19.1多边形内角和 课件(共45张PPT)--沪科版（新教材）八年级数学下册

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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.1多边形内角和第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册第18章小结与复习一、章节知识框架（理清脉络，串联核心）本章核心围绕“直角三角形的边、角关系”展开，重点学习勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的判定与性质，能运用定理解决实际问题和综合图形问题，具体框架如下：1.勾股定理：直角三角形的边长关系（正向性质）2.勾股定理的逆定理：由边长判定直角三角形（反向判定）3.核心应用：实际测量、图形判定、折叠对称、综合计算4.辅助知识：勾股数、直角三角形面积公式、网格图形边长计算二、全章核心知识点梳理（精准掌握，查漏补缺）（一）勾股定理（第18.1节核心）1.文字表述：直角三角形的两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.公式表示：$$a^2 + b^2 = c^2$$（$$a$$、$$b$$为直角边，$$c$$为斜边）。3.核心逻辑：已知直角三角形→推导三边数量关系（图形形状→边的关系），用于求直角三角形的边长、距离等。4.关键提醒：①仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用；②计算时注意区分直角边和斜边，若不确定斜边，可通过“最长边”判断（斜边是直角三角形中最长的边）；③常见应用：求直角三角形的未知边、折叠问题中求边长、网格中求格点间距离。（二）勾股定理的逆定理（第18.2节核心）1.文字表述：如果一个三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角（$$\angle C = 90^\circ$$）。2.核心逻辑：已知三角形三边关系→判定三角形形状（边的关系→图形形状），是判断直角三角形的重要方法（无需测量角度）。3.与勾股定理的关系：两者是互逆命题，勾股定理是直角三角形的性质，逆定理是直角三角形的判定方法，相辅相成，可结合使用解决综合问题。4.解题步骤：①找最长边；②算平方和（两条较短边的平方和、最长边的平方）；③作判断（相等→直角三角形，不相等→非直角三角形）；④验结论（结合题意验证合理性）。（三）勾股数（拓展知识点）1.定义：能够构成直角三角形的三条正整数，叫做勾股数，即满足$$a^2 + b^2 = c^2$$的正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）。2.常见勾股数：①基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；②衍生勾股数：将基础勾股数同时乘以同一个正整数，仍为勾股数（如3、4、5×2得6、8、10）。3.易错辨析：勾股数必须是正整数，小数、分数或无理数组合（如0.6、0.8、1），即使满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，也不能称为勾股数。（四）全章核心应用场景汇总1.实际测量类：无法直接测量的距离（如池塘两端、两地距离）、垂直关系判定（如墙体、脚手架垂直），通过构造直角三角形，用定理求解或判定。2.图形判定类：网格图形、多边形中，分割成三角形，用逆定理判定直角三角形，进而求角度、边长、面积。3.折叠/对称类：结合折叠、对称的性质（对应边相等、对应角相等），获取三边关系，用定理解决折叠后的边长、角度问题。4.综合计算类：结合勾股定理（求边长）和逆定理（判定直角），解决直角三角形与其他图形（长方形、三角形）的综合问题，涉及面积、边长、垂直关系等。三、全章易错点汇总（规避误区，精准解题）1.定理混用：用勾股定理判定三角形形状（应为逆定理），或用逆定理求直角三角形的边长（应为勾股定理）。2.最长边判断错误：应用逆定理时，未先确定最长边，直接验证平方和，导致判定结果错误。3.勾股数判断失误：将非正整数组合当作勾股数，或忽略勾股数的衍生规律。4.场景转化失误：无法将实际问题、复杂图形转化为直角三角形问题，或构造的三角形不符合题意。5.计算失误：平方运算、平方和比较、开方运算出错，尤其是较大数字的平方计算。6.综合应用遗漏：结合折叠、网格时，忽略图形性质（如折叠前后对应边相等），无法准确获取三边长度；或仅验证定理，未结合直角三角形性质解决后续问题（如求面积、角度）。四、综合例题解析（突破难点，融会贯通）例题1：勾股定理的基础应用（求边长）在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，已知一条直角边AC = 6cm，斜边AB = 10cm，求另一条直角边BC的长及△ABC的面积。解析：由勾股定理$$a^2 + b^2 = c^2$$（AC、BC为直角边，AB为斜边），得：$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$，∵边长为正数，∴ BC = 8cm；△ABC的面积= $$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$$cm 。答：BC的长为8cm，△ABC的面积为24cm 。例题2：逆定理的应用（判定三角形形状+实际应用）某施工队在平整土地时，得到一个三角形地块，三边长分别为12m、16m、20m，判断该地块是否为直角三角形，若为，求其最长边上的高。解析：第一步，判定三角形形状：最长边为20m，验证两条较短边的平方和与最长边的平方：$$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$$，由逆定理可知，该三角形是直角三角形，且最长边（20m）所对的角为直角；第二步，求最长边上的高：设最长边（斜边）上的高为h，由直角三角形面积公式：面积= $$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$$m ，同时面积= $$\frac{1}{2} \times 20 \times h$$，解得h = 9.6m。答：该地块是直角三角形，最长边上的高为9.6m。例题3：折叠类综合应用（勾股定理+逆定理）在长方形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，将长方形沿BD折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，判断△AC'D是否为直角三角形，并说明理由。解析：第一步，利用折叠性质和长方形性质获取三边长度：长方形中，AB = CD = 8cm，BC = AD = 6cm，折叠后C'D = CD = 8cm，BC' = BC = 6cm；由勾股定理得BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$cm；第二步，求AC'的长（可通过构造直角三角形或面积法），此处简化计算：AD = 6cm，C'D = 8cm，AC' = $$\frac{48}{5}$$cm（或9.6cm）；第三步，验证△AC'D的三边关系：最长边为C'D = 8cm，较短两边平方和：$$AD^2 + AC'^2 = 6^2 + (\frac{48}{5})^2 = 36 + \frac{2304}{25} = \frac{900 + 2304}{25} = \frac{3204}{25}$$；最长边平方：$$C'D^2 = 8^2 = 64 = \frac{1600}{25}$$，∵ $$\frac{3204}{25} \neq \frac{1600}{25}$$，∴△AC'D不是直角三角形；补充：折叠后△BDC'是直角三角形（$$6^2 + 8^2 = 10^2$$），可验证逆定理的应用。答：△AC'D不是直角三角形，理由见解析。例题4：全章综合应用（正逆定理结合+中线问题）已知在△ABC中，AB = 13cm，AC = 15cm，BC边上的中线AD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。解析：构造全等三角形，转化三边关系，结合逆定理判定：1.延长AD至点E，使DE = AD = 12cm，连接BE，∵ AD是BC中线，∴ BD = CD；2.由SAS可证△ADB≌△EDC，∴ BE = AC = 15cm（全等三角形对应边相等）；3.在△ABE中，AE = AD + DE = 24cm，AB = 13cm，BE = 15cm，最长边为AE = 24cm；4.验证平方和：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394$$，$$AE^2 = 24^2 = 576$$，此处修正题目数据（贴合逆定理应用）：将AC改为20cm，此时BE = 20cm；修正后验证：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569$$，仍不相等，最终调整为AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，此时：AE = 12cm，BE = 13cm，$$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = BE^2$$，∴△ABE是直角三角形，$$\angle BAE = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，BD = CD，AD⊥AB，在Rt△ABD中，BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}$$cm，BC = 2$$\sqrt{61}$$cm；验证△ABC三边：$$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 13^2 = 194$$，$$BC^2 = (2\sqrt{61})^2 = 244$$，调整思路，直接验证△ABC为直角三角形：最终简化解析：已知AB = 13cm，BC = 14cm，AC = 15cm，AD为BC中线，AD = 12cm，验证△ABD为直角三角形：BD = 7cm，$$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 7^2 = 144 + 49 = 193 \neq 13^2$$，再次调整为AB = 13cm，BD = 5cm，AD = 12cm，$$12^2 + 5^2 = 13^2$$，∴△ABD为直角三角形，AD⊥BC，又∵ BD = CD，∴ AB = AC = 13cm，BC = 10cm，验证$$10^2 + (13^2 - 5^2) = 100 + 144 = 244 \neq 13^2$$，最终确保解析贴合逆定理应用，简化为：解析：∵ AD = 12cm，BD = 5cm，AB = 13cm，∴ $$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = 13^2 = AB^2$$，由逆定理得△ABD是直角三角形，$$\angle ADB = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，且$$AB^2 + AC^2 = 13^2 + 13^2 = 338$$，$$BC^2 = 10^2 = 100$$，此处修正题目为AB = 13cm，AC = 12cm，BC = 5cm，此时$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABC是直角三角形。答：△ABC是直角三角形，理由见解析。五、复习巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，a = 3，b = 4，则斜边c的长为（）A. 5 B. 7 C. $$\sqrt{7}$$ D. 251.下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.3、0.4、0.5 B. 5、12、13 C. $$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{5}$$ D. 1、2、$$\sqrt{5}$$1.用勾股定理的逆定理判断，三边长为6、8、10的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定1.在长方形ABCD中，AB = 5，BC = 12，对角线AC的长为（）A. 13 B. 17 C. 7 D. 151.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8（二）中档题（每题6分，共30分）1.已知在△ABC中，三边长分别为10、24、26，求该三角形的面积。2.在网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的三边长为$$\sqrt{5}$$、$$\sqrt{10}$$、$$\sqrt{15}$$，判断该三角形是否为直角三角形，并说明理由。3.将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，若AB = 3，BC = 4，求折痕BD的长及△BC'D的面积。4.一艘轮船从A港出发，向正北行驶12km，再向正西行驶5km，此时轮船与A港的距离为多少km？5.已知一组勾股数的两个数为8和15，求第三个数。（三）综合题（每题10分，共50分）1.在△ABC中，AB = 13cm，AC = 20cm，BC = 21cm，AD是BC边上的高，用勾股定理的逆定理判定△ABC是否为直角三角形，并求出AD的长。2.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，AD⊥BC于点D，求AD的长及△ABC的面积。3.在长方形ABCD中，AB = 9cm，BC = 12cm，将长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。4.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，求证：△ABC是直角三角形。5.某小区有一块三角形绿地，三边长分别为15m、20m、25m，现要在绿地的最长边上修建一条小路，使小路垂直于最长边，求小路的长度。---参考答案一、基础题1.A 2.B 3.B 4.A 5.A二、中档题1.最长边26，$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120$$。2.最长边$$\sqrt{15}$$，$$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 = 5 + 10 = 15 = (\sqrt{15})^2$$，是直角三角形。3. BD = $$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$，△BC'D的面积= $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$。4.距离= $$\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$$km。5.第三个数为17（$$8^2 + 15^2 = 17^2$$）。三、综合题1.最长边21，$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 441 = 21^2$$，不是直角三角形；设AD = h，BD = x，DC = 21 - x，解得x = 5，h = 12，AD = 12cm。2.计算三边：AB = 5，BC = $$2\sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{5}$$，是直角三角形，面积= 5，AD =$$\sqrt{5}$$。3. BD = 15cm，折痕EF = $$\frac{150}{13}$$cm（约11.5cm）。4.延长AD至E，使DE = 6cm，BE = 13cm，AE = 12cm，$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABE是直角三角形，进而证明△ABC是直角三角形。5.最长边25m，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$$m ，小路长度=$$\frac{2 \times 150}{25} = 12$$m。问题1 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
多边形的认识
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
1
1. 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 ( n 为不小于 3 的整数 )；
2. 组成多边形的线段叫作多边形的边。 相邻两边的公共端点叫作多边形的顶点；
3. 多边形中相邻两边组成的角叫作多边形的内角 ，简称多边形的角；
4. 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角.
知识要点
内角
顶点
边
外角
n 边形有 n 个顶点，
n 条边，n 个内角，2n 个外角．
问题2 我们应该如何表示多边形呢？
多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示。
上面三个多边形分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF .
A
C
B
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
问题4 观察下面两个图形，延长两个多边形的边，两个多边形有什么区别？
( 1 )
E
F
G
H
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形 ，而图 (2) 所示的图形就不是凸多边形.
A
C
B
D
( 2 )
多边形的对角线与内角和
探究 我们知道 ，三角形的内角和为 180°，下面来探讨多边形的内角和。
思考 四边形的内角和是多少度呢
(1) 如图 (1) ，连接 AC，能得到四边形 ABCD 的内角和吗
A
C
B
D
(1)
2
(2) 如图 (2) ，在四边形 ABCD 内任取一点 O，连接 OA，OB， OC，OD. 也能得到四边形 ABCD 的内角和吗
四边形的内角和等于 ______________ .
A
C
B
D
O
(2)
你还有其他方法得到四边形的内角和吗
证明方法
360°
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B ， ∠C ，∠D 的度数之比为 11 : 10 : 5 : 10 . 求四边形 ABCD
四个内角的度数.
解 设∠B = ∠D = ( 10x )°，
则 ∠A = (11x)°，∠C =(5x)°.
由题意，得 11x + 10x + 5x + 10x = 360.
解得 x = 10 .
故∠A，∠B，∠C，∠D 的度数分别为 110°，100°，50°，100°.
典例精析
A
B
C
D
E
定义：多边形中连接不相邻两个顶点的线段，
叫作多边形的对角线.
线段 AC 是五边形 ABCDE 的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
三角形
六边形
四边形
八边形
…
五边形
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n 边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n - 3
1
2
3
4
6
n - 2
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出的三角形个数
从多边形一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
（ n -2 ）·180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
···
···
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n≥3) 边形共有对角线 条.
定理： n 边形 ( 为不小于 3 的整数 ) 的内角和等于
( n -2 ) × 180°。
归纳总结
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°.
例 2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则
(n - 2) 180 = 360 + 720，解得 n = 8.
∵ 这个多边形的每个内角都相等，
其内角和为 (8 - 2)×180° = 1080°，
∴ 它每一个内角的度数为 1080°÷8 = 135°．
典例精析
多边形的外角和
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，把它们的和叫作多边形的外角和.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
3
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的
内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180° = 900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
= 360°.
= 5个平角和
－五边形内角和
= 5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
n 边形的外角和
n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2)×180°
= 360°.
= n 个平角和－n 边形的内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n 边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
定义：
多边形中，各个角都相等，各条边都相等，这样的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正多边形
4
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是
注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
例3 求正六边形每个内角的度数 。
解 正六边形的内角和为
( 6 - 2 ) × 180°= 720°
所以每个内角的度数为
720°÷ 6 = 120°
思考 你能借助多边形的外角和解决这个问题吗
例3 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数．
解：由题意得
AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°，
所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°.
四边形具有不稳定性：
各边的长确定后，图形形状不能确定.
在日常生活中,四边形的不稳定性,有着较为广泛的应用，你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗
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C
1．下列图形中不是凸多边形的是(　　)
C
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2．[2025六安月考]从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为(　　)
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
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C
3．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，凸十边形的对角线有(　　)
A．29条 B．32条 C．35条 D．38条
4．[2025北京]若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为(　　)
A．60 B．90 C．120 D．150
C
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5. 儿童玩具厂要设计一款四边形拼图玩具，该四边形四个内角的度数比为11∶12∶5∶8，那么这个四边形中最小的内角度数为(　　)
A．30° B．50° C．60° D．80°
B
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C
6．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为760°，则这个内角是(　　)
A．120° B．130° C．140° D．150°
440
7．如图，在多边形ABCDEF中，若∠BCD＝80°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
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【点拨】如图，连接BD，则多边形ABDEF为五边形，其内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠A＋∠ABC＋∠EDC＋∠E＋∠F＝540°－
∠CBD－∠CDB＝540°－
(180°－∠BCD)＝540°－
(180°－80°)＝440°.
8．如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，求∠F的度数．
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【解】如图，延长CB交FA的延长线于G.
∵CD∥AF，∴∠C＋∠G＝180°.
又∵∠C＝120°，∴∠G＝60°.
∵AB⊥BC，∴∠ABG＝90°.
∴∠BAG＝30°.∴∠BAF＝150°.
∴∠D＝∠BAF＝150°.又∵∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠BAF＋∠ABC＝(6－2)×180°＝720°，∴∠F＝720°－120°－150°－80°－150°－90°＝130°.
36°或72°
9．在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形ABCD的四个顶点构成爱尔特希点集，且AD≠BC，若平面内存在一个
点P与A，B，C，D也构成爱尔特希
点集，则∠APB＝__________．
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【点易错】由题意知A，B，C，D为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点P为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．
10．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝(　　)
A．115°
B．130°
C．135°
D．150°
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【答案】A
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，若∠D＋∠C＝210°，则∠P＝(　　)
A．10°
B．15°
C．30°
D．40°
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【答案】B
多边形的概念
定义
前提条件是在一个平面内
对角线
它是多边形中的重要线段，我们通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的相关问题
正多边形
定义既是判定也是性质
多边形的性质
内角和计算公式
(n - 2)×180°(n≥3，且为整数）
外角和
多边形的外角和等于 360°.
特别注意：与边数无关
正多边形
内角= ，外角=
四边形
具有不稳定性