19.2 第3课时 平行四边形的判定 课件（共36张PPT）--沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 19.2 第3课时 平行四边形的判定 课件（共36张PPT）--沪科版（新教材）八年级数学下册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共36张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.2第3课时平行四边形的判定第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册19.2第3课时平行四边形的判定一、课时核心知识点（衔接前两课时，夯实基础）（一）复习回顾（衔接前两课时，铺垫新知）1.平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（既是定义，也是最基础的判定方法）；2.平行四边形的性质（逆向推导判定定理的关键）：1.对边：平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB = CD，AD = BC）；2.对角：相等（∠A = ∠C，∠B = ∠D）；邻角：互补（∠A + ∠B = 180°等）；3.对角线：互相平分（对角线AC、BD相交于点O，则AO = OC，BO = OD）。3.思考：性质是“已知平行四边形，推导出边、角、对角线的关系”，而判定是“已知边、角、对角线的关系，推导出四边形是平行四边形”，二者互为逆过程。（二）平行四边形的判定定理（核心重点，必须掌握）判定定理的推导思路：结合平行四边形的性质逆推，再通过全等三角形证明，确保定理的严谨性，本节课重点掌握4个核心判定定理，贴合沪科版教材课时要求。判定定理1：定义法（最基础，必考）1.文字表述：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形（与平行四边形的定义完全一致）；2.几何语言表示：∵ AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；3.关键说明：直接根据“两组对边平行”判定，无需额外证明，是后续其他判定定理应用的基础。判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形1.文字表述：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形；2.推导证明：连接对角线AC，在△ABC和△CDA中，$$\begin{cases} AB = CD \\ AD = BC \\ AC = CA \end{cases}$$，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴ ∠BAC = ∠DCA，∠ACB = ∠CAD，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；3.几何语言表示：∵ AB = CD，AD = BC，∴四边形ABCD是平行四边形；4.应用场景：已知四边形的四条边长，或能证明两组对边分别相等时，优先使用。判定定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.文字表述：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；2.补充说明：“平行且相等”可用符号“$$\parallel$$”表示，如AB$$\parallel$$CD且AB = CD，可记作AB$$\equalparallel$$CD（读作“AB平行且等于CD”）；3.推导证明：连接对角线AC，∵ AB∥CD，∴ ∠BAC = ∠DCA，在△ABC和△CDA中，$$\begin{cases} AB = CD \\ ∠BAC = ∠DCA \\ AC = CA \end{cases}$$，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴ AD = BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；4.几何语言表示：∵ AB∥CD，AB = CD（或AB$$\equalparallel$$CD），∴四边形ABCD是平行四边形；5.应用场景：已知一组对边的平行关系和长度关系，是中考中最常用、最便捷的判定方法之一。判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形1.文字表述：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形；2.推导证明：对角线AC、BD相交于点O，在△AOB和△COD中，$$\begin{cases} AO = OC \\ ∠AOB = ∠COD \\ BO = OD \end{cases}$$，∴△AOB≌△COD（SAS），∴ AB = CD，∠OAB = ∠OCD，∴ AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；3.几何语言表示：∵对角线AC、BD相交于点O，AO = OC，BO = OD，∴四边形ABCD是平行四边形；4.应用场景：已知四边形对角线的交点及线段平分关系，或能证明两条对角线互相平分时使用。补充判定方法（基础拓展，了解即可）两组对角分别相等的四边形是平行四边形：1.文字表述：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形；2.几何语言表示：∵ ∠A = ∠C，∠B = ∠D，∴四边形ABCD是平行四边形；3.说明：沪科版教材本节课重点讲解前4个判定定理，此方法可作为辅助判定，后续会进一步深化，证明时需结合四边形内角和为360°推导两组对边平行。（三）判定定理与性质的区别与联系（易错区分）1.区别：性质是“先有平行四边形，后有边、角、对角线的关系”（顺向推理）；判定是“先有边、角、对角线的关系，后有平行四边形”（逆向推理）；2.联系：二者互为逆定理，判定定理的推导依赖于平行四边形的性质，性质的应用也常结合判定定理。（四）核心解题思路（贴合课时重点，衔接前两课时）1.判定平行四边形的核心：根据已知条件，选择最便捷的判定定理（优先选“一组对边平行且相等”“对角线互相平分”，计算量小、步骤简洁）；2.证明思路：若已知边的关系，优先用判定定理2、3；若已知对角线关系，优先用判定定理4；若已知平行关系，优先用定义法或判定定理3；3.综合应用：结合前两课时的性质，可实现“判定平行四边形→利用性质求边长、角度、面积”的完整解题流程；4.辅助线技巧：证明判定定理时，常连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题（全等三角形证明），这是平面几何中“转化思想”的典型应用。二、易错点总结（规避误区，精准解题）1.判定条件混淆：误将“一组对边平行，另一组对边相等”当作判定定理（反例：等腰梯形，一组对边平行、另一组对边相等，但不是平行四边形），必须注意“一组对边平行且相等”需同时满足“平行”和“相等”两个条件，缺一不可；2.几何语言应用错误：使用判定定理时，条件不完整（如用判定定理3时，只说明AB∥CD，未说明AB = CD；用判定定理4时，未说明对角线相交于同一点）；3.性质与判定混淆：如已知四边形是平行四边形，却用判定定理推导边相等（应直接用性质）；或想判定平行四边形，却用性质作为条件，逻辑颠倒；4.对角线判定误区：误将“一条对角线被平分”当作判定条件（需两条对角线互相平分，缺一不可），如仅AO = OC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，需同时满足BO = OD；5.符号使用错误：混淆“平行且相等”的符号表示，或书写时遗漏平行、相等的条件，导致逻辑链断裂；6.图形误判：将梯形（一组对边平行，另一组对边不平行）误判为平行四边形，忽略平行四边形需“两组对边分别平行”的核心条件。三、典型例题解析（分题型突破，贴合课时重点）例题1：定义法判定平行四边形（基础题型）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：四边形ABCD是平行四边形，并证明AB = CD，AD = BC。解析：直接利用定义法判定平行四边形，再结合全等三角形证明对边相等（衔接性质）。证明：（1）判定平行四边形：∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；（2）证明对边相等：连接AC，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠BAC = ∠DCA，∠ACB = ∠CAD，在△ABC和△CDA中，$$\begin{cases} ∠BAC = ∠DCA \\ AC = CA \\ ∠ACB = ∠CAD \end{cases}$$，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴ AB = CD，AD = BC。例题2：两组对边分别相等判定平行四边形（基础题型）在四边形ABCD中，已知AB = CD = 6cm，AD = BC = 4cm，求证：四边形ABCD是平行四边形，并求其周长。解析：利用“两组对边分别相等”判定平行四边形，再结合周长公式计算。证明：∵ AB = CD，AD = BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；周长= 2×(AB + AD) = 2×(6 + 4) = 20cm。答：四边形ABCD是平行四边形，周长为20cm。例题3：一组对边平行且相等判定平行四边形（中档题型，高频考点）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且AB∥CD，AB = CD，求证：四边形AECF是平行四边形。解析：先根据已知条件推导AECF的一组对边平行且相等，再用判定定理3判定。证明：∵ E、F分别是AB、CD的中点，∴ AE = $$\frac{1}{2}$$AB，CF = $$\frac{1}{2}$$CD，又∵ AB∥CD，AB = CD（已知），∴ AE∥CF，AE = CF（等量代换），∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。例题4：对角线互相平分判定平行四边形（中档题型）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = OC = 3cm，BO = OD = 4cm，求证：四边形ABCD是平行四边形，并求△AOB的面积。解析：利用“对角线互相平分”判定平行四边形，再结合直角三角形面积公式计算。证明：∵对角线AC、BD相交于点O，AO = OC，BO = OD（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；在△AOB中，AO = 3cm，BO = 4cm，且AO⊥BO（可通过后续矩形知识验证，本节课暂直接应用），∴ S△AOB = $$\frac{1}{2}$$×AO×BO = $$\frac{1}{2}$$×3×4 = 6cm 。答：四边形ABCD是平行四边形，△AOB的面积为6cm 。例题5：综合应用（中档拔高，多定理结合）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE = CF，求证：四边形BEDF是平行四边形。（用两种方法证明）解析：方法一：利用平行四边形的性质，结合“一组对边平行且相等”判定；方法二：利用“对角线互相平分”判定。证明：方法一（一组对边平行且相等）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD，∴ ∠BAE = ∠DCF，在△ABE和△CDF中，$$\begin{cases} AB = CD \\ ∠BAE = ∠DCF \\ AE = CF \end{cases}$$，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴ BE = DF，∠AEB = ∠CFD，∴ ∠BEF = ∠DFE，∴ BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；方法二（对角线互相平分）：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形对角线互相平分），又∵ AE = CF，∴ AO - AE = OC - CF，即OE = OF，∵对角线BD、EF相交于点O，且BO = OD，OE = OF，∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。四、课时巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对边平行，另一组对边相等B.两组对边分别平行C.一组对边平行，一组对角相等D.对角线互相垂直1.在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是（）A.长方形B.平行四边形C.菱形D.正方形1.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO = OC，BO = OD，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.长方形C.菱形D.正方形1.下列说法正确的是（）A.一组对边相等的四边形是平行四边形B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是平行四边形D.对角相等的四边形一定是平行四边形1.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，且AB = CD，则下列结论正确的是（）A. AD = BC B. AD⊥BC C. ∠A = ∠B D.对角线互相垂直（二）填空题（每题4分，共20分）1.两组对边分别________的四边形是平行四边形；一组对边________且________的四边形是平行四边形。2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO = 5cm，OC = 5cm，BO = 7cm，则OD = ________cm时，四边形ABCD是平行四边形。3.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB = 5cm，CD = ________cm时，四边形ABCD是平行四边形。4.用“两组对边分别相等”判定平行四边形时，需证明________和________。5.在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，则四边形AECF是________（填“平行四边形”或“不是平行四边形”）。（三）解答题（每题15分，共60分）1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD = BC，求证：四边形ABCD是平行四边形，并证明∠A = ∠C。2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO = OC，BE = DF，求证：四边形AECF是平行四边形。3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE = DF。4.如图，在□ABCD中，延长AB至点E，使BE = AB，连接DE、EC，求证：四边形BECD是平行四边形。---参考答案一、选择题1.B 2.B 3.A 4.B 5.A二、填空题1.相等；平行；相等2. 7 3. 5 4. AB = CD；AD = BC 5.平行四边形三、解答题1.证明：∵ AD∥BC，AD = BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A = ∠C（平行四边形对角相等）；答：四边形ABCD是平行四边形，∠A = ∠C，理由见解析。2.证明：∵对角线AC、BD相交于点O，AO = OC（已知），又∵ BE = DF，BO = OD（等式性质），∴ BO - BE = OD - DF，即EO = FO；∵ AO = OC，EO = FO，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；答：四边形AECF是平行四边形，理由见解析。3.证明：∵ AB = CD，AD = BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；∴ AD∥BC，AD = BC，又∵ E、F分别是AD、BC的中点，∴ AE = $$\frac{1}{2}$$AD，CF = $$\frac{1}{2}$$BC，∴ AE = CF，AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴ BE = DF。4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD（平行四边形对边平行且相等）；又∵ BE = AB（已知），∴ BE = CD，且BE∥CD（AB∥CD，BE在AB延长线上）；∴四边形BECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；答：四边形BECD是平行四边形，理由见解析。学习目标
1.平行四边形判定方法的探究. (重点)
2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用. (难点)
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对角线
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
活动1：将线段 AB 按下图中所给的方向和距离平移成线段 A'B'，连接 AA'，BB'. 得到四边形 ABB'A'，它一定是平行四边形吗 为什么
平行四边形的判定定理1
A
B
A'
B'
1
如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC ，且 AB = DC 。
求证：四边形 ABCD 为平行四边形。
证明：连接 AC.
∵ AB // DC，∴ ∠BAC = ∠DCA.
在 △ABC 和 △CDA 中，
∴ △ABC≌△CDA . ∴∠ACB =∠CAD.
∴ AD // BC . 因此，四边形 ABCD 是平行四边形.
AB = CD，
∠BAC =∠DCA，
CA = AC，
A
B
D
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 1
B
D
C
A
常用符号“ ” 表示 “ 平行且相等 ”，“ AB CD ” 读作“AB 平行且等于 CD”.
∥
∥
归纳总结
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
证明：在 □ ABCD 中，
∠B =∠D，AB = CD，∠DAB =∠BCD.
∵ AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，
∴∠BAE =∠DCF = ∠DAB = ∠BCD.
∴△ABE≌△CDF (ASA).
典例精析
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
∴ BE = DF.
则由 BC = DA 可得 CE = AF.
又∵ CE∥AF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
活动2：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20 cm
30 cm
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
活动2 如图，过点 A 画两条线段 AB， AD，以点 B 为圆心、 AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心、 AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C ，连接 BC，DC . 这样画出的四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形吗 为什么
B
D
C
A
平行四边形的判定定理2
2
已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
连接 BD．
在 △ABD 和 △CDB 中，
AB = CD，
BD = DB，
AD = CB，
∴△ABD≌△CDB (SSS).
∴∠1 =∠3，∠2 =∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 2
B
D
C
A
归纳总结
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC 和 AD 上的两点，且 AF = CE.
求证：四边形 AECF 为平行四边形.
B
A
C
D
F
E
证明：易得 △ABE≌△CDF (SAS).
∴ AE = CF.
又∵ AF = CE，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形的判定定理 3
活动3 如图，作两条直线 l1，l2 交于点 O，在直线 l1上截取 OA = OC，在直线 l2 上截取 OB = OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形 ABCD 的对角线互相平分，它是平行四边形吗 为什么
B
D
C
A
O
l1
l2
2
已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在△AOB 和 △COD 中，
OA = OC，(已知)
OB = OD，(已知)
∠AOB =∠COD，(对顶角相等)
∴ △AOB≌△COD (SAS).
∴ AB = CD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
C
B
O
D
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA = OC，
OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 3
A
C
B
O
D
归纳总结
例3 如图，点 E ，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形
证明：连接 BD 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ AE = CF，∴OE = OA - AE = OC - CF = OF .
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
思考：还有其他证法吗
例4 已知：如图，直线 l1，l2 ，l3 互相平行，直线 l4 和 l5 分别交直线 l1，l2 ，l3 于点 A，B，C 和点 A1，B1，C1，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1 .
证明：过点 B1 作 l6 ∥l4，分别交直线 l1，l3 于点 E，F.
∴ 四边形 ABB1E 和四边形 BCFB1 都是平行四边形.
∴ EB1 = AB，B1F = BC .
∵ AB = BC，
∴ EB1= B1F.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
又∵ l1 ∥l3 ，∴ ∠A1EB1 =∠B1FC1.
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
∴ △A1B1E≌△C1B1F. ∴ A1B1 = B1C1.
∠A1EB1 = ∠C1FB1，
EB1 = FB1，
∠A1B1E = ∠ C1B1F，
在△A1B1E 和△C1B1F 中，
延伸 前面的例题中，将直线 l 向左平移，使点 A1，A 重合，你能发现什么规律
推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：四边形 ABCD 中，∠A =∠C，∠B =∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
且∠A =∠C，∠B =∠D，
∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
同理得 AB∥CD，
证明：
判定方法：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
返回
C
1．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是( )
C
返回
2．[2025西安模拟]如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A．∠1＝∠2
B．AD＝BC
C．OA＝OC
D．AD＝AB
返回
8
3．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11－x，BC＝x－5，则当x＝________时，四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．
【证明】∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．
返回
返回
5．如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各坐标中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( )
A．(－3，1)
B．(4，1)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
A
17
6．如图，E是 ABCD的边AB上的点，连接CE，DE，Q是CE的中点，连接BQ并延长，交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则阴影部分的面积为________cm2.
返回
又∵BE∥CF，∴四边形BCFE为平行四边形．∴S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2.∵AB＝CD，BE＝CF，∴AB－BE＝CD－CF，即AE＝FD，又∵AE∥FD，∴四边形ADFE为平行四边形．∴S△PEF＝S△APD＝3 cm2.∴阴影部分的面积＝S△BEF＋S△PEF＝14＋3＝17(cm2)．
7．如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE，BF的中点．
(1)求证：四边形ENFM是平行四边形；
返回
(2)若∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠A＋∠ABC＝180°.
又∵∠ABC＝2∠A，∴3∠A＝180°，解得∠A＝60°.
从边考虑
两组对边分别平行(定义法)
两组对边分别相等(判定定理2)
一组对边平行且相等（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等（定义拓展）
对角线互相平分（判定定理3）
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.2第3课时平行四边形的判定第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册19.2第3课时平行四边形的判定一、课时核心知识点（衔接前两课时，夯实基础）（一）复习回顾（衔接前两课时，铺垫新知）1.平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（既是定义，也是最基础的判定方法）；2.平行四边形的性质（逆向推导判定定理的关键）：1.对边：平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB = CD，AD = BC）；2.对角：相等（∠A = ∠C，∠B = ∠D）；邻角：互补（∠A + ∠B = 180°等）；3.对角线：互相平分（对角线AC、BD相交于点O，则AO = OC，BO = OD）。3.思考：性质是“已知平行四边形，推导出边、角、对角线的关系”，而判定是“已知边、角、对角线的关系，推导出四边形是平行四边形”，二者互为逆过程。（二）平行四边形的判定定理（核心重点，必须掌握）判定定理的推导思路：结合平行四边形的性质逆推，再通过全等三角形证明，确保定理的严谨性，本节课重点掌握4个核心判定定理，贴合沪科版教材课时要求。判定定理1：定义法（最基础，必考）1.文字表述：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形（与平行四边形的定义完全一致）；2.几何语言表示：∵ AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；3.关键说明：直接根据“两组对边平行”判定，无需额外证明，是后续其他判定定理应用的基础。判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形1.文字表述：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形；2.推导证明：连接对角线AC，在△ABC和△CDA中，$$\begin{cases} AB = CD \\ AD = BC \\ AC = CA \end{cases}$$，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴ ∠BAC = ∠DCA，∠ACB = ∠CAD，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；3.几何语言表示：∵ AB = CD，AD = BC，∴四边形ABCD是平行四边形；4.应用场景：已知四边形的四条边长，或能证明两组对边分别相等时，优先使用。判定定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.文字表述：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；2.补充说明：“平行且相等”可用符号“$$\parallel$$”表示，如AB$$\parallel$$CD且AB = CD，可记作AB$$\equalparallel$$CD（读作“AB平行且等于CD”）；3.推导证明：连接对角线AC，∵ AB∥CD，∴ ∠BAC = ∠DCA，在△ABC和△CDA中，$$\begin{cases} AB = CD \\ ∠BAC = ∠DCA \\ AC = CA \end{cases}$$，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴ AD = BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；4.几何语言表示：∵ AB∥CD，AB = CD（或AB$$\equalparallel$$CD），∴四边形ABCD是平行四边形；5.应用场景：已知一组对边的平行关系和长度关系，是中考中最常用、最便捷的判定方法之一。判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形1.文字表述：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形；2.推导证明：对角线AC、BD相交于点O，在△AOB和△COD中，$$\begin{cases} AO = OC \\ ∠AOB = ∠COD \\ BO = OD \end{cases}$$，∴△AOB≌△COD（SAS），∴ AB = CD，∠OAB = ∠OCD，∴ AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；3.几何语言表示：∵对角线AC、BD相交于点O，AO = OC，BO = OD，∴四边形ABCD是平行四边形；4.应用场景：已知四边形对角线的交点及线段平分关系，或能证明两条对角线互相平分时使用。补充判定方法（基础拓展，了解即可）两组对角分别相等的四边形是平行四边形：1.文字表述：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形；2.几何语言表示：∵ ∠A = ∠C，∠B = ∠D，∴四边形ABCD是平行四边形；3.说明：沪科版教材本节课重点讲解前4个判定定理，此方法可作为辅助判定，后续会进一步深化，证明时需结合四边形内角和为360°推导两组对边平行。（三）判定定理与性质的区别与联系（易错区分）1.区别：性质是“先有平行四边形，后有边、角、对角线的关系”（顺向推理）；判定是“先有边、角、对角线的关系，后有平行四边形”（逆向推理）；2.联系：二者互为逆定理，判定定理的推导依赖于平行四边形的性质，性质的应用也常结合判定定理。（四）核心解题思路（贴合课时重点，衔接前两课时）1.判定平行四边形的核心：根据已知条件，选择最便捷的判定定理（优先选“一组对边平行且相等”“对角线互相平分”，计算量小、步骤简洁）；2.证明思路：若已知边的关系，优先用判定定理2、3；若已知对角线关系，优先用判定定理4；若已知平行关系，优先用定义法或判定定理3；3.综合应用：结合前两课时的性质，可实现“判定平行四边形→利用性质求边长、角度、面积”的完整解题流程；4.辅助线技巧：证明判定定理时，常连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题（全等三角形证明），这是平面几何中“转化思想”的典型应用。二、易错点总结（规避误区，精准解题）1.判定条件混淆：误将“一组对边平行，另一组对边相等”当作判定定理（反例：等腰梯形，一组对边平行、另一组对边相等，但不是平行四边形），必须注意“一组对边平行且相等”需同时满足“平行”和“相等”两个条件，缺一不可；2.几何语言应用错误：使用判定定理时，条件不完整（如用判定定理3时，只说明AB∥CD，未说明AB = CD；用判定定理4时，未说明对角线相交于同一点）；3.性质与判定混淆：如已知四边形是平行四边形，却用判定定理推导边相等（应直接用性质）；或想判定平行四边形，却用性质作为条件，逻辑颠倒；4.对角线判定误区：误将“一条对角线被平分”当作判定条件（需两条对角线互相平分，缺一不可），如仅AO = OC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，需同时满足BO = OD；5.符号使用错误：混淆“平行且相等”的符号表示，或书写时遗漏平行、相等的条件，导致逻辑链断裂；6.图形误判：将梯形（一组对边平行，另一组对边不平行）误判为平行四边形，忽略平行四边形需“两组对边分别平行”的核心条件。三、典型例题解析（分题型突破，贴合课时重点）例题1：定义法判定平行四边形（基础题型）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：四边形ABCD是平行四边形，并证明AB = CD，AD = BC。解析：直接利用定义法判定平行四边形，再结合全等三角形证明对边相等（衔接性质）。证明：（1）判定平行四边形：∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；（2）证明对边相等：连接AC，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ ∠BAC = ∠DCA，∠ACB = ∠CAD，在△ABC和△CDA中，$$\begin{cases} ∠BAC = ∠DCA \\ AC = CA \\ ∠ACB = ∠CAD \end{cases}$$，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴ AB = CD，AD = BC。例题2：两组对边分别相等判定平行四边形（基础题型）在四边形ABCD中，已知AB = CD = 6cm，AD = BC = 4cm，求证：四边形ABCD是平行四边形，并求其周长。解析：利用“两组对边分别相等”判定平行四边形，再结合周长公式计算。证明：∵ AB = CD，AD = BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；周长= 2×(AB + AD) = 2×(6 + 4) = 20cm。答：四边形ABCD是平行四边形，周长为20cm。例题3：一组对边平行且相等判定平行四边形（中档题型，高频考点）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且AB∥CD，AB = CD，求证：四边形AECF是平行四边形。解析：先根据已知条件推导AECF的一组对边平行且相等，再用判定定理3判定。证明：∵ E、F分别是AB、CD的中点，∴ AE = $$\frac{1}{2}$$AB，CF = $$\frac{1}{2}$$CD，又∵ AB∥CD，AB = CD（已知），∴ AE∥CF，AE = CF（等量代换），∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。例题4：对角线互相平分判定平行四边形（中档题型）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = OC = 3cm，BO = OD = 4cm，求证：四边形ABCD是平行四边形，并求△AOB的面积。解析：利用“对角线互相平分”判定平行四边形，再结合直角三角形面积公式计算。证明：∵对角线AC、BD相交于点O，AO = OC，BO = OD（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；在△AOB中，AO = 3cm，BO = 4cm，且AO⊥BO（可通过后续矩形知识验证，本节课暂直接应用），∴ S△AOB = $$\frac{1}{2}$$×AO×BO = $$\frac{1}{2}$$×3×4 = 6cm 。答：四边形ABCD是平行四边形，△AOB的面积为6cm 。例题5：综合应用（中档拔高，多定理结合）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE = CF，求证：四边形BEDF是平行四边形。（用两种方法证明）解析：方法一：利用平行四边形的性质，结合“一组对边平行且相等”判定；方法二：利用“对角线互相平分”判定。证明：方法一（一组对边平行且相等）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD，∴ ∠BAE = ∠DCF，在△ABE和△CDF中，$$\begin{cases} AB = CD \\ ∠BAE = ∠DCF \\ AE = CF \end{cases}$$，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴ BE = DF，∠AEB = ∠CFD，∴ ∠BEF = ∠DFE，∴ BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；方法二（对角线互相平分）：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形对角线互相平分），又∵ AE = CF，∴ AO - AE = OC - CF，即OE = OF，∵对角线BD、EF相交于点O，且BO = OD，OE = OF，∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。四、课时巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对边平行，另一组对边相等B.两组对边分别平行C.一组对边平行，一组对角相等D.对角线互相垂直1.在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是（）A.长方形B.平行四边形C.菱形D.正方形1.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO = OC，BO = OD，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.长方形C.菱形D.正方形1.下列说法正确的是（）A.一组对边相等的四边形是平行四边形B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是平行四边形D.对角相等的四边形一定是平行四边形1.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，且AB = CD，则下列结论正确的是（）A. AD = BC B. AD⊥BC C. ∠A = ∠B D.对角线互相垂直（二）填空题（每题4分，共20分）1.两组对边分别________的四边形是平行四边形；一组对边________且________的四边形是平行四边形。2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO = 5cm，OC = 5cm，BO = 7cm，则OD = ________cm时，四边形ABCD是平行四边形。3.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB = 5cm，CD = ________cm时，四边形ABCD是平行四边形。4.用“两组对边分别相等”判定平行四边形时，需证明________和________。5.在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，则四边形AECF是________（填“平行四边形”或“不是平行四边形”）。（三）解答题（每题15分，共60分）1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD = BC，求证：四边形ABCD是平行四边形，并证明∠A = ∠C。2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO = OC，BE = DF，求证：四边形AECF是平行四边形。3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE = DF。4.如图，在□ABCD中，延长AB至点E，使BE = AB，连接DE、EC，求证：四边形BECD是平行四边形。---参考答案一、选择题1.B 2.B 3.A 4.B 5.A二、填空题1.相等；平行；相等2. 7 3. 5 4. AB = CD；AD = BC 5.平行四边形三、解答题1.证明：∵ AD∥BC，AD = BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A = ∠C（平行四边形对角相等）；答：四边形ABCD是平行四边形，∠A = ∠C，理由见解析。2.证明：∵对角线AC、BD相交于点O，AO = OC（已知），又∵ BE = DF，BO = OD（等式性质），∴ BO - BE = OD - DF，即EO = FO；∵ AO = OC，EO = FO，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；答：四边形AECF是平行四边形，理由见解析。3.证明：∵ AB = CD，AD = BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；∴ AD∥BC，AD = BC，又∵ E、F分别是AD、BC的中点，∴ AE = $$\frac{1}{2}$$AD，CF = $$\frac{1}{2}$$BC，∴ AE = CF，AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴ BE = DF。4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD（平行四边形对边平行且相等）；又∵ BE = AB（已知），∴ BE = CD，且BE∥CD（AB∥CD，BE在AB延长线上）；∴四边形BECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；答：四边形BECD是平行四边形，理由见解析。学习目标
1.平行四边形判定方法的探究. (重点)
2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用. (难点)
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对角线
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
活动1：将线段 AB 按下图中所给的方向和距离平移成线段 A'B'，连接 AA'，BB'. 得到四边形 ABB'A'，它一定是平行四边形吗 为什么
平行四边形的判定定理1
A
B
A'
B'
1
如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC ，且 AB = DC 。
求证：四边形 ABCD 为平行四边形。
证明：连接 AC.
∵ AB // DC，∴ ∠BAC = ∠DCA.
在 △ABC 和 △CDA 中，
∴ △ABC≌△CDA . ∴∠ACB =∠CAD.
∴ AD // BC . 因此，四边形 ABCD 是平行四边形.
AB = CD，
∠BAC =∠DCA，
CA = AC，
A
B
D
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 1
B
D
C
A
常用符号“ ” 表示 “ 平行且相等 ”，“ AB CD ” 读作“AB 平行且等于 CD”.
∥
∥
归纳总结
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
证明：在 □ ABCD 中，
∠B =∠D，AB = CD，∠DAB =∠BCD.
∵ AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，
∴∠BAE =∠DCF = ∠DAB = ∠BCD.
∴△ABE≌△CDF (ASA).
典例精析
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
∴ BE = DF.
则由 BC = DA 可得 CE = AF.
又∵ CE∥AF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
活动2：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20 cm
30 cm
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
活动2 如图，过点 A 画两条线段 AB， AD，以点 B 为圆心、 AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心、 AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C ，连接 BC，DC . 这样画出的四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形吗 为什么
B
D
C
A
平行四边形的判定定理2
2
已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
连接 BD．
在 △ABD 和 △CDB 中，
AB = CD，
BD = DB，
AD = CB，
∴△ABD≌△CDB (SSS).
∴∠1 =∠3，∠2 =∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 2
B
D
C
A
归纳总结
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC 和 AD 上的两点，且 AF = CE.
求证：四边形 AECF 为平行四边形.
B
A
C
D
F
E
证明：易得 △ABE≌△CDF (SAS).
∴ AE = CF.
又∵ AF = CE，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形的判定定理 3
活动3 如图，作两条直线 l1，l2 交于点 O，在直线 l1上截取 OA = OC，在直线 l2 上截取 OB = OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形 ABCD 的对角线互相平分，它是平行四边形吗 为什么
B
D
C
A
O
l1
l2
2
已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在△AOB 和 △COD 中，
OA = OC，(已知)
OB = OD，(已知)
∠AOB =∠COD，(对顶角相等)
∴ △AOB≌△COD (SAS).
∴ AB = CD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
C
B
O
D
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA = OC，
OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 3
A
C
B
O
D
归纳总结
例3 如图，点 E ，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形
证明：连接 BD 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ AE = CF，∴OE = OA - AE = OC - CF = OF .
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
思考：还有其他证法吗
例4 已知：如图，直线 l1，l2 ，l3 互相平行，直线 l4 和 l5 分别交直线 l1，l2 ，l3 于点 A，B，C 和点 A1，B1，C1，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1 .
证明：过点 B1 作 l6 ∥l4，分别交直线 l1，l3 于点 E，F.
∴ 四边形 ABB1E 和四边形 BCFB1 都是平行四边形.
∴ EB1 = AB，B1F = BC .
∵ AB = BC，
∴ EB1= B1F.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
又∵ l1 ∥l3 ，∴ ∠A1EB1 =∠B1FC1.
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
∴ △A1B1E≌△C1B1F. ∴ A1B1 = B1C1.
∠A1EB1 = ∠C1FB1，
EB1 = FB1，
∠A1B1E = ∠ C1B1F，
在△A1B1E 和△C1B1F 中，
延伸 前面的例题中，将直线 l 向左平移，使点 A1，A 重合，你能发现什么规律
推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：四边形 ABCD 中，∠A =∠C，∠B =∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
且∠A =∠C，∠B =∠D，
∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
同理得 AB∥CD，
证明：
判定方法：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
返回
C
1．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是( )
C
返回
2．[2025西安模拟]如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A．∠1＝∠2
B．AD＝BC
C．OA＝OC
D．AD＝AB
返回
8
3．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11－x，BC＝x－5，则当x＝________时，四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．
【证明】∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．
返回
返回
5．如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各坐标中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( )
A．(－3，1)
B．(4，1)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
A
17
6．如图，E是 ABCD的边AB上的点，连接CE，DE，Q是CE的中点，连接BQ并延长，交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则阴影部分的面积为________cm2.
返回
又∵BE∥CF，∴四边形BCFE为平行四边形．∴S△BEF＝2S△BQC＝14 cm2.∵AB＝CD，BE＝CF，∴AB－BE＝CD－CF，即AE＝FD，又∵AE∥FD，∴四边形ADFE为平行四边形．∴S△PEF＝S△APD＝3 cm2.∴阴影部分的面积＝S△BEF＋S△PEF＝14＋3＝17(cm2)．
7．如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE，BF的中点．
(1)求证：四边形ENFM是平行四边形；
返回
(2)若∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠A＋∠ABC＝180°.
又∵∠ABC＝2∠A，∴3∠A＝180°，解得∠A＝60°.
从边考虑
两组对边分别平行(定义法)
两组对边分别相等(判定定理2)
一组对边平行且相等（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等（定义拓展）
对角线互相平分（判定定理3）