上海建平中学2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含部分答案）

建平中学2025~2026学年高二上学期期末考试
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.直线的倾斜角为______．
2.复数满足，则______．
3.圆的半径为______．
4.双曲线的渐近线为______．
5.已知空间向量，，若，则________．
6.已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为______．
7.已知为复数，则的最小值为______．
8.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______．
9.已知、为抛物线上互异的两点，若，则______．
10.在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为______．
11.图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到）
12.若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱锥的表面积的所有可能取值构成的集合为，则集合的元素个数为__________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13.已知为复数，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.非充分非必要条件
14.已知直线和平面，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
15.在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（ ）
A.异面且垂直 B.不异面且垂直
C.异面且不垂直 D.不异面且不垂直
16.若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为“孤立曲线组”，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为“孤立曲线组”；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为“孤立曲线组”；则（ ）
A.①为真命题，②为假命题 B.①为假命题，②为真命题
C.①为真命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17.（14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
18.（14分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成的角的大小．
19.（14分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心近指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为．
（1）如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程；
（2）如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程．
20.（18分）已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点的坐标为，，且直线经过点，求点的坐标；
（3）若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围．
21.（18分）已知定义域为的函数，为其导函数，若对任意都有恒成立，则称函数为“导大”函数．
（1）判断函数是否为“导大”函数，并说明理由；
（2）若“导大”函数有零点，且有最大值，求函数的最大值；
（3）若“导大”函数有且仅有2026个零点，求函数的极大值点的个数的最小值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.B 15. A 16.C
三、解答题
17.【答案】（1）证明略；（2）.
18.【答案】（1）；（2）.
19.【答案】（1）；（2）.
20.（18分）已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点的坐标为，，且直线经过点，求点的坐标；
（3）若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）已知椭圆的方程为，可得，则，∴；
（2）因为点为椭圆上关于原点对称的两点，点的坐标为，所以点的坐标为.
设点，已知，则，
∴，解得，所以点的坐标为.
已知直线经过点和点，根据直线的斜率公式，
可得直线的斜率.
根据直线的点斜式方程（其中为直线上一点，为直线斜率），可得直线的方程为，即.
联立，解得或.
当时，，此时点的坐标为，与点共线，不符合题意，舍去；
当时，，因此，点的坐标为.
21.（18分）已知定义域为的函数，为其导函数，若对任意都有恒成立，则称函数为“导大”函数．
（1）判断函数是否为“导大”函数，并说明理由；
（2）若“导大”函数有零点，且有最大值，求函数的最大值；
（3）若“导大”函数有且仅有2026个零点，求函数的极大值点的个数的最小值．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）最大值为0；（3）最小值为2025.
【解析】（1）已知. 对求导得.
将代入中，得，即，此式恒成立，因此函数是“导大”函数.
（2）因为是“导大”函数，所以恒成立，即.
令，对求导得.
由可得，所以，即在上单调递增.
因为有零点，设，则.
又因为有最大值，所以存在，使得为最大值.
由于单调递增，所以，即，所以.
又因为有最大值，所以，即函数的最大值为0.
因此，函数的最大值为0.
（3）因为是“导大”函数，所以.
令，则，此时可能取得极值.
因为有且仅有2026个零点，所以在相邻两个零点之间至少有一个极值点.
设的零点为，在相邻两个零点之间，的符号可能改变，所以在相邻两个零点之间至少有一个极值点.
因为有且仅有2026个零点，所以在相邻两个零点之间至少有2025个极值点.
又因为有最大值，所以在相邻两个零点之间至少有一个极大值点.
因此，函数的极大值点的个数的最小值为2025.