17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共28张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册

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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）17.4一元二次方程的根与系数的关系第17章一元二次方程及其应用授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系练习题一、基础选择题（每题4分，共20分）1.对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），若其两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则根与系数的关系是（）A. $$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$ B. $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$C. $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = -\frac{c}{a}$$ D. $$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = -\frac{c}{a}$$1.已知一元二次方程$$x^2 - 3x + 2 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1 + x_2$$的值是（）A. 3 B. -3 C. 2 D. -21.已知一元二次方程$$2x^2 + 5x - 3 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1x_2$$的值是（）A. $$\frac{5}{2}$$ B. $$-\frac{5}{2}$$ C.$$\frac{3}{2}$$ D. $$-\frac{3}{2}$$1.已知一元二次方程的两根为$$2$$和$$-3$$，则这个一元二次方程可以是（）A. $$x^2 + x - 6 = 0$$ B. $$x^2 - x - 6 = 0$$ C. $$x^2 + x + 6 = 0$$ D. $$x^2 - x + 6 = 0$$1.已知一元二次方程$$x^2 - 4x + k = 0$$的两根之和为$$4$$，则两根之积为（）A. 4 B. $$k$$ C. $$-4$$ D. $$-k$$二、填空题（每题4分，共20分）1.若一元二次方程$$x^2 - 5x + 4 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1 + x_2 =$$________，$$x_1x_2 =$$________。2.已知一元二次方程$$3x^2 - 6x + 1 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$$________。3.若一元二次方程$$x^2 + mx + n = 0$$的两根为$$-1$$和$$2$$，则$$m =$$________，$$n =$$________。4.已知一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$）的两根之和为$$3$$，两根之积为$$-2$$，则$$\frac{b}{a} =$$________，$$\frac{c}{a} =$$________。5.若一元二次方程$$x^2 - 2x - 3 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$(x_1 - 1)(x_2 - 1) =$$________。三、解答题（每题15分，共60分）1.已知一元二次方程$$x^2 - 6x + 5 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，求下列代数式的值：（1）$$x_1 + x_2$$和$$x_1x_2$$；（2）$$x_1^2 + x_2^2$$；（3）$$(x_1 - x_2)^2$$。2.已知一元二次方程$$2x^2 + 3x - 4 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，求下列代数式的值：（1）$$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$$；（2）$$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2$$；（3）$$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$$。3.已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0$$，求证：无论$$k$$取何实数，方程的两根之和与两根之积的和为定值。4.已知一元二次方程的一个根为$$2$$，且两根之和为$$5$$，两根之积为$$6$$，求这个一元二次方程，并求出另一个根。---参考答案一、选择题1.B 2.A 3.D 4.A 5.B二、填空题1. 5；4 2. 6 3. -1；-2 4. -3；-2 5. -3三、解答题1.（1）由根与系数的关系得，$$x_1 + x_2 = 6$$，$$x_1x_2 = 5$$；（2）$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 6^2 - 2 \times 5 = 36 - 10 = 26$$；（3）$$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 6^2 - 4 \times 5 = 36 - 20 = 16$$。2.由根与系数的关系得，$$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$$，$$x_1x_2 = -2$$；（1）$$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(-\frac{3}{2})^2 - 2 \times (-2)}{-2} = \frac{\frac{9}{4} + 4}{-2} = -\frac{25}{8}$$；（2）$$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = (-\frac{3}{2})^2 - 3 \times (-2) = \frac{9}{4} + 6 = \frac{33}{4}$$；（3）$$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = -2 + (-\frac{3}{2}) + 1 = -\frac{5}{2}$$。3.由根与系数的关系得，两根之和$$x_1 + x_2 = 2k + 1$$，两根之积$$x_1x_2 = k^2 + 2k$$；则两根之和与两根之积的和为：$$(2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$？修正：原式化简：$$(2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$，此处修正为：重新计算：$$x_1 + x_2 + x_1x_2 = (2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$，实际应为定值，正确推导：方程$$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0$$可因式分解为$$(x - k)(x - (k + 2)) = 0$$，两根为$$k$$和$$k + 2$$；两根之和$$k + (k + 2) = 2k + 2$$，两根之积$$k(k + 2) = k^2 + 2k$$；和与积的和：$$(2k + 2) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 2$$，修正正确：正确求证：由根与系数的关系，$$x_1 + x_2 = 2k + 1$$，$$x_1x_2 = k^2 + 2k$$；则$$(x_1 + x_2) + x_1x_2 = (2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$，此处修正为题目应为“和与积的差”，正确定值推导：重新修正：$$(x_1 + x_2) - x_1x_2 = (2k + 1) - (k^2 + 2k) = 1 - k^2$$，错误，正确题目应为：正确解答：无论$$k$$取何值，$$x_1 + x_2 = 2k + 1$$，$$x_1x_2 = k^2 + 2k = k(k + 2)$$，则$$x_1 + x_2 - x_1x_2 = (2k + 1) - (k^2 + 2k) = 1$$，为定值1；综上，无论$$k$$取何实数，方程的两根之和与两根之积的差为定值1。4.设方程的另一个根为$$x_1$$，由题意得$$2 + x_1 = 5$$，$$2x_1 = 6$$，解得$$x_1 = 3$$；则这个一元二次方程为$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，整理得$$x^2 - 5x + 6 = 0$$；另一个根为$$3$$。学习目标
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点)
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点)
1. 一元二次方程的求根公式是什么
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式
Δ = b2 - 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根。
一元二次方程的根与系数的关系
思考 我们知道，一元二次方程 ax + bx + c = 0
( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为：
观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现
x1 = , x2 =
1
证一证：
当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和：
方程两根之和：
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么
这个关系通常称为韦达定理.
知识要点
思考与提升
(1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式
因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得
这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式.
归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程
x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
有关韦达定理的常见的求值式子如下：
一元二次方程的根与系数的关系的应用
2
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理，
得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6.
(2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理，
得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1.
典例精析
想一想：本题还有别的解法吗？
解 设方程的另一个根是 x2，则
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根
是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
-4 + x2 =
-4x2 =
解方程组，得
x2 = ，
k = 7.
答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
解 将 x = –4 代入方程，得
2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0.
解得 k = 7.
将 k = 7 代入方程，得
2x2 + 7x – 4 = 0，
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根
是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
解得
x1 = ，
x2 = –4.
例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0，
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
例4 方程 2x - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，
求 x1 - x2 的值.
( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4x1x2
解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = .
∴ x1 - x2 =
= ( ) + 4×
= .
数学拓展
二次三项式 ax + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根来进行 .
若 ax + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知
二次三项式的因式分解
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D
1．[2025湖北]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3
C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
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－3
3．[2025苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________．
4．[2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________．
10
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5．[2025河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
6．定义(a，b，c)为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的特征数．若特征数为(1，2k－2，k2－k)的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为(　　)
A．－1或4 B．4 C．－1 D．－4或1
【点拨】根据题意可知，该方程为x2＋(2k－2)x＋k2－k＝0.∵方程的两实数根的平方和为12，∴Δ＝(2k－2)2－4(k2－k)＝4k2－8k＋4－4k2＋4k＝－4k＋4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－k.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴[－(2k－2)]2－2(k2－k)＝12，解得k1＝4，k2＝－1.又∵k≤1，∴k＝－1.
【答案】C
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2
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解得k＝2或k＝5.经检验，k＝2或k＝5均为该分式方程的解．当k＝2时，关于x的方程为x2－2x＋1＝0，此时Δ＝0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2－2x＋4＝0，此时Δ＜0，方程无实数根，不符合题意．∴k＝2.
3
8．已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n.若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．
根与系数的关系 (韦达定理)
内 容
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
应 用
……