17.3 一元二次方程根的判别式 课件(共32张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 17.3 一元二次方程根的判别式 课件(共32张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.3一元二次方程根的判别式第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.3一元二次方程根的判别式练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），根的判别式$$\Delta$$的表达式是（）A. $$\Delta = b^2 - 4ac$$ B. $$\Delta = b^2 + 4ac$$ C. $$\Delta = (b - 2a)^2$$ D. $$\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac}$$1.若一元二次方程$$x^2 - 2x + 1 = 0$$，则其根的判别式的值为（）A. 0 B. 4 C. 8 D. -41.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A. $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ B. $$2x^2 + 3x + 1 = 0$$ C. $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ D. $$5x^2 = 0$$1.若一元二次方程$$kx^2 - 2x - 1 = 0$$有两个实数根，则$$k$$的取值范围是（）A. $$k \geq -1$$ B. $$k \geq -1$$且$$k \neq 0$$ C. $$k \leq -1$$ D. $$k < -1$$且$$k \neq 0$$1.已知一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$）的$$\Delta = 25$$，则方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断二、填空题（每题4分，共20分）1.对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），当$$\Delta > 0$$时，方程有________；当$$\Delta = 0$$时，方程有________；当$$\Delta < 0$$时，方程________。2.方程$$2x^2 - 3x + 1 = 0$$的判别式$$\Delta =$$________，根的情况是________。3.若一元二次方程$$x^2 - mx + 4 = 0$$有两个相等的实数根，则$$m =$$________。4.已知关于$$x$$的方程$$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$$没有实数根，则$$m$$的取值范围是________。5.若方程$$x^2 + 2(k - 1)x + k^2 = 0$$有实数根，则$$k$$的最大值是________。三、解答题（每题15分，共60分）1.计算下列一元二次方程的判别式，并判断方程根的情况：（1）$$x^2 - 5x + 6 = 0$$（2）$$3x^2 + 2x - 1 = 0$$（3）$$4x^2 - 4x + 1 = 0$$（4）$$2x^2 - 3x + 4 = 0$$2.已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - 2x + k - 1 = 0$$，根据下列条件求$$k$$的取值范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。3.已知关于$$x$$的方程$$mx^2 - (2m + 1)x + m + 3 = 0$$，当$$m$$为何值时，方程有两个实数根？4.已知$$a$$、$$b$$、$$c$$是三角形的三边长，试判断方程$$b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0$$的根的情况。---参考答案一、选择题1.A 2.A 3.B 4.B 5.B二、填空题1.两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根2. 1；有两个不相等的实数根3. $$\pm 4$$ 4. $$m > 2$$ 5. $$\frac{1}{2}$$三、解答题1.（1）$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；（2）$$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16 > 0$$，有两个不相等的实数根；（3）$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$$，有两个相等的实数根；（4）$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0$$，没有实数根。2.（1）$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k > 0$$，解得$$k < 2$$；（2）$$\Delta = 8 - 4k = 0$$，解得$$k = 2$$；（3）$$\Delta = 8 - 4k < 0$$，解得$$k > 2$$。3.由题意得$$\begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta = [-(2m + 1)]^2 - 4 \times m \times (m + 3) \geq 0 \end{cases}$$，化简$$\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 12m = -8m + 1 \geq 0$$，解得$$m \leq \frac{1}{8}$$且$$m \neq 0$$。4.判别式$$\Delta = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2$$，因式分解得$$\Delta = (b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 - 2bc) = [(b + c)^2 - a^2][(b - c)^2 - a^2]$$，即$$\Delta = (b + c + a)(b + c - a)(b - c + a)(b - c - a)$$；∵ $$a$$、$$b$$、$$c$$是三角形三边长，∴$$b + c + a > 0$$，$$b + c - a > 0$$，$$b - c + a > 0$$，$$b - c - a < 0$$，∴ $$\Delta < 0$$，方程没有实数根。学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点)
符号化语言，提炼出核心表达式 b －4ac
巴比伦人、花剌子模
笛卡尔
拉格朗日
从具体解法中
提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知.
术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华.
追本溯源
韦达
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0).
解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0.
配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - .
即 (x + )2 =
问题1：接下来能直接开平方吗？
一元二次方程根的判别式
1
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0.
当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 =
当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 =
当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，
所以此时原方程没有实数根.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
知识要点
3. 判别根的情况，得出结论。
1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值；
根的判别式应用方法
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号；
知识要点
典例精析
例1 用根的判别式判别下列方程根的情况：
解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2) 原方程可变形为 25y -20y + 4 = 0，
因为 Δ = ( -20) -4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(1) 5x - 3x - 2 = 0； (2) 25y + 4 = 20y；
(3) 2x +x +1= 0.
(3) 因为 Δ = () - 4×2×1 = -5 < 0，
所以原方程没有实数根.
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。
方法归纳
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0.
B
返回
C
C
返回
返回
D
3．[2025安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0
4. 关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
A
返回
返回
5．[2025德阳]若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
C
返回
a≥－4
6．已知关于x的方程ax2－4x－1＝0至少有一个实数解，则a的取值范围是____________．
【点拨】当a＝0时，原方程为－4x－1＝0，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2－4x－1＝0是一元二次方程，则当Δ＝(－4)2－4a×(－1)＝16＋4a≥0时，方程有实数解，解得a≥－4.综上，a的取值范围是a≥－4.
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四
7．若一元二次方程x2－2x＋k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx＋2的图象不经过第________象限．
【解】∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即4－4×1×(－k)≥0.∴k≥－1.
8．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
返回
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【解】∵方程的一个根为2，
∴将x＝2代入方程，可得k＝8.
∴原方程为x2＋2x－8＝0，即(x－2)(x＋4)＝0.
∴x1＝2，x2＝－4，即方程的另一个根为－4.
9．[2025内江]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a<2
C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1
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【点拨】∵关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，∴a－1≠0，且Δ＝22－4(a－1)＝8－4a≥0，解得a≤2且a≠1.
【答案】C
10．已知关于x的一元二次方程(p＋1)x2＋2qx＋(p＋1)＝0(其中p，q为常数)有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是( )
A．1可能是方程x2＋qx＋p＝0的根
B．－1可能是方程x2＋qx＋p＝0的根
C．0可能是方程x2＋qx＋p＝0的根
D．1和－1都是方程x2＋qx＋p＝0的根
【点拨】根据题意，可得Δ＝(2q)2－4(p＋1)2＝0，且p＋1≠0，∴q＝±(p＋1)．当q＝p＋1时，q－p－1＝0，此时x＝－1是方程x2＋qx＋p＝0的根；当q＝－(p＋1)时，q＋p＋1＝0，此时x＝1是方程x2＋qx＋p＝0的根．∵p＋1≠0，∴p＋1≠－(p＋1)．∴x＝1和x＝－1不能同时是方程x2＋qx＋p＝0的根．将x＝0代入x2＋qx＋p＝0中，得p＝0，∴q＝±1.∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2＋qx＋p＝0的根．故选D.
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【答案】D
11．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a＜0，b＋c＞0，a＋c＜0时，方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根；③当a＞0，a＋b＋c＜0时，方程一定没有实数根；④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
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③当a＝1，b＝－1，c＝－1时，满足a>0，a＋b＋c<0，此时Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误．④∵b＋4a＝0，∴b＝－4a.又∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝4a.∴Δ＝(－4a)2－4·a·4a＝0.∴方程有两个相等的实数根，故原说法错误．故选B.
【答案】B
2
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13．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－n＋1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
【解】由题意，知a＝1，b＝－2m，c＝m2－n＋1.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2－n＋1)>0.∴n>1.
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值．
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根的判别式：Δ = b2 - 4ac
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根
Δ < 0 时，方程没有实根
Δ = 0 时，方程有两个相等的实根
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.3一元二次方程根的判别式第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.3一元二次方程根的判别式练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），根的判别式$$\Delta$$的表达式是（）A. $$\Delta = b^2 - 4ac$$ B. $$\Delta = b^2 + 4ac$$ C. $$\Delta = (b - 2a)^2$$ D. $$\Delta = \sqrt{b^2 - 4ac}$$1.若一元二次方程$$x^2 - 2x + 1 = 0$$，则其根的判别式的值为（）A. 0 B. 4 C. 8 D. -41.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A. $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ B. $$2x^2 + 3x + 1 = 0$$ C. $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ D. $$5x^2 = 0$$1.若一元二次方程$$kx^2 - 2x - 1 = 0$$有两个实数根，则$$k$$的取值范围是（）A. $$k \geq -1$$ B. $$k \geq -1$$且$$k \neq 0$$ C. $$k \leq -1$$ D. $$k < -1$$且$$k \neq 0$$1.已知一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$）的$$\Delta = 25$$，则方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断二、填空题（每题4分，共20分）1.对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），当$$\Delta > 0$$时，方程有________；当$$\Delta = 0$$时，方程有________；当$$\Delta < 0$$时，方程________。2.方程$$2x^2 - 3x + 1 = 0$$的判别式$$\Delta =$$________，根的情况是________。3.若一元二次方程$$x^2 - mx + 4 = 0$$有两个相等的实数根，则$$m =$$________。4.已知关于$$x$$的方程$$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$$没有实数根，则$$m$$的取值范围是________。5.若方程$$x^2 + 2(k - 1)x + k^2 = 0$$有实数根，则$$k$$的最大值是________。三、解答题（每题15分，共60分）1.计算下列一元二次方程的判别式，并判断方程根的情况：（1）$$x^2 - 5x + 6 = 0$$（2）$$3x^2 + 2x - 1 = 0$$（3）$$4x^2 - 4x + 1 = 0$$（4）$$2x^2 - 3x + 4 = 0$$2.已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - 2x + k - 1 = 0$$，根据下列条件求$$k$$的取值范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。3.已知关于$$x$$的方程$$mx^2 - (2m + 1)x + m + 3 = 0$$，当$$m$$为何值时，方程有两个实数根？4.已知$$a$$、$$b$$、$$c$$是三角形的三边长，试判断方程$$b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0$$的根的情况。---参考答案一、选择题1.A 2.A 3.B 4.B 5.B二、填空题1.两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根2. 1；有两个不相等的实数根3. $$\pm 4$$ 4. $$m > 2$$ 5. $$\frac{1}{2}$$三、解答题1.（1）$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$，有两个不相等的实数根；（2）$$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16 > 0$$，有两个不相等的实数根；（3）$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$$，有两个相等的实数根；（4）$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0$$，没有实数根。2.（1）$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k > 0$$，解得$$k < 2$$；（2）$$\Delta = 8 - 4k = 0$$，解得$$k = 2$$；（3）$$\Delta = 8 - 4k < 0$$，解得$$k > 2$$。3.由题意得$$\begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta = [-(2m + 1)]^2 - 4 \times m \times (m + 3) \geq 0 \end{cases}$$，化简$$\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 12m = -8m + 1 \geq 0$$，解得$$m \leq \frac{1}{8}$$且$$m \neq 0$$。4.判别式$$\Delta = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2$$，因式分解得$$\Delta = (b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 - 2bc) = [(b + c)^2 - a^2][(b - c)^2 - a^2]$$，即$$\Delta = (b + c + a)(b + c - a)(b - c + a)(b - c - a)$$；∵ $$a$$、$$b$$、$$c$$是三角形三边长，∴$$b + c + a > 0$$，$$b + c - a > 0$$，$$b - c + a > 0$$，$$b - c - a < 0$$，∴ $$\Delta < 0$$，方程没有实数根。学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点)
符号化语言，提炼出核心表达式 b －4ac
巴比伦人、花剌子模
笛卡尔
拉格朗日
从具体解法中
提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知.
术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华.
追本溯源
韦达
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0).
解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0.
配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - .
即 (x + )2 =
问题1：接下来能直接开平方吗？
一元二次方程根的判别式
1
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0.
当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 =
当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 =
当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，
所以此时原方程没有实数根.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
知识要点
3. 判别根的情况，得出结论。
1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值；
根的判别式应用方法
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号；
知识要点
典例精析
例1 用根的判别式判别下列方程根的情况：
解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2) 原方程可变形为 25y -20y + 4 = 0，
因为 Δ = ( -20) -4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(1) 5x - 3x - 2 = 0； (2) 25y + 4 = 20y；
(3) 2x +x +1= 0.
(3) 因为 Δ = () - 4×2×1 = -5 < 0，
所以原方程没有实数根.
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。
方法归纳
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0.
B
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C
C
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D
3．[2025安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0
4. 关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
A
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5．[2025德阳]若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
C
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a≥－4
6．已知关于x的方程ax2－4x－1＝0至少有一个实数解，则a的取值范围是____________．
【点拨】当a＝0时，原方程为－4x－1＝0，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2－4x－1＝0是一元二次方程，则当Δ＝(－4)2－4a×(－1)＝16＋4a≥0时，方程有实数解，解得a≥－4.综上，a的取值范围是a≥－4.
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四
7．若一元二次方程x2－2x＋k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx＋2的图象不经过第________象限．
【解】∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即4－4×1×(－k)≥0.∴k≥－1.
8．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
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(2)若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【解】∵方程的一个根为2，
∴将x＝2代入方程，可得k＝8.
∴原方程为x2＋2x－8＝0，即(x－2)(x＋4)＝0.
∴x1＝2，x2＝－4，即方程的另一个根为－4.
9．[2025内江]若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a<2
C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1
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【点拨】∵关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，∴a－1≠0，且Δ＝22－4(a－1)＝8－4a≥0，解得a≤2且a≠1.
【答案】C
10．已知关于x的一元二次方程(p＋1)x2＋2qx＋(p＋1)＝0(其中p，q为常数)有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是( )
A．1可能是方程x2＋qx＋p＝0的根
B．－1可能是方程x2＋qx＋p＝0的根
C．0可能是方程x2＋qx＋p＝0的根
D．1和－1都是方程x2＋qx＋p＝0的根
【点拨】根据题意，可得Δ＝(2q)2－4(p＋1)2＝0，且p＋1≠0，∴q＝±(p＋1)．当q＝p＋1时，q－p－1＝0，此时x＝－1是方程x2＋qx＋p＝0的根；当q＝－(p＋1)时，q＋p＋1＝0，此时x＝1是方程x2＋qx＋p＝0的根．∵p＋1≠0，∴p＋1≠－(p＋1)．∴x＝1和x＝－1不能同时是方程x2＋qx＋p＝0的根．将x＝0代入x2＋qx＋p＝0中，得p＝0，∴q＝±1.∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2＋qx＋p＝0的根．故选D.
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【答案】D
11．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述：①当a＜0，b＋c＞0，a＋c＜0时，方程一定没有实数根；②当a<0，b＋c>0，b－c<0时，方程一定有实数根；③当a＞0，a＋b＋c＜0时，方程一定没有实数根；④当a>0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
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③当a＝1，b＝－1，c＝－1时，满足a>0，a＋b＋c<0，此时Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误．④∵b＋4a＝0，∴b＝－4a.又∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝4a.∴Δ＝(－4a)2－4·a·4a＝0.∴方程有两个相等的实数根，故原说法错误．故选B.
【答案】B
2
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13．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－n＋1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
【解】由题意，知a＝1，b＝－2m，c＝m2－n＋1.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2－n＋1)>0.∴n>1.
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值．
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根的判别式：Δ = b2 - 4ac
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根
Δ < 0 时，方程没有实根
Δ = 0 时，方程有两个相等的实根