17.1一元二次方程 课件(共32张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册

(共32张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.1一元二次方程第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.1一元二次方程练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. $$2x + 3 = 0$$ B. $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ C. $$x^3 - 2x = 1$$ D.$$\frac{1}{x^2} + x = 2$$1.一元二次方程$$3x^2 - 5x + 1 = 0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，-5，1 B. 3，5，1 C. 3，-5，-1 D. 3，5，-11.若方程$$(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（）A. $$m \neq 2$$ B. $$m \geq 2$$ C. $$m \leq 2$$ D. $$m \neq 0$$1.将方程$$2x(x - 1) = 3(x + 2)$$化为一元二次方程的一般形式，正确的是（）A. $$2x^2 - 5x - 6 = 0$$ B. $$2x^2 + 5x + 6 = 0$$ C. $$2x^2 - 5x + 6 = 0$$ D. $$2x^2 + 5x - 6 = 0$$1.已知$$x = 1$$是一元二次方程$$x^2 + ax - 2 = 0$$的一个根，则$$a$$的值是（）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2二、填空题（每题4分，共20分）1.一元二次方程的一般形式是$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），其中$$ax^2$$叫做________，$$bx$$叫做________，$$c$$叫做________。2.方程$$x^2 = 4x$$化为一般形式是________，其中二次项系数是________。3.若方程$$kx^2 - 4x + 3 = 0$$是一元二次方程，则$$k$$的取值范围是________。4.已知$$x = -2$$是方程$$x^2 + mx - 6 = 0$$的一个根，则$$m =$$________。5.根据题意列出一元二次方程：一个正方形的面积是$$25cm^2$$，设正方形的边长为$$x cm$$，则方程为________。6.判断下列方程是否为一元二次方程，若是，请指出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。（1）$$3x^2 - 2x + 1 = 0$$（2）$$2x - x^2 = 0$$（3）$$\frac{1}{x^2} + x = 3$$（4）$$(x + 1)(x - 2) = x^2 + 3$$7.将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。（1）$$5x^2 = 3x$$（2）$$(x - 2)(x + 3) = 6$$（3）$$2(x^2 - 1) = 3x$$8.已知关于$$x$$的方程$$(m + 1)x^{m^2 + 1} + 2mx - 3 = 0$$是一元二次方程，求$$m$$的值。9.已知$$x = 3$$是一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$的一个根，求$$k$$的值及方程的另一个根。---参考答案一、选择题1.B 2.A 3.A 4.A 5.A二、填空题1.二次项；一次项；常数项2. $$x^2 - 4x = 0$$；1 3. $$k \neq 0$$ 4. 1 5. $$x^2 = 25$$三、解答题1.（1）是；二次项系数3，一次项系数-2，常数项1；（2）是；二次项系数-1，一次项系数2，常数项0；（3）不是；分母含未知数，不是整式方程；（4）不是；化简后为$$-x - 5 = 0$$，是一元一次方程。2.（1）一般形式：$$5x^2 - 3x = 0$$；二次项系数5，一次项系数-3，常数项0；（2）一般形式：$$x^2 + x - 12 = 0$$；二次项系数1，一次项系数1，常数项-12；（3）一般形式：$$2x^2 - 3x - 2 = 0$$；二次项系数2，一次项系数-3，常数项-2。3.由题意得$$\begin{cases} m^2 + 1 = 2 \\ m + 1 \neq 0 \end{cases}$$，解得$$m = 1$$。4.把$$x = 3$$代入方程，得$$9 - 6 + k = 0$$，解得$$k = -3$$；方程化为$$x^2 - 2x - 3 = 0$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -1$$，另一个根为$$-1$$。1. 理解一元二次方程的概念. (重点)
2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. (难点)
没有未知数
1. 下列式子哪些是方程？
2 + 6 = 8
2x + 3
5x + 6 = 22
x + 3y = 8
x - 5<18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
一元二次方程的概念
问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ( 精确到 1 % )
1
根据数量关系绘制下图：
100x
100
100(1+x)
去年
今年
明年
100
100(1+x)x
分析 设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么，
明年无公害蔬菜产量为：
100 + 100x = 100(1 + x) ( t ),
今年无公害蔬菜产量为：
100(1+x)+100(1+x) · x =100(1+x)2 ( t ) .
根据题意，得 100(1 + x) = 200.
化简，得 (1 + x) = 2.
整理，得 x + 2x -1 = 0. ①
问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ( 精确到 1 % )
问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空
地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少
32
20
x
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
思考
32x
2×20x
2x2
2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？
整理以上方程，可得
32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570.
x2 - 36x + 35 = 0 ②.
32
20
32-2x
20-x
想一想 有同学列出的方程是(20 - x)(32 - 2x) = 570. 这个方程对吗？
观察与思考
方程①②都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
(1) 都是整式方程；
(2) 只含一个未知数；
(3) 未知数的最高次数是 2.
x2 - 36x + 35 = 0 ②
x + 2x -1 = 0 ①
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
知识要点
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx+c = 0,
当 a ≠ 0，b = 0 时
ax2+c = 0,
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2+bx = 0,
当 a ≠ 0，b = c =0 时
ax2 = 0,
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义.
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是 ( )
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0
少了先决条件 a ≠ 0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再做判断。
典例精析
例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1) ax2 - x = 2x2；
(2) (a - 1)x|a| + 1 - 2x - 7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2≠0，即 a≠2 时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解.
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1≠0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程.
例3 将方程 2x(x + 1) = 5 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
解：
去括号，得
2x2 + 2x = 5.
移项，得该方程的一般形式为
2x2 + 2x - 5 = 0.
其中二次项是 2x2，系数是 2；一次项是 2x，系数是 2；常数项是 -5.
系数和项均包含前面的符号。
注意
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
一元二次方程的根
2
例4 已知方程 3x( x - 1 ) = 2( x + 2 ) + 4.
(1) 把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
解 (1) 去括号，得 3x - 3x = 2x + 4 + 4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：
3x - 5x - 8 = 0
它的二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 -8.
典例精析
(2) 把 x = -1 代入原方程的左右两边，得
左边 = 3×(-1)×(-1 - 1) = 6.
右边 = 2×(-1 + 2) + 4 = 6.
因为左边 = 右边，所以 -1 是该方程的根.
例4 已知方程 3x( x - 1) = 2( x + 2 ) + 4.
(2) 判断 -1 是否为该方程的根，
例5 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值。
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值。
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C
C
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2．关于x的方程a2x2＋x－2＝x2是一元二次方程，则a满足(　　)
A．a≠1 B．a≠－1
C．a≠±1 D．为任意实数
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x2－8＝0
3．方程(x＋2)(x－2)＝4转化为一元二次方程的一般形式是____________．
4．将方程2x2＋7＝4x改写成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为(　　)
A．2，4，7 B．2，4，－7
C．2，－4，7 D．2，－4，－7
C
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5．关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　)
A．0 B．±3 C．3 D．－3
C
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2
6. 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为________．
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－4
7．已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
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A
8. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　)
A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100
C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100
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(100＋2x)(60＋2x)＝7 700
9. “指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长100 cm，宽60 cm的细纹刻纸的四周外围镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅长方形挂图，如图所示．如果要使挂图的面积是7 700 cm2，设边框的宽度为x cm，则列出的方程为_________________________．
【点拨】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，∴a2－4＝0且a＋2≠0，解得a＝2.
【点易错】本题容易忽视一元二次方程二次项系数不为0的约束条件．
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【答案】A
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【答案】A
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
根
使方程左右两边相等的未知数的值