17.2.3 因式分解法 课件(共33张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 17.2.3 因式分解法 课件(共33张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共33张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.2.3因式分解法第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.2.3因式分解法练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程化为（）的形式，再利用“若两数积为0，则至少一个数为0”求解A. $$(x + m)(x + n) = 0$$ B. $$(x + m)^2 = n$$ C. $$ax^2 + bx + c = 0$$ D. $$x^2 = k$$1.用因式分解法解方程$$x^2 - 5x = 0$$，正确的解是（）A. $$x = 5$$ B. $$x_1 = 0$$，$$x_2 = 5$$ C. $$x = 0$$ D. $$x_1 = 0$$，$$x_2 = -5$$1.下列方程中，不能用因式分解法直接求解的是（）A. $$x^2 - 4 = 0$$ B. $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ C. $$x^2 - 3x + 1 = 0$$ D. $$x^2 + x = 0$$1.用因式分解法解方程$$x^2 - 6x + 8 = 0$$，步骤正确的是（）A.分解因式得$$(x - 2)(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 4$$B.分解因式得$$(x + 2)(x + 4) = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = -4$$C.分解因式得$$(x - 2)(x + 4) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = -4$$D.分解因式得$$(x + 2)(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = 4$$1.若一元二次方程$$(x - 3)(x + m) = 0$$的两个根为$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -4$$，则$$m$$的值是（）A. 4 B. -4 C. 3 D. -3二、填空题（每题4分，共20分）1.因式分解法解一元二次方程的关键是：先将方程化为________形式，再令每个因式等于0，解两个一元一次方程。2.用因式分解法解方程$$x^2 - 9 = 0$$，可分解为$$(x + 3)(x - 3) = 0$$，方程的解为________。3.方程$$x^2 - 7x + 12 = 0$$分解因式为________，解为________。4.若方程$$x(x - 2) = 0$$，则两根之积为________，两根之和为________。5.用因式分解法解$$2x^2 - 4x = 0$$，先提取公因式得________，解得________。三、解答题（每题15分，共60分）1.用因式分解法解下列一元二次方程：（1）$$x^2 - 3x = 0$$（2）$$x^2 - 2x - 8 = 0$$（3）$$4x^2 - 1 = 0$$2.用因式分解法解下列一元二次方程（需先整理为标准形式）：（1）$$x(x - 5) = 3x$$（2）$$(x + 2)(x - 3) = 6$$（3）$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$3.先判断下列一元二次方程根的情况，再用因式分解法求解：（1）$$x^2 - 4x + 4 = 0$$（2）$$x^2 - 5x + 6 = 0$$（3）$$2x^2 + 3x + 1 = 0$$4.已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - (m + 2)x + 2m = 0$$，用因式分解法求解，并说明无论$$m$$取何实数，方程总有实数根。---参考答案一、选择题1.A 2.B 3.C 4.A 5.A二、填空题1.两个因式的积等于0（或$$(x + m)(x + n) = 0$$）2. $$x_1 = 3$$，$$x_2 = -3$$3. $$(x - 3)(x - 4) = 0$$；$$x_1 = 3$$，$$x_2 = 4$$ 4. 0；25. $$2x(x - 2) = 0$$；$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 2$$三、解答题1.（1）分解因式得$$x(x - 3) = 0$$，令$$x = 0$$或$$x - 3 = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 3$$；（2）分解因式得$$(x - 4)(x + 2) = 0$$，令$$x - 4 = 0$$或$$x + 2 = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = -2$$；（3）分解因式得$$(2x + 1)(2x - 1) = 0$$，令$$2x + 1 = 0$$或$$2x - 1 = 0$$，解得$$x_1 = -\frac{1}{2}$$，$$x_2 = \frac{1}{2}$$。2.（1）整理得$$x^2 - 8x = 0$$，分解因式得$$x(x - 8) = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 8$$；（2）整理得$$x^2 - x - 12 = 0$$，分解因式得$$(x - 4)(x + 3) = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = -3$$；（3）分解因式得$$(2x - 1)(x - 2) = 0$$，令$$2x - 1 = 0$$或$$x - 2 = 0$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$，$$x_2 = 2$$。3.（1）判别式$$\Delta = 16 - 16 = 0$$，有两个相等的实数根；分解因式得$$(x - 2)^2 = 0$$，解得$$x_1 = x_2 = 2$$；（2）判别式$$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；分解因式得$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$；（3）判别式$$\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；分解因式得$$(2x + 1)(x + 1) = 0$$，解得$$x_1 = -\frac{1}{2}$$，$$x_2 = -1$$。4.分解因式得$$(x - 2)(x - m) = 0$$，令$$x - 2 = 0$$或$$x - m = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = m$$；判别式$$\Delta = (m + 2)^2 - 8m = m^2 + 4m + 4 - 8m = (m - 2)^2 \geq 0$$，∴无论$$m$$取何实数，方程总有两个实数根（相等或不相等）。学习目标
1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点)
2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点)
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
因式分解法解一元二次方程
1
解：
解：
∵a = 4.9, b = -10, c = 0,
∴b2 - 4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 5) = 0；
(1) x1 = 0， x2 = 5.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
典例精析
例1 解方程：x2 - 2x = 0.
解 提取公因式，得 x(x - 2) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 2.
例2 解方程：( x + 4 ) ( x -1 ) = 6.
解 将原方程化为一般形式，得 x + 3x -10 = 0.
把方程左边分解因式，得 ( x + 5 )( x -2 ) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x = -5，x = 2.
思考 方程两边同除以 x ，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗 为什么
例3 解方程：x = x.
解 移项、提取公因式，得 x( x -1 ) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 1 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 1.
例4 解下列方程：
解：(1) 因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(x - 2)(x + 1) = 0.
(2) 移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0.
因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0.
∴ 2x + 1 = 0 或 2x - 1 = 0.
解得
例5 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)；
分析：方程左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快.
灵活选用适当的方法解方程
2
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
(2) (5x + 1)2 = 1；
解：开平方，得 5x + 1 = ±1.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4；
解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62，即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，x2 =
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
(4) 3x2 = 4x + 1.
解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0.
∵ b2 - 4ac = 28 > 0，
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型。
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0, n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0, b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
归纳总结
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，宜选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，宜选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法。系数含根式时也可选公式法。
一元二次方程的解法选择基本思路
返回
A
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
A
返回
2．已知某一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则这个方程可能为( )
A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0
C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0
返回
B
3．在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a＋b2，则方程x※(x＋1)＝5的解是( )
A．x＝5 B．x＝1
C．x1＝1，x2＝－4 D．x1＝－1，x2＝4
4．直线y＝mx＋n如图所示，则关于x的方程x2＋mx＝n的根是________________．
x＝1或x＝－6
返回
5.解下列方程：
(1)x2＋2x－15＝0；
【解】∵x2＋2x－15＝0，
∴(x＋5)(x－3)＝0.
∴x＋5＝0或x－3＝0，
解得x1＝－5，x2＝3.
(2)(y＋1)2＝(2y－1)2；
【解】∵(y＋1)2＝(2y－1)2，
∴(y＋1)2－(2y－1)2＝0.
∴(y＋1＋2y－1)(y＋1－2y＋1)＝0.
∴y＋1＋2y－1＝0或y＋1－2y＋1＝0，
解得y1＝0，y2＝2.
(3)x(x－4)＋5(x－4)＝0；
【解】∵x(x－4)＋5(x－4)＝0，
∴(x＋5)(x－4)＝0.
∴x＋5＝0或x－4＝0，
解得x1＝－5，x2＝4.
返回
返回
D
6．解方程x2－97x＝0较为合适的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
7．选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－6x＋9＝(5－2x)2；
返回
【解】∵(x－3)2＋(x－6)2＝9，∴(x－3)2＋(x－6)2－9＝0.∴(x－3)2＋(x－6＋3)(x－6－3)＝0.
∴(x－3)2＋(x－3)(x－9)＝0.∴(x－3)[(x－3)＋(x－9)]＝0.
∴(x－3)(2x－12)＝0.∴x－3＝0或2x－12＝0.
∴x1＝3，x2＝6.
(2)(x－3)2＋(x－6)2＝9.
返回
【解】移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
∴x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6.
8．解方程：3(x－3)＝(x－3)2.
返回
B
9．[2025芜湖期末]已知三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )
A．15 B．13
C．11或8 D．11或13
返回
【答案】A
2或3
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b);
a2±2ab + b2 = (a±b)2;
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.2.3因式分解法第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.2.3因式分解法练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程化为（）的形式，再利用“若两数积为0，则至少一个数为0”求解A. $$(x + m)(x + n) = 0$$ B. $$(x + m)^2 = n$$ C. $$ax^2 + bx + c = 0$$ D. $$x^2 = k$$1.用因式分解法解方程$$x^2 - 5x = 0$$，正确的解是（）A. $$x = 5$$ B. $$x_1 = 0$$，$$x_2 = 5$$ C. $$x = 0$$ D. $$x_1 = 0$$，$$x_2 = -5$$1.下列方程中，不能用因式分解法直接求解的是（）A. $$x^2 - 4 = 0$$ B. $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ C. $$x^2 - 3x + 1 = 0$$ D. $$x^2 + x = 0$$1.用因式分解法解方程$$x^2 - 6x + 8 = 0$$，步骤正确的是（）A.分解因式得$$(x - 2)(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 4$$B.分解因式得$$(x + 2)(x + 4) = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = -4$$C.分解因式得$$(x - 2)(x + 4) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = -4$$D.分解因式得$$(x + 2)(x - 4) = 0$$，解得$$x_1 = -2$$，$$x_2 = 4$$1.若一元二次方程$$(x - 3)(x + m) = 0$$的两个根为$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -4$$，则$$m$$的值是（）A. 4 B. -4 C. 3 D. -3二、填空题（每题4分，共20分）1.因式分解法解一元二次方程的关键是：先将方程化为________形式，再令每个因式等于0，解两个一元一次方程。2.用因式分解法解方程$$x^2 - 9 = 0$$，可分解为$$(x + 3)(x - 3) = 0$$，方程的解为________。3.方程$$x^2 - 7x + 12 = 0$$分解因式为________，解为________。4.若方程$$x(x - 2) = 0$$，则两根之积为________，两根之和为________。5.用因式分解法解$$2x^2 - 4x = 0$$，先提取公因式得________，解得________。三、解答题（每题15分，共60分）1.用因式分解法解下列一元二次方程：（1）$$x^2 - 3x = 0$$（2）$$x^2 - 2x - 8 = 0$$（3）$$4x^2 - 1 = 0$$2.用因式分解法解下列一元二次方程（需先整理为标准形式）：（1）$$x(x - 5) = 3x$$（2）$$(x + 2)(x - 3) = 6$$（3）$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$3.先判断下列一元二次方程根的情况，再用因式分解法求解：（1）$$x^2 - 4x + 4 = 0$$（2）$$x^2 - 5x + 6 = 0$$（3）$$2x^2 + 3x + 1 = 0$$4.已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - (m + 2)x + 2m = 0$$，用因式分解法求解，并说明无论$$m$$取何实数，方程总有实数根。---参考答案一、选择题1.A 2.B 3.C 4.A 5.A二、填空题1.两个因式的积等于0（或$$(x + m)(x + n) = 0$$）2. $$x_1 = 3$$，$$x_2 = -3$$3. $$(x - 3)(x - 4) = 0$$；$$x_1 = 3$$，$$x_2 = 4$$ 4. 0；25. $$2x(x - 2) = 0$$；$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 2$$三、解答题1.（1）分解因式得$$x(x - 3) = 0$$，令$$x = 0$$或$$x - 3 = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 3$$；（2）分解因式得$$(x - 4)(x + 2) = 0$$，令$$x - 4 = 0$$或$$x + 2 = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = -2$$；（3）分解因式得$$(2x + 1)(2x - 1) = 0$$，令$$2x + 1 = 0$$或$$2x - 1 = 0$$，解得$$x_1 = -\frac{1}{2}$$，$$x_2 = \frac{1}{2}$$。2.（1）整理得$$x^2 - 8x = 0$$，分解因式得$$x(x - 8) = 0$$，解得$$x_1 = 0$$，$$x_2 = 8$$；（2）整理得$$x^2 - x - 12 = 0$$，分解因式得$$(x - 4)(x + 3) = 0$$，解得$$x_1 = 4$$，$$x_2 = -3$$；（3）分解因式得$$(2x - 1)(x - 2) = 0$$，令$$2x - 1 = 0$$或$$x - 2 = 0$$，解得$$x_1 = \frac{1}{2}$$，$$x_2 = 2$$。3.（1）判别式$$\Delta = 16 - 16 = 0$$，有两个相等的实数根；分解因式得$$(x - 2)^2 = 0$$，解得$$x_1 = x_2 = 2$$；（2）判别式$$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；分解因式得$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$；（3）判别式$$\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；分解因式得$$(2x + 1)(x + 1) = 0$$，解得$$x_1 = -\frac{1}{2}$$，$$x_2 = -1$$。4.分解因式得$$(x - 2)(x - m) = 0$$，令$$x - 2 = 0$$或$$x - m = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = m$$；判别式$$\Delta = (m + 2)^2 - 8m = m^2 + 4m + 4 - 8m = (m - 2)^2 \geq 0$$，∴无论$$m$$取何实数，方程总有两个实数根（相等或不相等）。学习目标
1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点)
2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点)
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
因式分解法解一元二次方程
1
解：
解：
∵a = 4.9, b = -10, c = 0,
∴b2 - 4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 5) = 0；
(1) x1 = 0， x2 = 5.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
典例精析
例1 解方程：x2 - 2x = 0.
解 提取公因式，得 x(x - 2) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 2.
例2 解方程：( x + 4 ) ( x -1 ) = 6.
解 将原方程化为一般形式，得 x + 3x -10 = 0.
把方程左边分解因式，得 ( x + 5 )( x -2 ) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x = -5，x = 2.
思考 方程两边同除以 x ，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗 为什么
例3 解方程：x = x.
解 移项、提取公因式，得 x( x -1 ) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 1 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 1.
例4 解下列方程：
解：(1) 因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(x - 2)(x + 1) = 0.
(2) 移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0.
因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0.
∴ 2x + 1 = 0 或 2x - 1 = 0.
解得
例5 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)；
分析：方程左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快.
灵活选用适当的方法解方程
2
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
(2) (5x + 1)2 = 1；
解：开平方，得 5x + 1 = ±1.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4；
解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62，即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，x2 =
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
(4) 3x2 = 4x + 1.
解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0.
∵ b2 - 4ac = 28 > 0，
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型。
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0, n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0, b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
归纳总结
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，宜选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，宜选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法。系数含根式时也可选公式法。
一元二次方程的解法选择基本思路
返回
A
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
A
返回
2．已知某一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则这个方程可能为( )
A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0
C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0
返回
B
3．在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a＋b2，则方程x※(x＋1)＝5的解是( )
A．x＝5 B．x＝1
C．x1＝1，x2＝－4 D．x1＝－1，x2＝4
4．直线y＝mx＋n如图所示，则关于x的方程x2＋mx＝n的根是________________．
x＝1或x＝－6
返回
5.解下列方程：
(1)x2＋2x－15＝0；
【解】∵x2＋2x－15＝0，
∴(x＋5)(x－3)＝0.
∴x＋5＝0或x－3＝0，
解得x1＝－5，x2＝3.
(2)(y＋1)2＝(2y－1)2；
【解】∵(y＋1)2＝(2y－1)2，
∴(y＋1)2－(2y－1)2＝0.
∴(y＋1＋2y－1)(y＋1－2y＋1)＝0.
∴y＋1＋2y－1＝0或y＋1－2y＋1＝0，
解得y1＝0，y2＝2.
(3)x(x－4)＋5(x－4)＝0；
【解】∵x(x－4)＋5(x－4)＝0，
∴(x＋5)(x－4)＝0.
∴x＋5＝0或x－4＝0，
解得x1＝－5，x2＝4.
返回
返回
D
6．解方程x2－97x＝0较为合适的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
7．选择适当的方法解下列方程：
(1)x2－6x＋9＝(5－2x)2；
返回
【解】∵(x－3)2＋(x－6)2＝9，∴(x－3)2＋(x－6)2－9＝0.∴(x－3)2＋(x－6＋3)(x－6－3)＝0.
∴(x－3)2＋(x－3)(x－9)＝0.∴(x－3)[(x－3)＋(x－9)]＝0.
∴(x－3)(2x－12)＝0.∴x－3＝0或2x－12＝0.
∴x1＝3，x2＝6.
(2)(x－3)2＋(x－6)2＝9.
返回
【解】移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
∴x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6.
8．解方程：3(x－3)＝(x－3)2.
返回
B
9．[2025芜湖期末]已知三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )
A．15 B．13
C．11或8 D．11或13
返回
【答案】A
2或3
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b);
a2±2ab + b2 = (a±b)2;
a2 - b2 = (a + b)(a - b).