上海市实验学校2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含部分答案）

上实验2025-2026学年第一学期高二年级数学期末
一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1.若点平面，点平面，则直线______平面（填合适的符号）
2.直线的倾斜角大小为______．
3.已知圆，则半径是______．
4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
5.若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______．
6.已知球的直径，则球体积为______．
7.已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______．
8.已知抛物线的焦点为，为该抛物线上的动点，是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是______．
9.现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______．
10.双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为______．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）
11.若，，且，则等于（ ）
A. B. C.或 D.不能确定
12.已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. B.1或 C.1 D.或5
13.已知，双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A.5 B.7 C.9 D.11
14.如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：
①存在唯一的点，使得四点共面；
②的最小值为；
③存在点，使得；
④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为．
其中正确结论是（ ）
A.①② B.①③ C.②④ D.①③④
三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）
15.（本题满分10分）如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
16.（本题满分10分）2026年是农历马年，某城市举办了一场盛大的“万马奔腾”主题灯会．其中，有一盏名为“骐骥奋蹄”的创意花灯，其主体造型是由上实校训“攀登”的攀的小篆字形（如图）构造的一个巨大的双曲线形拱门，象征着马年的昂扬向上．
该拱门的横截面轮廓可以看作是双曲线．设计师为了保证拱门的视觉冲击力，设定其离心率为3，且拱门最窄处（实轴）的宽度为2米．
（1）求该双曲线的方程；
（2）为了增加节日气氛，工作人员计划在拱门内部安装一条模拟“马鬓”飘逸效果的彩色灯带．这条灯带呈直线型，其斜率为1（即与水平方向成角），方程为．调试时发现，当灯带在拱门内的可见长度（弦长）为米时，光影效果最佳．求此时控制参数的值．
17.（本题满分10分）已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点．
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：．
18.（本题满分14分）
已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，通过计算判断直线与该圆的位置关系；
（3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围．
四、附加题（每题10分，共20分）
19.如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面圼椭圆形状，则
（1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程；
（2）该椭圆：的左、右焦点分别为，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求异面直线和所成角的余弦值；
②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20.已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列．
（1）求证：在一条直线上，并求该直线的方程；
（2）对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.；
二、选择题
11.C 12.B 13.C 14.B
三、解答题
15.（1）证明略 （2）
16.（1） （2）
17.（1） （2）证明略
18.（1） （2）相切 （3）
四、附加题
19.（1）圆柱轴线与水平面夹角，所以,，
椭圆的标准方程为.
（2）①由直线：与，
联立消去整理得，解得或，
因为点，在轴上方，所以得，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
记异面直线和所成角为，则，
②设在新图形中对应点记为．
由故
设折叠前，直线与椭圆联立方程得，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）；
上式左右两边同时平方化简得：
又得
，解得，
20.（1）因为直线为双曲线的一条渐近线，因此设双曲线的方程为，
又双曲线经过点，因此，解得，
因此双曲线的方程为；
（2）证明：①显然过且与双曲线相切的直线的
斜率存在，设为，则直线的方程为，即，
联立，得
因此，解得，
因此直线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，分别联立
得和因此，
因为，因此，因此，因为，
因此，可得三点共线且方程为：，
由于，因此，
又因为，因此,因此，
因此共线，因为共线，
因此共线且轨迹方程为；
②证明：因为，因为，设直线的方程为，
又过点，因此，得，因此的方程为，
到直线的距离为，则
因为共线，且，因此，
因此，因此，
设，直线，
由和，得
因此交点
因此，
即
因此
又因为，因此
因此
因为
因此
因为
因此