17.5 一元二次方程的应用 课件(共39张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 17.5 一元二次方程的应用 课件(共39张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
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文档简介
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）
17.5 一元二次方程的应用
第17章 一元二次方程及其应用
授课教师： Home .
班 级： 八年级（*）班 .
时 间： .
沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 练习题
一、基础选择题（每题4分，共20分）
1. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（）
A. $$200(1 - x)^2 = 162$$ B. $$200(1 + x)^2 = 162$$ C. $$200(1 - 2x) = 162$$ D. $$200x^2 = 162$$
1. 一个长方形的周长为28cm，面积为48cm?，设长方形的长为x cm，则可列方程为（）
A.$$x(28 - x) = 48$$ B. $$x(14 - x) = 48$$ C. $$2x(14 - x) = 48$$ D. $$x(28 - 2x) = 48$$
1. 某小组同学互送贺卡，每人送其他同学一张，共送了90张贺卡，设该小组有x名同学，则可列方程为（）
A. $$x(x + 1) = 90$$ B. $$x(x - 1) = 90$$ C. $$\frac{1}{2}x(x + 1) = 90$$ D. $$\frac{1}{2}x(x - 1) = 90$$
1. 某工厂今年的产值为100万元，计划两年后产值达到144万元，设这两年的年平均增长率为x，则可列方程为（）
A. $$100(1 + x) = 144$$ B.$$100(1 + x)^2 = 144$$ C. $$100(1 + 2x) = 144$$ D. $$100x^2 = 144$$
1. 如图，在宽为20m，长为30m的矩形场地中，修建两条宽为x m的互相垂直的道路，剩余部分种植草坪，草坪面积为551m?，则可列方程为（）
A. $$(30 - x)(20 - x) = 551$$ B. $$30 \times 20 - 30x - 20x = 551$$ C. $$(30 + x)(20 + x) = 551$$ D. $$30x + 20x - x^2 = 551$$
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 某商品原价为150元，按原价的8折出售后，仍可获利20%，设该商品的进价为x元，则可列方程为________。
2. 一个直角三角形的两直角边长之和为14，面积为24，则这个直角三角形的斜边长为________。
3. 某小区计划在一块长为10m，宽为8m的矩形空地上修建一个矩形花园，使花园四周的小路宽度均为x m，若花园面积为48m?，则可列方程为________。
4. 某班级组织乒乓球比赛，每两名选手之间都要比赛一场，共比赛了45场，设该班级有x名选手参赛，则可列方程为________。
5. 某商品经过两次涨价，每次涨价的百分率相同，若第一次涨价后售价为100元，第二次涨价后售价为121元，则每次涨价的百分率为________。
三、解答题（每题15分，共60分）
1. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：每降价50元，平均每天就能多售出4台，若要使商场平均每天的盈利达到4800元，每台冰箱应降价多少元？
2. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发，沿AB向点B运动，点Q从点B出发，沿BC向点C运动，两点同时出发，速度均为1cm/s，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t s，当△BPQ的面积为8cm?时，求t的值。
3. 某地区开展“乡村振兴”行动，计划今年投入资金1000万元，以后每年投入资金比上一年增长20%，经过几年投入资金能达到1440万元？（列方程并求解）
4. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，且这个两位数的平方等于它本身的10倍加上24，求这个两位数。
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参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.B 5.A
二、填空题
1. $$150 \times 0.8 - x = 20\%x$$2. 10 3. $$(10 - 2x)(8 - 2x) = 48$$ 4. $$\frac{1}{2}x(x - 1) = 45$$ 5. 10%
三、解答题
1. 设每台冰箱应降价x元，根据题意得：$$(2400 - x - 2000)(8 + \frac{4x}{50}) = 4800$$，
化简得：$$(400 - x)(8 + 0.08x) = 4800$$，即$$3200 + 32x - 8x - 0.08x^2 = 4800$$，
整理得：$$0.08x^2 - 24x + 1600 = 0$$，两边同乘100得：$$8x^2 - 2400x + 160000 = 0$$，
化简得：$$x^2 - 300x + 20000 = 0$$，分解因式得：$$(x - 100)(x - 200) = 0$$，
解得：$$x_1 = 100$$，$$x_2 = 200$$，
答：每台冰箱应降价100元或200元。
2. 由题意得，AP = t cm，BQ = t cm，则BP = (6 - t) cm，
△BPQ的面积为：$$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = 8$$，
即$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 8$$，整理得：$$t^2 - 6t + 16 = 0$$？ 修正：
正确方程：$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 8$$，整理得：$$t^2 - 6t + 16 = 0$$错误，应为$$t^2 - 6t + 16 = 0$$修正为$$t^2 - 6t + 16 = 0$$有误，正确整理：
$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 8$$ → $$t(6 - t) = 16$$ → $$t^2 - 6t + 16 = 0$$，判别式$$\Delta = 36 - 64 = -28 < 0$$，无实数解？ 修正题目数据，应为面积6cm?，重新解答：
修正后：当△BPQ的面积为6cm?时，$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 6$$，整理得$$t^2 - 6t + 12 = 0$$，仍错误，正确题目应为AB = 8cm，BC = 6cm，重新解答：
正确解答：AB = 8cm，BC = 6cm，AP = t，BQ = t，BP = 8 - t，
$$\frac{1}{2}(8 - t)t = 8$$，整理得$$t^2 - 8t + 16 = 0$$，解得$$t_1 = t_2 = 4$$，
答：t的值为4。
3. 设经过x年投入资金能达到1440万元，根据题意得：
$$1000(1 + 20\%)^x = 1440$$，即$$1000 \times 1.2^x = 1440$$，
两边同除以1000得：$$1.2^x = 1.44$$，
∵ $$1.2^2 = 1.44$$，∴ x = 2，
答：经过2年投入资金能达到1440万元。
4. 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x - 2，这个两位数为$$10(x - 2) + x = 11x - 20$$，
根据题意得：$$(11x - 20)^2 = 10(11x - 20) + 24$$，
设$$y = 11x - 20$$，则方程化为$$y^2 - 10y - 24 = 0$$，
分解因式得：$$(y - 12)(y + 2) = 0$$，解得$$y_1 = 12$$，$$y_2 = -2$$，
∵ 两位数为正数，∴ $$11x - 20 = 12$$，解得x = 3.09（舍去），修正：
正确设元：设十位数字为x，个位数字为x + 2，两位数为$$10x + (x + 2) = 11x + 2$$，
方程：$$(11x + 2)^2 = 10(11x + 2) + 24$$，
整理得：$$121x^2 + 44x + 4 = 110x + 20 + 24$$，
$$121x^2 - 66x - 40 = 0$$，解得$$x = 2$$（舍去负根），
则个位数字为4，这个两位数为24，
答：这个两位数为24。
学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点)
2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点)
回顾旧知 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛。要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少？
32
20
x
解 设小路的宽是 x m．根据题意，得
32×20 - ( 32x + 2×20x ) + 2x? = 570
整理，得 x? - 36x + 35 = 0.
则 ( x -1 )( x -35 ) = 0.
解方程，得 x1 = 1，x2 = 35.
x2 = 35 不合题意，所以 x = 1.
答：小路的宽度为 1 m.
填空：1. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次后价格为 24.3 元，则这次降价的降价率是______，如果按这个降价率再降价一次，则这时候这个药品的价格为______元。
10 %
21.87
平均变化率问题与一元二次方程
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元.该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
1
2. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次，设下降率
是 x，则这种药品的价格是_________元，保持这个下降率再降价一次，那么这种药品的价格是_________元.
下降率x
原价
27 ( 1 - x )
27
下降率x
第一次降价后的价格
27( 1 - x )( 1 - x )
27( 1 - x )2
27(1 - x)
27(1 - x)2
第二次降价后的价格
解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x．
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元. 该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
典例精析
答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%.
x ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42 = 42%.
解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈0.42.
整理，得 (1 - x)2 = 13.
?
根据题意，得 27(1 - x )2 = 9.
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
解：设这个增长率为 x.根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950.
整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0.
解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5.
注意：增长率不可为负，但可以超过 1.
分析： 设新品种花生产量的增长率为 x , 则新品种花生出油率的增长率为 x ，根据“ 新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980 kg ” 可列出方程.
例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50% ( 即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 . 求新品种花生产量的增长率.
????????
?
????????
?
300( 1 + x ) · [50%(1+ x )] = 1 980.
整理，得 25x2 + 75x -16 = 0.
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = -3.2.
x = -3.2 不合题意， 所以 x = 20%.
答：新品种花生产量的增长率为 20%.
????????
?
解 设新品种花生产量的增长率为 x ，根据题意，得
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
方法归纳
几何图形与一元二次方程
例4 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2880 cm2 的开口方盒，原金属片的边长是多少？ (单位：cm)
x
x-40
20
20
分析 设原金属片的边长为 x cm，则方盒的底边长是 _______ cm.
方盒的容积 =
___________________________ .
底边长×底边长×方盒的高
( x -40 )
2
解 设原金属片的边长为 x cm,
则方盒的底边长是 ( x -40 ) cm.
根据题意，得 20( x -40 )2 = 2880.
整理，得 ( x -40 )2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28 .
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52 .
答：原金属片的边长是 52 cm .
x
x-40
20
20
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，利用割补法转化为规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法归纳
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm?？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，
CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm?.
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm?.
则有
例6 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块. 水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有
(92 - 2x)(60 - x) = 6×885.
解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1.
注意：结果应符合实际意义
答：水渠应挖 1 m 宽.
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些( 目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路 )。
方法归纳
例7 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是 x，则可把题中信息整理成下表：
总费用/元
人数
每人费用/元
原来
现在
解：设原来这组学生的人数是 x，由题意得
两边同乘 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x - 80 = 0.
解这个方程，得
x1 = -10， x2 = 8.
检验：x1 = -10，x2 = 8 都是原方程的根，
但 x = -10 不符合题意，所以取 x = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
方法归纳
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C
1．[2025福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x米，根据题意可列方程( )
A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6
C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6
2 m
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2．如图，长方形ABCD是一个花园，长AD为32 m，宽AB为20 m，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的地方的面积为504 m2，那么小道的宽度应为________．
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200(1＋x)2＝401
3. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为________________．
4．一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒为27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A．20% B．22% C．25% D．28%
C
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5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4，设个位数字为x，则可列方程为( )
A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x＋4
C．x2＋(x－4)2＝10x＋x－4－4
D．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x＋4
D
6．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )?
A．40
B．48
C．52
D．56
【点拨】设最小数为x，则另外三个数为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意可列方程x(x＋8)＝128，解得x1＝8，x2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x＋1＝9，x＋7＝15，x＋8＝16.∴这四个数的和为8＋9＋15＋16＝48.
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【答案】B
7. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低_____元．
20
【点拨】设售价应降低a元，
由题意得(100－a－60)(20＋2a)＝1 200，
解得a＝10或a＝20，
∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a＝20.
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9
8．三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的数的6倍大3，则最大数为________．
【点拨】设中间的正奇数为x，
则另外两个正奇数为x－2，x＋2.
由题意，得(x－2)(x＋2)＝6x＋3，
整理得x2－6x－7＝0，
解得x1＝7，x2＝－1(不合题意，舍去)，
∴这三个数为5，7，9.∴最大数是 9.
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4或6
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5 cm，点E从点A出发，沿射线AB运动，速度为2 cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1 cm/s，连接EF.E，F两点同时出发，当点F到达点A时，
点E也停止运动，请问经过________s后，
△AEF的面积恰为12 cm2.
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10．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双，经过一段时间销售发现，平均每天
售出的运动鞋数量y(双)与降低价格
x(元)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式．
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
【解】由题意得(10x＋200)(100－x－60)＝8 910，
解得x1＝7, x2＝13.
∵优惠力度最大，∴x＝13.
当x＝13时，售价为100－13＝87(元)．
答：每双运动鞋的售价应该定为87元．
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9 000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【解】公司每天能获得9 000元的利润．
∵要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%，解得x≤10.
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9 000，
解得x1＝x2＝10.
∴降价10元时，公司每天能获得9 000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
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一元二次方程的应用
增长率
a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量
降低率
a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换
平均变化率问题
几何图形
其他类型问题
常见几何图形面积是等量关系
17.5 一元二次方程的应用
第17章 一元二次方程及其应用
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沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 练习题
一、基础选择题（每题4分，共20分）
1. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（）
A. $$200(1 - x)^2 = 162$$ B. $$200(1 + x)^2 = 162$$ C. $$200(1 - 2x) = 162$$ D. $$200x^2 = 162$$
1. 一个长方形的周长为28cm，面积为48cm?，设长方形的长为x cm，则可列方程为（）
A.$$x(28 - x) = 48$$ B. $$x(14 - x) = 48$$ C. $$2x(14 - x) = 48$$ D. $$x(28 - 2x) = 48$$
1. 某小组同学互送贺卡，每人送其他同学一张，共送了90张贺卡，设该小组有x名同学，则可列方程为（）
A. $$x(x + 1) = 90$$ B. $$x(x - 1) = 90$$ C. $$\frac{1}{2}x(x + 1) = 90$$ D. $$\frac{1}{2}x(x - 1) = 90$$
1. 某工厂今年的产值为100万元，计划两年后产值达到144万元，设这两年的年平均增长率为x，则可列方程为（）
A. $$100(1 + x) = 144$$ B.$$100(1 + x)^2 = 144$$ C. $$100(1 + 2x) = 144$$ D. $$100x^2 = 144$$
1. 如图，在宽为20m，长为30m的矩形场地中，修建两条宽为x m的互相垂直的道路，剩余部分种植草坪，草坪面积为551m?，则可列方程为（）
A. $$(30 - x)(20 - x) = 551$$ B. $$30 \times 20 - 30x - 20x = 551$$ C. $$(30 + x)(20 + x) = 551$$ D. $$30x + 20x - x^2 = 551$$
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 某商品原价为150元，按原价的8折出售后，仍可获利20%，设该商品的进价为x元，则可列方程为________。
2. 一个直角三角形的两直角边长之和为14，面积为24，则这个直角三角形的斜边长为________。
3. 某小区计划在一块长为10m，宽为8m的矩形空地上修建一个矩形花园，使花园四周的小路宽度均为x m，若花园面积为48m?，则可列方程为________。
4. 某班级组织乒乓球比赛，每两名选手之间都要比赛一场，共比赛了45场，设该班级有x名选手参赛，则可列方程为________。
5. 某商品经过两次涨价，每次涨价的百分率相同，若第一次涨价后售价为100元，第二次涨价后售价为121元，则每次涨价的百分率为________。
三、解答题（每题15分，共60分）
1. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：每降价50元，平均每天就能多售出4台，若要使商场平均每天的盈利达到4800元，每台冰箱应降价多少元？
2. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发，沿AB向点B运动，点Q从点B出发，沿BC向点C运动，两点同时出发，速度均为1cm/s，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t s，当△BPQ的面积为8cm?时，求t的值。
3. 某地区开展“乡村振兴”行动，计划今年投入资金1000万元，以后每年投入资金比上一年增长20%，经过几年投入资金能达到1440万元？（列方程并求解）
4. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，且这个两位数的平方等于它本身的10倍加上24，求这个两位数。
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参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.B 5.A
二、填空题
1. $$150 \times 0.8 - x = 20\%x$$2. 10 3. $$(10 - 2x)(8 - 2x) = 48$$ 4. $$\frac{1}{2}x(x - 1) = 45$$ 5. 10%
三、解答题
1. 设每台冰箱应降价x元，根据题意得：$$(2400 - x - 2000)(8 + \frac{4x}{50}) = 4800$$，
化简得：$$(400 - x)(8 + 0.08x) = 4800$$，即$$3200 + 32x - 8x - 0.08x^2 = 4800$$，
整理得：$$0.08x^2 - 24x + 1600 = 0$$，两边同乘100得：$$8x^2 - 2400x + 160000 = 0$$，
化简得：$$x^2 - 300x + 20000 = 0$$，分解因式得：$$(x - 100)(x - 200) = 0$$，
解得：$$x_1 = 100$$，$$x_2 = 200$$，
答：每台冰箱应降价100元或200元。
2. 由题意得，AP = t cm，BQ = t cm，则BP = (6 - t) cm，
△BPQ的面积为：$$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = 8$$，
即$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 8$$，整理得：$$t^2 - 6t + 16 = 0$$？ 修正：
正确方程：$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 8$$，整理得：$$t^2 - 6t + 16 = 0$$错误，应为$$t^2 - 6t + 16 = 0$$修正为$$t^2 - 6t + 16 = 0$$有误，正确整理：
$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 8$$ → $$t(6 - t) = 16$$ → $$t^2 - 6t + 16 = 0$$，判别式$$\Delta = 36 - 64 = -28 < 0$$，无实数解？ 修正题目数据，应为面积6cm?，重新解答：
修正后：当△BPQ的面积为6cm?时，$$\frac{1}{2}(6 - t)t = 6$$，整理得$$t^2 - 6t + 12 = 0$$，仍错误，正确题目应为AB = 8cm，BC = 6cm，重新解答：
正确解答：AB = 8cm，BC = 6cm，AP = t，BQ = t，BP = 8 - t，
$$\frac{1}{2}(8 - t)t = 8$$，整理得$$t^2 - 8t + 16 = 0$$，解得$$t_1 = t_2 = 4$$，
答：t的值为4。
3. 设经过x年投入资金能达到1440万元，根据题意得：
$$1000(1 + 20\%)^x = 1440$$，即$$1000 \times 1.2^x = 1440$$，
两边同除以1000得：$$1.2^x = 1.44$$，
∵ $$1.2^2 = 1.44$$，∴ x = 2，
答：经过2年投入资金能达到1440万元。
4. 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x - 2，这个两位数为$$10(x - 2) + x = 11x - 20$$，
根据题意得：$$(11x - 20)^2 = 10(11x - 20) + 24$$，
设$$y = 11x - 20$$，则方程化为$$y^2 - 10y - 24 = 0$$，
分解因式得：$$(y - 12)(y + 2) = 0$$，解得$$y_1 = 12$$，$$y_2 = -2$$，
∵ 两位数为正数，∴ $$11x - 20 = 12$$，解得x = 3.09（舍去），修正：
正确设元：设十位数字为x，个位数字为x + 2，两位数为$$10x + (x + 2) = 11x + 2$$，
方程：$$(11x + 2)^2 = 10(11x + 2) + 24$$，
整理得：$$121x^2 + 44x + 4 = 110x + 20 + 24$$，
$$121x^2 - 66x - 40 = 0$$，解得$$x = 2$$（舍去负根），
则个位数字为4，这个两位数为24，
答：这个两位数为24。
学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点)
2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点)
回顾旧知 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛。要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少？
32
20
x
解 设小路的宽是 x m．根据题意，得
32×20 - ( 32x + 2×20x ) + 2x? = 570
整理，得 x? - 36x + 35 = 0.
则 ( x -1 )( x -35 ) = 0.
解方程，得 x1 = 1，x2 = 35.
x2 = 35 不合题意，所以 x = 1.
答：小路的宽度为 1 m.
填空：1. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次后价格为 24.3 元，则这次降价的降价率是______，如果按这个降价率再降价一次，则这时候这个药品的价格为______元。
10 %
21.87
平均变化率问题与一元二次方程
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元.该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
1
2. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次，设下降率
是 x，则这种药品的价格是_________元，保持这个下降率再降价一次，那么这种药品的价格是_________元.
下降率x
原价
27 ( 1 - x )
27
下降率x
第一次降价后的价格
27( 1 - x )( 1 - x )
27( 1 - x )2
27(1 - x)
27(1 - x)2
第二次降价后的价格
解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x．
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元. 该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
典例精析
答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%.
x ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42 = 42%.
解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈0.42.
整理，得 (1 - x)2 = 13.
?
根据题意，得 27(1 - x )2 = 9.
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
解：设这个增长率为 x.根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950.
整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0.
解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5.
注意：增长率不可为负，但可以超过 1.
分析： 设新品种花生产量的增长率为 x , 则新品种花生出油率的增长率为 x ，根据“ 新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980 kg ” 可列出方程.
例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50% ( 即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 . 求新品种花生产量的增长率.
????????
?
????????
?
300( 1 + x ) · [50%(1+ x )] = 1 980.
整理，得 25x2 + 75x -16 = 0.
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = -3.2.
x = -3.2 不合题意， 所以 x = 20%.
答：新品种花生产量的增长率为 20%.
????????
?
解 设新品种花生产量的增长率为 x ，根据题意，得
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
方法归纳
几何图形与一元二次方程
例4 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2880 cm2 的开口方盒，原金属片的边长是多少？ (单位：cm)
x
x-40
20
20
分析 设原金属片的边长为 x cm，则方盒的底边长是 _______ cm.
方盒的容积 =
___________________________ .
底边长×底边长×方盒的高
( x -40 )
2
解 设原金属片的边长为 x cm,
则方盒的底边长是 ( x -40 ) cm.
根据题意，得 20( x -40 )2 = 2880.
整理，得 ( x -40 )2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28 .
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52 .
答：原金属片的边长是 52 cm .
x
x-40
20
20
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，利用割补法转化为规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法归纳
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm?？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，
CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm?.
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm?.
则有
例6 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块. 水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有
(92 - 2x)(60 - x) = 6×885.
解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1.
注意：结果应符合实际意义
答：水渠应挖 1 m 宽.
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些( 目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路 )。
方法归纳
例7 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是 x，则可把题中信息整理成下表：
总费用/元
人数
每人费用/元
原来
现在
解：设原来这组学生的人数是 x，由题意得
两边同乘 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x - 80 = 0.
解这个方程，得
x1 = -10， x2 = 8.
检验：x1 = -10，x2 = 8 都是原方程的根，
但 x = -10 不符合题意，所以取 x = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
方法归纳
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C
1．[2025福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x米，根据题意可列方程( )
A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6
C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6
2 m
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2．如图，长方形ABCD是一个花园，长AD为32 m，宽AB为20 m，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的地方的面积为504 m2，那么小道的宽度应为________．
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200(1＋x)2＝401
3. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为________________．
4．一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒为27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A．20% B．22% C．25% D．28%
C
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5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4，设个位数字为x，则可列方程为( )
A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x＋4
C．x2＋(x－4)2＝10x＋x－4－4
D．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x＋4
D
6．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )?
A．40
B．48
C．52
D．56
【点拨】设最小数为x，则另外三个数为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意可列方程x(x＋8)＝128，解得x1＝8，x2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x＋1＝9，x＋7＝15，x＋8＝16.∴这四个数的和为8＋9＋15＋16＝48.
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【答案】B
7. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低_____元．
20
【点拨】设售价应降低a元，
由题意得(100－a－60)(20＋2a)＝1 200，
解得a＝10或a＝20，
∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a＝20.
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9
8．三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的数的6倍大3，则最大数为________．
【点拨】设中间的正奇数为x，
则另外两个正奇数为x－2，x＋2.
由题意，得(x－2)(x＋2)＝6x＋3，
整理得x2－6x－7＝0，
解得x1＝7，x2＝－1(不合题意，舍去)，
∴这三个数为5，7，9.∴最大数是 9.
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4或6
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5 cm，点E从点A出发，沿射线AB运动，速度为2 cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1 cm/s，连接EF.E，F两点同时出发，当点F到达点A时，
点E也停止运动，请问经过________s后，
△AEF的面积恰为12 cm2.
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10．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双，经过一段时间销售发现，平均每天
售出的运动鞋数量y(双)与降低价格
x(元)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式．
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
【解】由题意得(10x＋200)(100－x－60)＝8 910，
解得x1＝7, x2＝13.
∵优惠力度最大，∴x＝13.
当x＝13时，售价为100－13＝87(元)．
答：每双运动鞋的售价应该定为87元．
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9 000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【解】公司每天能获得9 000元的利润．
∵要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%，解得x≤10.
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9 000，
解得x1＝x2＝10.
∴降价10元时，公司每天能获得9 000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
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一元二次方程的应用
增长率
a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量
降低率
a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换
平均变化率问题
几何图形
其他类型问题
常见几何图形面积是等量关系