
三．解答题
17.若集合，．
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）当时，求实数的取值范围．
18.设常数，关于的方程的两个实数根是．
（1）若，，分别求和的值；
（2）若，，分别求和的值．
19.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润＝销售额－成本）
（1）写出利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？
20.已知．
（1）当时，若，判断的单调性并给出证明；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
21.若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制．
（1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集；
（2）设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知函数，函数，，，若对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为函数，所以，
由题意，若对任意的，都存在，使得成立，
即有成立，
又由，使得成立，即有成立，
又由，
因为，且，所以，当时取等号，即的最小值为，所以，解得．
12.若函数的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为______．
【答案】
【解析】记函数，函数，
易知的图像过点函数的图像关于直线对称，
∴函数的图像关于直线对称，∴函数的图像过点，
可得，即
，即．
联立方程组解得
因为函数有且仅有7个零点，等价于函数的图像与直线有且仅有7个不同的交点，又函数的图像关于直线对称，
∴必是其中一个交点，则，∴．
二、选择题
13.A 14.C 15.A 16.
15.对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，设为奇函数，且当时，，
则时，，则，
若函数的图象存在＂隐对称点＂，
则函数与在上有交点，即方程在上有解，
等价于方程在有解，
而当时，方程有同号两根，则有,即，
解可得：,即的取值范围为．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）3千克时，利润最大为400元
20.已知．
（1）当时，若，判断的单调性并给出证明；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）当时，在上单调递增.
证明：设，则
因为，所以，则，
所以，那么0，
即，所以在上单调递增.
（2）由在上有解，可得在上有解，
即在上有解.
令，函数的图象开口向下，对称轴为，所以在处取得最大值.
因为在上有解，所以，即实数的取值范围是.
（3）对求导，根据求导公式，
可得.因为在区间上是增函数，
所以0在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，因为，所以在上单调递减，
则，所以，即实数的取值范围是.
21.若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制．
（1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集；
（2）设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）是上具有性质的奇函数，
可得为常数,则，
又为上的奇函数，则，即，
整理可得,解得，即，
当时，不等式，即为,
可得，即，则原不等式的解集为；
（2）为上具有性质的偶函数，
可得为上的偶函数，则即，
整理可得，解得，即，
若关于的不等式在上有解，
可得，即为在上有解．
设，由，可得，则在上有解．
即为在上有解．
由在递增，可得的最小值为，
所以，即，即有的取值范围是；
（3）由题意可得当时，；
当或时，，
可得当时，；
当或时，．
对于上的任意实数，不等式恒成立，
可得时，，即有，解得；
时，，即为，解得．
即的取值范围是．