2025-2026学年人教A版数学必修第二册 7.2.2复数的乘、除运算 课时练习（含答案）

7.2.2复数的乘、除运算
一．选择题
1．复数z＝(7＋i)(5－i)的实部为(　　)
A．－2 B．2
C．34 D．36
2．(1＋i)4＋i57＝(　　)
A．4＋i B．－4＋i
C．4－i D．－4－i
3．已知z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知复数z·(1－2i)在复平面内对应点的坐标为(3，1)，则z＝(　　)
A．＋i B．＋i
C．－i D．－i
5．(多选题)已知z(2＋i)＝i2，则下列说法正确的是(　　)
A．z在复平面内对应的点的坐标为
B．＝－－i
C．z在复平面内对应的点与点关于原点对称
D．|z|＝
6．(多选题)设复数z＝，则下列命题中正确的是(　　)
A．|z|＝
B．＝1－i
C．z在复平面内对应的点在第一象限
D．z的虚部为2
二．填空题
7．已知i是虚数单位，若复数z＝＋i2 024，则的虚部是______.
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i，则在复平面内对应的点位于第________象限．
9．已知复数z满足(1－i)2z＝4＋2i2 023，则|z|＝________.
10．已知i为虚数单位，若复数z满足z＋＝(z－)i＝2，则z(2＋i)＝________.
11．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，点A与点B关于x轴对称．若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
三．解答题
12．已知1＋2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位．
(1)求p，q的值；
(2)记复数z＝p＋(－q＋4)i，求复数的模．
13．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，其中a是实数．
(1)若z＝－2i，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，求＋2＋3＋…＋2 025.
14．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
7.2.2复数的乘、除运算
一．选择题
1．D　解析：因为z＝(7＋i)(5－i)＝35－7i＋5i－i2＝36－2i，所以z的实部为36.故选D．
2．B　解析：(1＋i)4＋i57＝[(1＋i)2]2＋i1＋14×4＝(2i)2＋i＝－4＋i.故选B．
3．B　解析：z＝＝＝＝＋i，所以z在复平面内对应的点的坐标为.故选B．
4．A　解析：由已知复数z·(1－2i)在复平面内对应点的坐标为(3，1)，则z·(1－2i)＝3＋i，所以z＝＝＝＝＋i.故选A．
5．BCD　解析：由题意可得z＝＝＝－＋i，即z在复平面内对应的点的坐标为，与点关于原点对称，故A错误，C正确；＝－－i，故B正确；|z|＝＝，故D正确．故选BCD．
6．ABC　解析：由题意可得z＝＝＝1＋i.对于A，|z|＝＝，故A正确；对于B，＝1－i，故B正确；对于C，z在复平面内对应的点(1，1)在第一象限，故C正确；对于D，z的虚部为1，故D错误．故选ABC．
二．填空题
7． 1　解析：因为z＝＋i2 024＝＋i506×4＝－i＋1＝1－i，所以＝1＋i，复数的虚部是1.
8．一　解析：因为复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以＝＝＝＝＋i，在复平面内对应的点为，点位于第一象限．
9． 　解析：因为(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i，i2 023＝(i4)505·i3＝－i，所以z＝＝1＋2i.故|z|＝|1＋2i|＝.
10． 3－i　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以z＋＝2a，z－＝2bi.因为z＋＝(z－)i＝2，所以2a＝2bi2＝2，所以a＝1，b＝－1，所以z＝1－i，则z(2＋i)＝(1－i)(2＋i)＝3－i.
11． 　解析：因为z1(1－i)＝3－i，所以z1＝＝＝2＋i.
因为点A与点B关于x轴对称，所以z1与z2互为共轭复数，
所以z2＝1＝2－i，所以|z2|＝.
三．解答题
12．
解：(1)根据条件可将x＝1＋2i代入方程x2＋px＋q＝0，整理得(p＋q－3)＋(2p＋4)i＝0，所以解得
(2)由(1)可知z＝p＋(－q＋4)i＝－2－i，所以＝＝＝－＋i，
于是＝＝＝，因此复数的模为.
13．
解：(1)由复数z1＝a＋i，得z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai＝－2i.
又a是实数，因此解得a＝－1，
所以实数a的值是－1.
(2)由复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R，得＝＝＝＝＋i.
因为是纯虚数，所以解得a＝1，因此＝i.
又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
则i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，n∈N*，即有i4n－3＋i4n－2＋i4n－1＋i4n＝0，n∈N*，所以＋2＋3＋…＋2 025＝506(i＋i2＋i3＋i4)＋i＝i.
14．
[解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0.
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