2025-2026学年人教A版数学必修第二册 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 课时练习（含答案）

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
一．选择题
1．若复数z1＝2＋3i，z2＝3＋i，则z1－z2＝(　　)
A．－1＋2i B．1＋2i
C．－1－2i D．1－2i
2．i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为(　　)
A．1 B．3
C．i D．3i
3．复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量与，则对应向量的复数为(　　)
A．3＋9i B．2＋8i
C．－9－i D．9＋i
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．若复数z满足z＋2＝2＋i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．3－2i B．2＋3i
C．－i D．＋i
6．已知复数z满足|z－i|＝|z|，则|z|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．1
7．(多选题)已知复数z1＝1－i，z2＝2－i，z3＝2＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为原点，
则(　　)
A．z1＋z2的虚部为－2i
B．z2－z3为纯虚数
C．OA⊥OC
D．以OA，OB，OC为三边的三角形为钝角三角形
二．填空题
8．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，则点C的坐标为______.
9．在复平面内对应复数z的点为Z，且|z＋i|≤1，则点Z所组成图形的面积为______.
10．复数z1＝a＋4i，z2＝3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则|a＋bi|＝________.
11．已知复数z1，z2满足z1－2z2＝5＋i，2z1＋z2＝3i，则z1＝________.
三．解答题
12．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作 ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．
13．设z∈C，满足z＋∈R，且z－是纯虚数，求z.
14.计算求值
(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
一．选择题
1．A　解析：因为 z1＝2＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝－1＋2i.故选A．
2．B　解析：因为1＋z＝2＋3i，所以z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3.故选B．
3．D　解析：因为复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量与，＝－，所以向量对应的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.故选D．
4．C　解析：因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2.因此·＝0，所以⊥，即△OAB一定是直角三角形．
5．C　解析：设复数z＝x＋yi，则＝x－yi(x，y∈R)，则z＋2＝x＋yi＋2x－2yi＝3x－yi＝2＋i，则x＝，y＝－1，所以z＝－i.故选C．
6．B　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|＝|z|得，|x＋(y－1)i|＝|x＋yi|，所以x2＋(y－1)2＝x2＋y2，解得y＝，所以z＝x＋i，所以|z|＝≥(当且仅当x＝0时取等号)，所以|z|的最小值为.故选B．
7．BCD　解析：对于A，因为z1＋z2＝3－2i，所以z1＋z2的虚部为－2，故A错误；对于B，因为z2－z3＝－3i，所以z2－z3为纯虚数，故B正确；对于C，因为＝(1，－1)，＝(2，2)，所以·＝0，所以OA⊥OC，故C正确；对于D，由已知可得OA＝|z1|＝，OB＝|z2|＝，OC＝|z3|＝2，且OA2＋OB2＝7<8＝OC2，所以OA2＋OB2－OC2<0，故D正确．故选BCD．
二．填空题
8． (4，－2)　解析：因为对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，又＝－，
所以对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，所以点C的坐标为(4，－2)．
9．π　解析：|z＋i|≤1的解集对应的点组成的图形是以(0，－1)为圆心、1为半径的圆及其内部，其面积S＝π×12＝π.
10． 5　解析：由题设z1＋z2＝a＋4i＋3＋bi＝(a＋3)＋(b＋4)i为实数，得b＝－4.由z1－z2＝(a－3)＋(4－b)i为纯虚数，得a＝3，所以|a＋bi|＝|3－4i|＝＝5.
11． 1＋i　解析：由题意得z1－2z2＋2(2z1＋z2)＝5z1＝5＋i＋6i＝5＋7i，所以z1＝1＋i.
三．解答题
12．解：如图. 对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.
由复数加、减运算的几何意义，得＝＋，
所以z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
所以z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，所以AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
13． [解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
∵z＋∈R，∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1.
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数，
∴∴x＝，代入x2＋y2＝1中，解得y＝±，
∴复数z＝±i.
14.
解析　(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.
(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．
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