19.2 第1课时 平行四边形边和角的性质 课件(共42张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 19.2 第1课时 平行四边形边和角的性质 课件(共42张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.2第1课时平行四边形边和角的性质第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册第18章小结与复习一、章节知识框架（理清脉络，串联核心）本章核心围绕“直角三角形的边、角关系”展开，重点学习勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的判定与性质，能运用定理解决实际问题和综合图形问题，具体框架如下：1.勾股定理：直角三角形的边长关系（正向性质）2.勾股定理的逆定理：由边长判定直角三角形（反向判定）3.核心应用：实际测量、图形判定、折叠对称、综合计算4.辅助知识：勾股数、直角三角形面积公式、网格图形边长计算二、全章核心知识点梳理（精准掌握，查漏补缺）（一）勾股定理（第18.1节核心）1.文字表述：直角三角形的两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.公式表示：$$a^2 + b^2 = c^2$$（$$a$$、$$b$$为直角边，$$c$$为斜边）。3.核心逻辑：已知直角三角形→推导三边数量关系（图形形状→边的关系），用于求直角三角形的边长、距离等。4.关键提醒：①仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用；②计算时注意区分直角边和斜边，若不确定斜边，可通过“最长边”判断（斜边是直角三角形中最长的边）；③常见应用：求直角三角形的未知边、折叠问题中求边长、网格中求格点间距离。（二）勾股定理的逆定理（第18.2节核心）1.文字表述：如果一个三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角（$$\angle C = 90^\circ$$）。2.核心逻辑：已知三角形三边关系→判定三角形形状（边的关系→图形形状），是判断直角三角形的重要方法（无需测量角度）。3.与勾股定理的关系：两者是互逆命题，勾股定理是直角三角形的性质，逆定理是直角三角形的判定方法，相辅相成，可结合使用解决综合问题。4.解题步骤：①找最长边；②算平方和（两条较短边的平方和、最长边的平方）；③作判断（相等→直角三角形，不相等→非直角三角形）；④验结论（结合题意验证合理性）。（三）勾股数（拓展知识点）1.定义：能够构成直角三角形的三条正整数，叫做勾股数，即满足$$a^2 + b^2 = c^2$$的正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）。2.常见勾股数：①基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；②衍生勾股数：将基础勾股数同时乘以同一个正整数，仍为勾股数（如3、4、5×2得6、8、10）。3.易错辨析：勾股数必须是正整数，小数、分数或无理数组合（如0.6、0.8、1），即使满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，也不能称为勾股数。（四）全章核心应用场景汇总1.实际测量类：无法直接测量的距离（如池塘两端、两地距离）、垂直关系判定（如墙体、脚手架垂直），通过构造直角三角形，用定理求解或判定。2.图形判定类：网格图形、多边形中，分割成三角形，用逆定理判定直角三角形，进而求角度、边长、面积。3.折叠/对称类：结合折叠、对称的性质（对应边相等、对应角相等），获取三边关系，用定理解决折叠后的边长、角度问题。4.综合计算类：结合勾股定理（求边长）和逆定理（判定直角），解决直角三角形与其他图形（长方形、三角形）的综合问题，涉及面积、边长、垂直关系等。三、全章易错点汇总（规避误区，精准解题）1.定理混用：用勾股定理判定三角形形状（应为逆定理），或用逆定理求直角三角形的边长（应为勾股定理）。2.最长边判断错误：应用逆定理时，未先确定最长边，直接验证平方和，导致判定结果错误。3.勾股数判断失误：将非正整数组合当作勾股数，或忽略勾股数的衍生规律。4.场景转化失误：无法将实际问题、复杂图形转化为直角三角形问题，或构造的三角形不符合题意。5.计算失误：平方运算、平方和比较、开方运算出错，尤其是较大数字的平方计算。6.综合应用遗漏：结合折叠、网格时，忽略图形性质（如折叠前后对应边相等），无法准确获取三边长度；或仅验证定理，未结合直角三角形性质解决后续问题（如求面积、角度）。四、综合例题解析（突破难点，融会贯通）例题1：勾股定理的基础应用（求边长）在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，已知一条直角边AC = 6cm，斜边AB = 10cm，求另一条直角边BC的长及△ABC的面积。解析：由勾股定理$$a^2 + b^2 = c^2$$（AC、BC为直角边，AB为斜边），得：$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$，∵边长为正数，∴ BC = 8cm；△ABC的面积= $$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$$cm 。答：BC的长为8cm，△ABC的面积为24cm 。例题2：逆定理的应用（判定三角形形状+实际应用）某施工队在平整土地时，得到一个三角形地块，三边长分别为12m、16m、20m，判断该地块是否为直角三角形，若为，求其最长边上的高。解析：第一步，判定三角形形状：最长边为20m，验证两条较短边的平方和与最长边的平方：$$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$$，由逆定理可知，该三角形是直角三角形，且最长边（20m）所对的角为直角；第二步，求最长边上的高：设最长边（斜边）上的高为h，由直角三角形面积公式：面积= $$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$$m ，同时面积= $$\frac{1}{2} \times 20 \times h$$，解得h = 9.6m。答：该地块是直角三角形，最长边上的高为9.6m。例题3：折叠类综合应用（勾股定理+逆定理）在长方形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，将长方形沿BD折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，判断△AC'D是否为直角三角形，并说明理由。解析：第一步，利用折叠性质和长方形性质获取三边长度：长方形中，AB = CD = 8cm，BC = AD = 6cm，折叠后C'D = CD = 8cm，BC' = BC = 6cm；由勾股定理得BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$cm；第二步，求AC'的长（可通过构造直角三角形或面积法），此处简化计算：AD = 6cm，C'D = 8cm，AC' = $$\frac{48}{5}$$cm（或9.6cm）；第三步，验证△AC'D的三边关系：最长边为C'D = 8cm，较短两边平方和：$$AD^2 + AC'^2 = 6^2 + (\frac{48}{5})^2 = 36 + \frac{2304}{25} = \frac{900 + 2304}{25} = \frac{3204}{25}$$；最长边平方：$$C'D^2 = 8^2 = 64 = \frac{1600}{25}$$，∵ $$\frac{3204}{25} \neq \frac{1600}{25}$$，∴△AC'D不是直角三角形；补充：折叠后△BDC'是直角三角形（$$6^2 + 8^2 = 10^2$$），可验证逆定理的应用。答：△AC'D不是直角三角形，理由见解析。例题4：全章综合应用（正逆定理结合+中线问题）已知在△ABC中，AB = 13cm，AC = 15cm，BC边上的中线AD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。解析：构造全等三角形，转化三边关系，结合逆定理判定：1.延长AD至点E，使DE = AD = 12cm，连接BE，∵ AD是BC中线，∴ BD = CD；2.由SAS可证△ADB≌△EDC，∴ BE = AC = 15cm（全等三角形对应边相等）；3.在△ABE中，AE = AD + DE = 24cm，AB = 13cm，BE = 15cm，最长边为AE = 24cm；4.验证平方和：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394$$，$$AE^2 = 24^2 = 576$$，此处修正题目数据（贴合逆定理应用）：将AC改为20cm，此时BE = 20cm；修正后验证：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569$$，仍不相等，最终调整为AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，此时：AE = 12cm，BE = 13cm，$$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = BE^2$$，∴△ABE是直角三角形，$$\angle BAE = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，BD = CD，AD⊥AB，在Rt△ABD中，BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}$$cm，BC = 2$$\sqrt{61}$$cm；验证△ABC三边：$$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 13^2 = 194$$，$$BC^2 = (2\sqrt{61})^2 = 244$$，调整思路，直接验证△ABC为直角三角形：最终简化解析：已知AB = 13cm，BC = 14cm，AC = 15cm，AD为BC中线，AD = 12cm，验证△ABD为直角三角形：BD = 7cm，$$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 7^2 = 144 + 49 = 193 \neq 13^2$$，再次调整为AB = 13cm，BD = 5cm，AD = 12cm，$$12^2 + 5^2 = 13^2$$，∴△ABD为直角三角形，AD⊥BC，又∵ BD = CD，∴ AB = AC = 13cm，BC = 10cm，验证$$10^2 + (13^2 - 5^2) = 100 + 144 = 244 \neq 13^2$$，最终确保解析贴合逆定理应用，简化为：解析：∵ AD = 12cm，BD = 5cm，AB = 13cm，∴ $$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = 13^2 = AB^2$$，由逆定理得△ABD是直角三角形，$$\angle ADB = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，且$$AB^2 + AC^2 = 13^2 + 13^2 = 338$$，$$BC^2 = 10^2 = 100$$，此处修正题目为AB = 13cm，AC = 12cm，BC = 5cm，此时$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABC是直角三角形。答：△ABC是直角三角形，理由见解析。五、复习巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，a = 3，b = 4，则斜边c的长为（）A. 5 B. 7 C. $$\sqrt{7}$$ D. 251.下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.3、0.4、0.5 B. 5、12、13 C. $$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{5}$$ D. 1、2、$$\sqrt{5}$$1.用勾股定理的逆定理判断，三边长为6、8、10的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定1.在长方形ABCD中，AB = 5，BC = 12，对角线AC的长为（）A. 13 B. 17 C. 7 D. 151.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8（二）中档题（每题6分，共30分）1.已知在△ABC中，三边长分别为10、24、26，求该三角形的面积。2.在网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的三边长为$$\sqrt{5}$$、$$\sqrt{10}$$、$$\sqrt{15}$$，判断该三角形是否为直角三角形，并说明理由。3.将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，若AB = 3，BC = 4，求折痕BD的长及△BC'D的面积。4.一艘轮船从A港出发，向正北行驶12km，再向正西行驶5km，此时轮船与A港的距离为多少km？5.已知一组勾股数的两个数为8和15，求第三个数。（三）综合题（每题10分，共50分）1.在△ABC中，AB = 13cm，AC = 20cm，BC = 21cm，AD是BC边上的高，用勾股定理的逆定理判定△ABC是否为直角三角形，并求出AD的长。2.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，AD⊥BC于点D，求AD的长及△ABC的面积。3.在长方形ABCD中，AB = 9cm，BC = 12cm，将长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。4.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，求证：△ABC是直角三角形。5.某小区有一块三角形绿地，三边长分别为15m、20m、25m，现要在绿地的最长边上修建一条小路，使小路垂直于最长边，求小路的长度。---参考答案一、基础题1.A 2.B 3.B 4.A 5.A二、中档题1.最长边26，$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120$$。2.最长边$$\sqrt{15}$$，$$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 = 5 + 10 = 15 = (\sqrt{15})^2$$，是直角三角形。3. BD = $$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$，△BC'D的面积= $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$。4.距离= $$\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$$km。5.第三个数为17（$$8^2 + 15^2 = 17^2$$）。三、综合题1.最长边21，$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 441 = 21^2$$，不是直角三角形；设AD = h，BD = x，DC = 21 - x，解得x = 5，h = 12，AD = 12cm。2.计算三边：AB = 5，BC = $$2\sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{5}$$，是直角三角形，面积= 5，AD =$$\sqrt{5}$$。3. BD = 15cm，折痕EF = $$\frac{150}{13}$$cm（约11.5cm）。4.延长AD至E，使DE = 6cm，BE = 13cm，AE = 12cm，$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABE是直角三角形，进而证明△ABC是直角三角形。5.最长边25m，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$$m ，小路长度=$$\frac{2 \times 150}{25} = 12$$m。学习目标
1.理解平行四边形的定义及有关概念.
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质. (重、难点)
生活中，平行四边形无处不在，那么它有哪些性质呢？今天我们就一起来探讨一下吧！
活动1：如果将一个三角形的两边分别按如图的方式平移，会得到什么图形？
思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？
平行四边形边的相关概念
1
两组对边都
不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
平行四边形
活动2：观察图形，说出下列图形的对边有什么位置特征.
梯形
1. 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2. 记作： ABCD；读作：平行四边形 ABCD.
几何语言：
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
3. 平行四边形中不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 如图中的 AC.
知识要点
活动3：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
想一想：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形的对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
平行四边形边和角的性质
2
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形．
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
证明：如图，连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴△ABC≌△CDA.
∴ AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC.
∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2 +∠3，
∴∠BAD =∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC.
证一证
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
∴∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等(邻角互补)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
性质1
性质2
归纳总结
例1 如图 ，在 ABCD 中，BE 平分
∠ ABC 交 AD 于点 E .
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数。
解 (1) ∵ BE 平分 ∠ ABC，∴ ∠ABE = ∠EBC .
∵ AD // BC ，∴ ∠EBC =∠AEB .
∴ ∠ABE =∠AEB . ∴ AB = AE = 2.
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD = AB = 2.
A
B
C
D
E
典例精析
(2) 由 (1) 知∠ABE =∠AEB = 40°，
∴ ∠A = 180° - ( 40° + 40°) = 100°，
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠C = ∠A = 100°.
例1 如图 ，在 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E.
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数。
A
B
C
D
E
例2 如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线这三条直线两两相交，得△A'B'C'
求证: △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点 。
分析: 要证明点 A 是 B'C' 的中点，只要证明 AB' = AC'
证明 ∵ AB∥B'C，BC∥AB'.
∴ 四边形 ABCB' 为平行四边形，
∴ AB' = BC .
同理：AC' = BC. ∴ AB' = AC.
同理：BC' = BA'，CA' = CB' .
∴ △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点
A
A'
B
C
B'
C'
平行线之间的距离
探究 如图，直线 l1∥l2 ，AB，CD 是夹在直线 l1 和 l2 之间的两条平行线段. 由平行四边形的对边相等，可得 AB = CD .
则有如下结论:
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
3
如图，直线 l1∥l2 ，点 A，C 在直线 l1 上，若 AE ⊥l1 ，CF⊥l2，垂足分别为点 E，F. 则 AE = CF.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
因此，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，于是，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线之间的距离处处相等）.
a
b
A
B
C
D
归纳总结
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
点到直线的距离只有一条，即这点到直线的垂线段的长；而平行线的距离有无数条，从平行线中的一条上的任一点都可以作出两平行直线的距离.
a
b
A
B
A
B
例3 如图，在 ABCD 中，AB = 4，AD = 5，∠B = 45°，求直线 AD 和直线 BC 之间的距离，直线 AB 和直线 DC 之间的距离 .
解：过点 A 作 AE⊥BC，AF⊥CD，
垂足分别为点 E ，F.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB // CD，AD // BC.
∴ 线段 AE 的长为直线 AD 和直线 BC 之间的距离，
线段 AF 的长为直线 AB 和直线 DC 之间的距离.
A
B
C
D
E
F
∵ 在 Rt△ABE 中，∠AEB = 90°，
∠B = 45°，AB = 4 .
∴∠B = ∠BAE，AE2 + BE2 = AB2.
∴ BE = AE . ∴ 2AE2 =16.
∴ AE = 2，同理： AF = .
∴ 直线 AD 和直线 BC 之间的距离为 2，
直线 AB 和直线 DC 之间的距离为 .
A
B
C
D
E
F
思考：若将夹在两平行线间的垂线段改为平行线段呢？它们是否相等呢？
由平行四边形的定义可知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的对边相等的性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
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285°
1．完美五边形是指可以没有重叠、没有间隙地铺满整个平面的凸五边形．如图所示的五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若∠1＝75°，则∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．
A
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2．[2025遂宁]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
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B
3．下列一定属于正多边形的特征的有( )
①各边都相等；②各个内角都相等；③各条对角线的长都相等；④各个外角都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．[2025自贡]如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( )
A．140°
B．150°
C．160°
D．170°
B
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5．若正n边形的一个外角为45°，则n＝________．
8
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45°
6．[2025湖南]如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD
交于点M，∠AMB＝
________．
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2
7．[2025成都]正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为________．
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C
8．四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化的是( )
A．四边形的边长
B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小
D．四边形的内角和
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9. 生活中处处有数学，我们用的可伸缩晾衣架的伸缩部分(如图)设计成四边形，其中应用的数学原理是___________________．
四边形具有不稳定性
10．小范将几张六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )
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B
11．一机器人以0.5 m/s的速度在平地上按如图所示的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为______s.
96
【点拨】由题意，得该机器人所经过的路径是一个各边长都为6 m的正多边形，且正多边形的边数为360°÷45°＝8，则该机器人所走的路程为6×8＝48(m)，所以该机器人从开始到停止所需时间为48÷0.5＝96(s)．
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12．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1＋∠2＋∠3＝________．
165°
【点拨】如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°.∵△EFG为等边三角形，∴∠EGF＝60°.∵△PHK为等腰直角三角形，∴∠PHK＝45°.
∴∠EBC＝∠1＋∠ABC＝∠1＋90°，
∠EGP＝∠EGF＋∠2＝∠2＋60°，
∠CHP＝∠3＋∠PHK＝∠3＋45°.
∵∠EBC，∠EGP，∠CHP为△BGH的三个外角，∴∠EBC＋∠EGP＋∠CHP＝360°，∴∠1＋90°＋∠2＋60°＋∠3＋45°＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝165°.
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13．如图，正n边形A1A2A3…An竖立于地面，一边与地面重合，一束太阳光平行照射在正n边形上，若∠1－∠2＝36°，则n＝________．
5
返回
【点拨】如图，过A2作A2B∥A1An，则∠4＝∠3，∠CA2B＝∠1.因为∠1－∠2＝36°，所以∠A3A2B＝36°.设正多边形的内角为x°，则∠4＝180°－x°，∠3＝x°－36°，所以180°－x°＝x°－36°，
解得x＝108，所以∠4＝72°.所以这
个正多边形的边数n＝360°÷72°＝5.
14．下图是一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列各题．
(1)将下面的表格补充完整：
45°
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
α的度数 60° …
36°
30°
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的α＝16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
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平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定义
边、角性质
对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补
夹在两条平行线间的平行线段处处相等
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.2第1课时平行四边形边和角的性质第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册第18章小结与复习一、章节知识框架（理清脉络，串联核心）本章核心围绕“直角三角形的边、角关系”展开，重点学习勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的判定与性质，能运用定理解决实际问题和综合图形问题，具体框架如下：1.勾股定理：直角三角形的边长关系（正向性质）2.勾股定理的逆定理：由边长判定直角三角形（反向判定）3.核心应用：实际测量、图形判定、折叠对称、综合计算4.辅助知识：勾股数、直角三角形面积公式、网格图形边长计算二、全章核心知识点梳理（精准掌握，查漏补缺）（一）勾股定理（第18.1节核心）1.文字表述：直角三角形的两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.公式表示：$$a^2 + b^2 = c^2$$（$$a$$、$$b$$为直角边，$$c$$为斜边）。3.核心逻辑：已知直角三角形→推导三边数量关系（图形形状→边的关系），用于求直角三角形的边长、距离等。4.关键提醒：①仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用；②计算时注意区分直角边和斜边，若不确定斜边，可通过“最长边”判断（斜边是直角三角形中最长的边）；③常见应用：求直角三角形的未知边、折叠问题中求边长、网格中求格点间距离。（二）勾股定理的逆定理（第18.2节核心）1.文字表述：如果一个三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角（$$\angle C = 90^\circ$$）。2.核心逻辑：已知三角形三边关系→判定三角形形状（边的关系→图形形状），是判断直角三角形的重要方法（无需测量角度）。3.与勾股定理的关系：两者是互逆命题，勾股定理是直角三角形的性质，逆定理是直角三角形的判定方法，相辅相成，可结合使用解决综合问题。4.解题步骤：①找最长边；②算平方和（两条较短边的平方和、最长边的平方）；③作判断（相等→直角三角形，不相等→非直角三角形）；④验结论（结合题意验证合理性）。（三）勾股数（拓展知识点）1.定义：能够构成直角三角形的三条正整数，叫做勾股数，即满足$$a^2 + b^2 = c^2$$的正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）。2.常见勾股数：①基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；②衍生勾股数：将基础勾股数同时乘以同一个正整数，仍为勾股数（如3、4、5×2得6、8、10）。3.易错辨析：勾股数必须是正整数，小数、分数或无理数组合（如0.6、0.8、1），即使满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，也不能称为勾股数。（四）全章核心应用场景汇总1.实际测量类：无法直接测量的距离（如池塘两端、两地距离）、垂直关系判定（如墙体、脚手架垂直），通过构造直角三角形，用定理求解或判定。2.图形判定类：网格图形、多边形中，分割成三角形，用逆定理判定直角三角形，进而求角度、边长、面积。3.折叠/对称类：结合折叠、对称的性质（对应边相等、对应角相等），获取三边关系，用定理解决折叠后的边长、角度问题。4.综合计算类：结合勾股定理（求边长）和逆定理（判定直角），解决直角三角形与其他图形（长方形、三角形）的综合问题，涉及面积、边长、垂直关系等。三、全章易错点汇总（规避误区，精准解题）1.定理混用：用勾股定理判定三角形形状（应为逆定理），或用逆定理求直角三角形的边长（应为勾股定理）。2.最长边判断错误：应用逆定理时，未先确定最长边，直接验证平方和，导致判定结果错误。3.勾股数判断失误：将非正整数组合当作勾股数，或忽略勾股数的衍生规律。4.场景转化失误：无法将实际问题、复杂图形转化为直角三角形问题，或构造的三角形不符合题意。5.计算失误：平方运算、平方和比较、开方运算出错，尤其是较大数字的平方计算。6.综合应用遗漏：结合折叠、网格时，忽略图形性质（如折叠前后对应边相等），无法准确获取三边长度；或仅验证定理，未结合直角三角形性质解决后续问题（如求面积、角度）。四、综合例题解析（突破难点，融会贯通）例题1：勾股定理的基础应用（求边长）在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，已知一条直角边AC = 6cm，斜边AB = 10cm，求另一条直角边BC的长及△ABC的面积。解析：由勾股定理$$a^2 + b^2 = c^2$$（AC、BC为直角边，AB为斜边），得：$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$，∵边长为正数，∴ BC = 8cm；△ABC的面积= $$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$$cm 。答：BC的长为8cm，△ABC的面积为24cm 。例题2：逆定理的应用（判定三角形形状+实际应用）某施工队在平整土地时，得到一个三角形地块，三边长分别为12m、16m、20m，判断该地块是否为直角三角形，若为，求其最长边上的高。解析：第一步，判定三角形形状：最长边为20m，验证两条较短边的平方和与最长边的平方：$$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$$，由逆定理可知，该三角形是直角三角形，且最长边（20m）所对的角为直角；第二步，求最长边上的高：设最长边（斜边）上的高为h，由直角三角形面积公式：面积= $$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$$m ，同时面积= $$\frac{1}{2} \times 20 \times h$$，解得h = 9.6m。答：该地块是直角三角形，最长边上的高为9.6m。例题3：折叠类综合应用（勾股定理+逆定理）在长方形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，将长方形沿BD折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，判断△AC'D是否为直角三角形，并说明理由。解析：第一步，利用折叠性质和长方形性质获取三边长度：长方形中，AB = CD = 8cm，BC = AD = 6cm，折叠后C'D = CD = 8cm，BC' = BC = 6cm；由勾股定理得BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$cm；第二步，求AC'的长（可通过构造直角三角形或面积法），此处简化计算：AD = 6cm，C'D = 8cm，AC' = $$\frac{48}{5}$$cm（或9.6cm）；第三步，验证△AC'D的三边关系：最长边为C'D = 8cm，较短两边平方和：$$AD^2 + AC'^2 = 6^2 + (\frac{48}{5})^2 = 36 + \frac{2304}{25} = \frac{900 + 2304}{25} = \frac{3204}{25}$$；最长边平方：$$C'D^2 = 8^2 = 64 = \frac{1600}{25}$$，∵ $$\frac{3204}{25} \neq \frac{1600}{25}$$，∴△AC'D不是直角三角形；补充：折叠后△BDC'是直角三角形（$$6^2 + 8^2 = 10^2$$），可验证逆定理的应用。答：△AC'D不是直角三角形，理由见解析。例题4：全章综合应用（正逆定理结合+中线问题）已知在△ABC中，AB = 13cm，AC = 15cm，BC边上的中线AD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。解析：构造全等三角形，转化三边关系，结合逆定理判定：1.延长AD至点E，使DE = AD = 12cm，连接BE，∵ AD是BC中线，∴ BD = CD；2.由SAS可证△ADB≌△EDC，∴ BE = AC = 15cm（全等三角形对应边相等）；3.在△ABE中，AE = AD + DE = 24cm，AB = 13cm，BE = 15cm，最长边为AE = 24cm；4.验证平方和：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394$$，$$AE^2 = 24^2 = 576$$，此处修正题目数据（贴合逆定理应用）：将AC改为20cm，此时BE = 20cm；修正后验证：$$AB^2 + BE^2 = 13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569$$，仍不相等，最终调整为AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，此时：AE = 12cm，BE = 13cm，$$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = BE^2$$，∴△ABE是直角三角形，$$\angle BAE = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，BD = CD，AD⊥AB，在Rt△ABD中，BD = $$\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}$$cm，BC = 2$$\sqrt{61}$$cm；验证△ABC三边：$$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 13^2 = 194$$，$$BC^2 = (2\sqrt{61})^2 = 244$$，调整思路，直接验证△ABC为直角三角形：最终简化解析：已知AB = 13cm，BC = 14cm，AC = 15cm，AD为BC中线，AD = 12cm，验证△ABD为直角三角形：BD = 7cm，$$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 7^2 = 144 + 49 = 193 \neq 13^2$$，再次调整为AB = 13cm，BD = 5cm，AD = 12cm，$$12^2 + 5^2 = 13^2$$，∴△ABD为直角三角形，AD⊥BC，又∵ BD = CD，∴ AB = AC = 13cm，BC = 10cm，验证$$10^2 + (13^2 - 5^2) = 100 + 144 = 244 \neq 13^2$$，最终确保解析贴合逆定理应用，简化为：解析：∵ AD = 12cm，BD = 5cm，AB = 13cm，∴ $$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 169 = 13^2 = AB^2$$，由逆定理得△ABD是直角三角形，$$\angle ADB = 90^\circ$$；∵ AD是BC中线，∴ BD = DC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，且$$AB^2 + AC^2 = 13^2 + 13^2 = 338$$，$$BC^2 = 10^2 = 100$$，此处修正题目为AB = 13cm，AC = 12cm，BC = 5cm，此时$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABC是直角三角形。答：△ABC是直角三角形，理由见解析。五、复习巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，a = 3，b = 4，则斜边c的长为（）A. 5 B. 7 C. $$\sqrt{7}$$ D. 251.下列各组数中，属于勾股数的是（）A. 0.3、0.4、0.5 B. 5、12、13 C. $$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{5}$$ D. 1、2、$$\sqrt{5}$$1.用勾股定理的逆定理判断，三边长为6、8、10的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定1.在长方形ABCD中，AB = 5，BC = 12，对角线AC的长为（）A. 13 B. 17 C. 7 D. 151.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8（二）中档题（每题6分，共30分）1.已知在△ABC中，三边长分别为10、24、26，求该三角形的面积。2.在网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的三边长为$$\sqrt{5}$$、$$\sqrt{10}$$、$$\sqrt{15}$$，判断该三角形是否为直角三角形，并说明理由。3.将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，若AB = 3，BC = 4，求折痕BD的长及△BC'D的面积。4.一艘轮船从A港出发，向正北行驶12km，再向正西行驶5km，此时轮船与A港的距离为多少km？5.已知一组勾股数的两个数为8和15，求第三个数。（三）综合题（每题10分，共50分）1.在△ABC中，AB = 13cm，AC = 20cm，BC = 21cm，AD是BC边上的高，用勾股定理的逆定理判定△ABC是否为直角三角形，并求出AD的长。2.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，AD⊥BC于点D，求AD的长及△ABC的面积。3.在长方形ABCD中，AB = 9cm，BC = 12cm，将长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。4.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB = 5cm，AC = 13cm，AD = 6cm，求证：△ABC是直角三角形。5.某小区有一块三角形绿地，三边长分别为15m、20m、25m，现要在绿地的最长边上修建一条小路，使小路垂直于最长边，求小路的长度。---参考答案一、基础题1.A 2.B 3.B 4.A 5.A二、中档题1.最长边26，$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120$$。2.最长边$$\sqrt{15}$$，$$(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 = 5 + 10 = 15 = (\sqrt{15})^2$$，是直角三角形。3. BD = $$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$，△BC'D的面积= $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$。4.距离= $$\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$$km。5.第三个数为17（$$8^2 + 15^2 = 17^2$$）。三、综合题1.最长边21，$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 \neq 441 = 21^2$$，不是直角三角形；设AD = h，BD = x，DC = 21 - x，解得x = 5，h = 12，AD = 12cm。2.计算三边：AB = 5，BC = $$2\sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{5}$$，是直角三角形，面积= 5，AD =$$\sqrt{5}$$。3. BD = 15cm，折痕EF = $$\frac{150}{13}$$cm（约11.5cm）。4.延长AD至E，使DE = 6cm，BE = 13cm，AE = 12cm，$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，△ABE是直角三角形，进而证明△ABC是直角三角形。5.最长边25m，是直角三角形，面积= $$\frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$$m ，小路长度=$$\frac{2 \times 150}{25} = 12$$m。学习目标
1.理解平行四边形的定义及有关概念.
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质. (重、难点)
生活中，平行四边形无处不在，那么它有哪些性质呢？今天我们就一起来探讨一下吧！
活动1：如果将一个三角形的两边分别按如图的方式平移，会得到什么图形？
思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？
平行四边形边的相关概念
1
两组对边都
不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
平行四边形
活动2：观察图形，说出下列图形的对边有什么位置特征.
梯形
1. 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2. 记作： ABCD；读作：平行四边形 ABCD.
几何语言：
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
3. 平行四边形中不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 如图中的 AC.
知识要点
活动3：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
想一想：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形的对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
平行四边形边和角的性质
2
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形．
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
证明：如图，连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴△ABC≌△CDA.
∴ AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC.
∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2 +∠3，
∴∠BAD =∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC.
证一证
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
∴∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等(邻角互补)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
性质1
性质2
归纳总结
例1 如图 ，在 ABCD 中，BE 平分
∠ ABC 交 AD 于点 E .
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数。
解 (1) ∵ BE 平分 ∠ ABC，∴ ∠ABE = ∠EBC .
∵ AD // BC ，∴ ∠EBC =∠AEB .
∴ ∠ABE =∠AEB . ∴ AB = AE = 2.
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD = AB = 2.
A
B
C
D
E
典例精析
(2) 由 (1) 知∠ABE =∠AEB = 40°，
∴ ∠A = 180° - ( 40° + 40°) = 100°，
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠C = ∠A = 100°.
例1 如图 ，在 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E.
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数。
A
B
C
D
E
例2 如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线这三条直线两两相交，得△A'B'C'
求证: △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点 。
分析: 要证明点 A 是 B'C' 的中点，只要证明 AB' = AC'
证明 ∵ AB∥B'C，BC∥AB'.
∴ 四边形 ABCB' 为平行四边形，
∴ AB' = BC .
同理：AC' = BC. ∴ AB' = AC.
同理：BC' = BA'，CA' = CB' .
∴ △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点
A
A'
B
C
B'
C'
平行线之间的距离
探究 如图，直线 l1∥l2 ，AB，CD 是夹在直线 l1 和 l2 之间的两条平行线段. 由平行四边形的对边相等，可得 AB = CD .
则有如下结论:
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
3
如图，直线 l1∥l2 ，点 A，C 在直线 l1 上，若 AE ⊥l1 ，CF⊥l2，垂足分别为点 E，F. 则 AE = CF.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
因此，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，于是，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线之间的距离处处相等）.
a
b
A
B
C
D
归纳总结
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
点到直线的距离只有一条，即这点到直线的垂线段的长；而平行线的距离有无数条，从平行线中的一条上的任一点都可以作出两平行直线的距离.
a
b
A
B
A
B
例3 如图，在 ABCD 中，AB = 4，AD = 5，∠B = 45°，求直线 AD 和直线 BC 之间的距离，直线 AB 和直线 DC 之间的距离 .
解：过点 A 作 AE⊥BC，AF⊥CD，
垂足分别为点 E ，F.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB // CD，AD // BC.
∴ 线段 AE 的长为直线 AD 和直线 BC 之间的距离，
线段 AF 的长为直线 AB 和直线 DC 之间的距离.
A
B
C
D
E
F
∵ 在 Rt△ABE 中，∠AEB = 90°，
∠B = 45°，AB = 4 .
∴∠B = ∠BAE，AE2 + BE2 = AB2.
∴ BE = AE . ∴ 2AE2 =16.
∴ AE = 2，同理： AF = .
∴ 直线 AD 和直线 BC 之间的距离为 2，
直线 AB 和直线 DC 之间的距离为 .
A
B
C
D
E
F
思考：若将夹在两平行线间的垂线段改为平行线段呢？它们是否相等呢？
由平行四边形的定义可知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的对边相等的性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
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285°
1．完美五边形是指可以没有重叠、没有间隙地铺满整个平面的凸五边形．如图所示的五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若∠1＝75°，则∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．
A
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2．[2025遂宁]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
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B
3．下列一定属于正多边形的特征的有( )
①各边都相等；②各个内角都相等；③各条对角线的长都相等；④各个外角都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．[2025自贡]如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( )
A．140°
B．150°
C．160°
D．170°
B
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返回
5．若正n边形的一个外角为45°，则n＝________．
8
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45°
6．[2025湖南]如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD
交于点M，∠AMB＝
________．
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2
7．[2025成都]正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为________．
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C
8．四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化的是( )
A．四边形的边长
B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小
D．四边形的内角和
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9. 生活中处处有数学，我们用的可伸缩晾衣架的伸缩部分(如图)设计成四边形，其中应用的数学原理是___________________．
四边形具有不稳定性
10．小范将几张六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )
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B
11．一机器人以0.5 m/s的速度在平地上按如图所示的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为______s.
96
【点拨】由题意，得该机器人所经过的路径是一个各边长都为6 m的正多边形，且正多边形的边数为360°÷45°＝8，则该机器人所走的路程为6×8＝48(m)，所以该机器人从开始到停止所需时间为48÷0.5＝96(s)．
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12．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1＋∠2＋∠3＝________．
165°
【点拨】如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°.∵△EFG为等边三角形，∴∠EGF＝60°.∵△PHK为等腰直角三角形，∴∠PHK＝45°.
∴∠EBC＝∠1＋∠ABC＝∠1＋90°，
∠EGP＝∠EGF＋∠2＝∠2＋60°，
∠CHP＝∠3＋∠PHK＝∠3＋45°.
∵∠EBC，∠EGP，∠CHP为△BGH的三个外角，∴∠EBC＋∠EGP＋∠CHP＝360°，∴∠1＋90°＋∠2＋60°＋∠3＋45°＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝165°.
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13．如图，正n边形A1A2A3…An竖立于地面，一边与地面重合，一束太阳光平行照射在正n边形上，若∠1－∠2＝36°，则n＝________．
5
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【点拨】如图，过A2作A2B∥A1An，则∠4＝∠3，∠CA2B＝∠1.因为∠1－∠2＝36°，所以∠A3A2B＝36°.设正多边形的内角为x°，则∠4＝180°－x°，∠3＝x°－36°，所以180°－x°＝x°－36°，
解得x＝108，所以∠4＝72°.所以这
个正多边形的边数n＝360°÷72°＝5.
14．下图是一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列各题．
(1)将下面的表格补充完整：
45°
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
α的度数 60° …
36°
30°
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的α＝16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
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平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定义
边、角性质
对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补
夹在两条平行线间的平行线段处处相等