19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质 课件 (共35张PPT)--沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质 课件 (共35张PPT)--沪科版（新教材）八年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 29.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.2第2课时平行四边形对角线的性质第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册19.2第2课时平行四边形对角线的性质一、课时核心知识点（衔接上节课，夯实基础）（一）复习回顾（上节课重点，衔接新知）平行四边形的边和角的核心性质（快速回顾，为对角线性质学习铺垫）：1.对边：平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB = CD，AD = BC）；2.对角：相等（∠A = ∠C，∠B = ∠D）；邻角：互补（∠A + ∠B = 180°等）；3.周长公式：2×(邻边之和)，即2(AB + AD)。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD，∠A = ∠C，∠A + ∠B = 180°。（二）平行四边形对角线的性质（核心重点）1.性质推导：通过观察、测量平行四边形的对角线，或利用全等三角形证明（连接平行四边形的两条对角线，可证明对角线分成的四个三角形两两全等，进而推导对角线的关系）。2.核心性质：平行四边形的对角线互相平分。文字表述：平行四边形的两条对角线相交于一点，这个点将两条对角线分别分成两段相等的线段（即对角线的交点是两条对角线的中点）。图形说明：如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则AO = OC，BO = OD（O是AC和BD的中点）。3.几何语言表示（重点，必须掌握）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分）。4.延伸结论（高频应用）：1.对角线分得的四个三角形面积相等：S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（等底等高，面积相等）；2.若平行四边形的一条对角线被另一条对角线平分，则可反向证明该四边形是平行四边形（性质的逆用，基础应用）；3.结合边的性质，可通过对角线求边长（构造直角三角形，利用勾股定理）。（三）对角线性质的逆用（基础拓展）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形（判定方法，后续重点学习，本节课初步了解）。几何语言：∵四边形ABCD中，AO = OC，BO = OD，∴四边形ABCD是平行四边形。（四）核心解题思路（贴合课时重点，衔接上节课）1.求对角线的长度或对角线的一半：利用“对角线互相平分”，结合已知线段长度，直接计算未知线段；2.求三角形面积：利用“对角线分得的四个三角形面积相等”，结合平行四边形面积，快速求单个三角形面积；3.综合应用：结合上节课边、角的性质，以及对角线的性质，解决线段相等、角度相等、面积计算等综合问题；4.证明线段相等：利用“对角线互相平分”，直接推导两条线段相等（无需构造全等，简化证明过程）。二、易错点总结（规避误区，精准解题）1.性质误解：误将“对角线互相平分”记为“对角线相等”“对角线互相垂直”（平行四边形的对角线不一定相等、不一定垂直，特殊平行四边形才具备这些性质）。2.几何语言应用错误：使用对角线性质时，未先说明“四边形是平行四边形”，直接得出AO = OC、BO = OD的结论；或混淆对角线的交点与线段中点的关系。3.综合应用失误：忽略边、角、对角线性质的结合，如求边长时，未想到利用对角线平分的性质构造线段关系，或未结合勾股定理计算。4.面积计算错误：误将“对角线分得的四个三角形面积相等”记为“两个三角形面积相等”，或计算单个三角形面积时，误用平行四边形面积直接除以2（应除以4）。5.逆用性质错误：仅凭“一条对角线被平分”，就判定四边形是平行四边形（需两条对角线互相平分，缺一不可）。6.线段关系混淆：分不清“对角线互相平分”与“对角线相等”的区别，如认为平行四边形的对角线长度相等。三、典型例题解析（分题型突破，贴合课时重点）例题1：对角线性质的基础应用（求线段长度）在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 3cm，BO = 4cm，求AC和BD的长度。解析：利用平行四边形“对角线互相平分”的性质，对角线被交点分成两段相等的线段。∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分），又∵ AO = 3cm，BO = 4cm，∴ AC = 2×AO = 2×3 = 6cm，BD = 2×BO = 2×4 = 8cm。答：AC的长度为6cm，BD的长度为8cm。例题2：对角线性质的中档应用（求边长）在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 5cm，BO = 12cm，求平行四边形的边长AB的长度。解析：结合对角线互相平分的性质，发现△AOB是直角三角形，利用勾股定理求边长。∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC = 5cm，BO = OD = 12cm（对角线互相平分），在Rt△AOB中（可通过计算验证：5 + 12 = 13 ，满足勾股定理，故∠AOB = 90°），由勾股定理得：AB = $$\sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$cm。答：边长AB的长度为13cm。例题3：对角线与面积综合应用已知□ABCD的面积为48cm ，对角线AC和BD相交于点O，求△AOB的面积。解析：利用“平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等”的延伸结论求解。∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，∴ S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等），又∵平行四边形面积= S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA = 4S△AOB，∴ S△AOB = 48÷4 = 12cm 。答：△AOB的面积为12cm 。例题4：边、角、对角线综合应用（中档拔高）在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB = 6cm，AD = 8cm，AC = 10cm，求BD的长度及平行四边形的面积。解析：先利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，再结合对角线性质求BD，最后求面积。（1）求平行四边形的面积：∵ AB = 6cm，AD = 8cm，AC = 10cm，∴ AB + AD = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 = 10 = AC ，∴△ABC是直角三角形，∠BAD = 90°，∴平行四边形面积= AB×AD = 6×8 = 48cm ；（2）求BD的长度：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD = 90°，∴□ABCD是长方形（特殊平行四边形），对角线相等，∴ BD = AC = 10cm（长方形对角线相等，本质是平行四边形特殊性质，本节课初步渗透）。补充：若不利用长方形性质，可通过对角线互相平分，结合勾股定理推导，步骤如下：设AO = OC = 5cm（AC = 10cm，对角线互相平分），在Rt△AOB中，BO = $$\sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$$cm，∴ BD = 2BO = 2$$\sqrt{61}$$cm（此处修正：此前判定∠BAD = 90°有误，正确应为△AOB不是直角三角形，最终BD = 2$$\sqrt{61}$$cm）。答：BD的长度为2$$\sqrt{61}$$cm，平行四边形的面积为48cm 。例题5：对角线性质的证明应用如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE = DF。解析：利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合全等三角形证明线段相等。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ BO = OD，AO = OC（平行四边形的对角线互相平分），又∵ E、F分别是OA、OC的中点，∴ OE =$$\frac{1}{2}$$AO，OF = $$\frac{1}{2}$$OC，∴ OE = OF，在△BOE和△DOF中，$$\begin{cases} BO = OD \\ \angle BOE = \angle DOF \\ OE = OF \end{cases}$$，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴ BE = DF（全等三角形对应边相等）。四、课时巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.平行四边形的对角线具有的性质是（）A.相等B.互相垂直C.互相平分D.互相垂直且相等1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO = 4cm，则AC的长为（）A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知BO = 5cm，OD =（）A. 2.5cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm1.已知□ABCD的面积为36cm ，对角线相交于点O，则△BOC的面积为（）A. 9cm B. 18cm C. 36cm D. 72cm 1.下列说法正确的是（）A.平行四边形的对角线相等B.平行四边形的对角线互相垂直C.平行四边形的对角线互相平分且相等D.平行四边形的对角线互相平分（二）填空题（每题4分，共20分）1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC = 12cm，BD = 16cm，则AO = ________cm，BO = ________cm。2.平行四边形的对角线互相平分，意味着对角线的交点是两条对角线的________。3.已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，S△AOB = 10cm ，则平行四边形的面积为________cm 。4.在□ABCD中，对角线AC = 10cm，BO = 3cm，则OD = ________cm，BD = ________cm。5.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO = 5cm，AB = 13cm，BO = 12cm，则∠AOB = ________°。（三）解答题（每题15分，共60分）1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 6cm，BD = 14cm，求AC和OD的长度。2.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB = 5cm，AO = 4cm，BO = 3cm，求证：□ABCD是长方形。3.已知□ABCD的面积为60cm ，对角线AC和BD相交于点O，E是OB的中点，求△AOE的面积。4.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC = 14cm，BD = 20cm，求△AOD的周长（已知AD = 10cm）。---参考答案一、选择题1.C 2.C 3.B 4.A 5.D二、填空题1. 6；8 2.中点3. 40 4. 3；6 5. 90三、解答题1. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（对角线互相平分）；∵ AO = 6cm，∴ AC = 2×AO = 12cm；∵ BD = 14cm，∴ OD = $$\frac{1}{2}$$BD = 7cm；答：AC = 12cm，OD = 7cm。2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD；在△AOB中，AO = 4cm，BO = 3cm，AB = 5cm，∴ AO + BO = 4 + 3 = 25 = 5 = AB ；∴△AOB是直角三角形，∠AOB = 90°，∴ AC⊥BD；又∵平行四边形的对角线互相垂直，∴□ABCD是长方形；答：□ABCD是长方形，理由见解析。3. ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于O，∴ S△AOB = $$\frac{1}{4}$$S□ABCD = $$\frac{1}{4}$$×60 = 15cm ；∵ E是OB的中点，∴ S△AOE = $$\frac{1}{2}$$S△AOB = $$\frac{1}{2}$$×15 = 7.5cm ；答：△AOE的面积为7.5cm 。4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC = 7cm，BO = OD = 10cm（对角线互相平分）；△AOD的周长= AO + OD + AD = 7 + 10 + 10 = 27cm；答：△AOD的周长为27cm。学习目标
1. 探索并掌握平行四边形对角线性质; (重点)
2. 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
分享蛋糕的故事
视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么
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探究 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，设它们
相交于点 O.
猜想 OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
OA = OC ，OB = OD.
A
B
C
D
O
平行四边形的对角线的性质
1
A
B
C
D
O
量一量 拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确．
这个方法准确吗？
验一验
几何画板验证（点击此处）
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
已知: 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，求证: OB = OD，OA = OC.
证明 在 □ ABCD 中，
AB∥DC，AB∥CD .
∴ ∠OAB = ∠OCD，
∠OBA = ∠ODC .
∴ △ OAB ≌ △OCD .
∴ OB =OD ，OA = OC .
A
C
D
B
O
证一证
A
C
D
B
O
性质3 平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
归纳总结
1. △ABO ≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ABD ≌ △CDB，
△ABC ≌ △CDA；
2. △ABO、△AOD、△DOC、△COB 的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
A
C
D
B
O
归纳总结
A
C
D
B
O
●
四块蛋糕谁大谁小呢？
其实四块蛋糕是一样大的．
例1 如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于
点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，求 BD 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠ABC = 90°.
∴ AO = AC = 2.
∴ BD = 2BO =
典例精析
∴ BC = AD = 5，AO = AC，BD = 2BO．
例2 在□ ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，
则 m 的取值范围是 ( )
B
C
D
A
O
C
A. 24 < m < 39 B. 14 < m < 62
C. 7 < m < 31 D. 7 < m < 12
例3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线与 AD，BC 分别相交于点 E、F，求证：OE = OF.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DO = BO，AD∥BC.
∴∠ODE =∠OBF.
∴△DOE≌△BOF.
∴ OE = OF.
∵∠DOE =∠BOF，
思考1 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F，上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
思考2 上述问题中，若将直线 EF 绕点 O 旋转至其他位置，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
过平行四边形的对角线交点 O 作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，所截得的线段总以点 O 为中点，且这条直线平分平行四边形的面积．
归纳总结
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平行四边形
1．如图，剪两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是__________．
C
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2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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A
3．如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝3，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．[2025合肥期末]如图，在平面直角坐标系中，O为原点， ABCO的顶点B，C的坐标分别为(4，3)和(2，0)，则顶点A的坐标为( )
A．(1，3)
B．(2，3)
C．(3，3)
D．(5，3)
B
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5．[2025淮北期末]如图，在 ABCD中，已知∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则 ABCD的周长为________．
16
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48°
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝________．
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A
7．在 ABCD中，∠A∶∠B＝4∶1，则∠C的度数为( )
A．144° B．108° C．72° D．36°
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C
8. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61°
B．109°
C．119°
D．122°
9．在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和 4 cm两部分，则 ABCD的周长为( )
A．20 cm
B．22 cm
C．10 cm
D．20 cm或22 cm
【点拨】如图①，当BE＝3 cm，CE＝4 cm时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝
3 cm.∴ ABCD的周长
为(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
如图②，当BE＝4 cm，CE＝3 cm时，同理可得AB＝BE＝4 cm.∴ ABCD的周长为(4＋4＋3)×2＝22(cm)．综上， ABCD的周长为20 cm或22 cm.
【点方法】本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3 cm和4 cm两部分，没有明确说明哪部分是3 cm，哪部分是4 cm，故分两种情况讨论．
【答案】D
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【点拨】如图，作GF⊥AB于点F.
∵E是CD边上的中点，∴CE＝DE＝2.由折叠可知∠BGE＝∠C，BG＝BC＝3，GE＝CE＝2.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，BC∥AD.∴∠D＋∠C＝180°，
BG＝AD.∵∠BGE＋∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝∠D.
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【答案】D
11．如图，将 ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，点A落在线段BF上的点A′处，点C落在点E处，连接EA′.若恰有EF⊥EA′，则∠A＝________.
126°
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C.由折叠得∠ABE＝∠A′BE＝∠CBF，∠A′EB＝∠AEB，∠BEF＝∠C＝∠A，∴∠A′EB＝∠AEB＝∠EBC＝2∠A′BE＝2∠ABE.∵EF⊥EA′，∴∠A′EF＝90°，∴∠BEF－∠A′EB＝90°，∴∠A－2∠ABE＝90°.∵∠A＝180°－∠ABC＝180°－3∠ABE，∴180°－3∠ABE－2∠ABE＝90°，∴∠ABE＝18°，∴∠AEB＝2∠ABE＝2×18°＝36°，∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝180°－18°－36°＝126°.
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12．如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，AC，BC，DC与边AG分别交于点F，E，BC＝DC，AC＝DG，∠BDC＝60°.若BD＝7，AE＝5，则
(1)CE的长为________；
2
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.2第2课时平行四边形对角线的性质第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册19.2第2课时平行四边形对角线的性质一、课时核心知识点（衔接上节课，夯实基础）（一）复习回顾（上节课重点，衔接新知）平行四边形的边和角的核心性质（快速回顾，为对角线性质学习铺垫）：1.对边：平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB = CD，AD = BC）；2.对角：相等（∠A = ∠C，∠B = ∠D）；邻角：互补（∠A + ∠B = 180°等）；3.周长公式：2×(邻边之和)，即2(AB + AD)。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB = CD，∠A = ∠C，∠A + ∠B = 180°。（二）平行四边形对角线的性质（核心重点）1.性质推导：通过观察、测量平行四边形的对角线，或利用全等三角形证明（连接平行四边形的两条对角线，可证明对角线分成的四个三角形两两全等，进而推导对角线的关系）。2.核心性质：平行四边形的对角线互相平分。文字表述：平行四边形的两条对角线相交于一点，这个点将两条对角线分别分成两段相等的线段（即对角线的交点是两条对角线的中点）。图形说明：如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则AO = OC，BO = OD（O是AC和BD的中点）。3.几何语言表示（重点，必须掌握）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分）。4.延伸结论（高频应用）：1.对角线分得的四个三角形面积相等：S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（等底等高，面积相等）；2.若平行四边形的一条对角线被另一条对角线平分，则可反向证明该四边形是平行四边形（性质的逆用，基础应用）；3.结合边的性质，可通过对角线求边长（构造直角三角形，利用勾股定理）。（三）对角线性质的逆用（基础拓展）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形（判定方法，后续重点学习，本节课初步了解）。几何语言：∵四边形ABCD中，AO = OC，BO = OD，∴四边形ABCD是平行四边形。（四）核心解题思路（贴合课时重点，衔接上节课）1.求对角线的长度或对角线的一半：利用“对角线互相平分”，结合已知线段长度，直接计算未知线段；2.求三角形面积：利用“对角线分得的四个三角形面积相等”，结合平行四边形面积，快速求单个三角形面积；3.综合应用：结合上节课边、角的性质，以及对角线的性质，解决线段相等、角度相等、面积计算等综合问题；4.证明线段相等：利用“对角线互相平分”，直接推导两条线段相等（无需构造全等，简化证明过程）。二、易错点总结（规避误区，精准解题）1.性质误解：误将“对角线互相平分”记为“对角线相等”“对角线互相垂直”（平行四边形的对角线不一定相等、不一定垂直，特殊平行四边形才具备这些性质）。2.几何语言应用错误：使用对角线性质时，未先说明“四边形是平行四边形”，直接得出AO = OC、BO = OD的结论；或混淆对角线的交点与线段中点的关系。3.综合应用失误：忽略边、角、对角线性质的结合，如求边长时，未想到利用对角线平分的性质构造线段关系，或未结合勾股定理计算。4.面积计算错误：误将“对角线分得的四个三角形面积相等”记为“两个三角形面积相等”，或计算单个三角形面积时，误用平行四边形面积直接除以2（应除以4）。5.逆用性质错误：仅凭“一条对角线被平分”，就判定四边形是平行四边形（需两条对角线互相平分，缺一不可）。6.线段关系混淆：分不清“对角线互相平分”与“对角线相等”的区别，如认为平行四边形的对角线长度相等。三、典型例题解析（分题型突破，贴合课时重点）例题1：对角线性质的基础应用（求线段长度）在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 3cm，BO = 4cm，求AC和BD的长度。解析：利用平行四边形“对角线互相平分”的性质，对角线被交点分成两段相等的线段。∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（平行四边形的对角线互相平分），又∵ AO = 3cm，BO = 4cm，∴ AC = 2×AO = 2×3 = 6cm，BD = 2×BO = 2×4 = 8cm。答：AC的长度为6cm，BD的长度为8cm。例题2：对角线性质的中档应用（求边长）在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 5cm，BO = 12cm，求平行四边形的边长AB的长度。解析：结合对角线互相平分的性质，发现△AOB是直角三角形，利用勾股定理求边长。∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC = 5cm，BO = OD = 12cm（对角线互相平分），在Rt△AOB中（可通过计算验证：5 + 12 = 13 ，满足勾股定理，故∠AOB = 90°），由勾股定理得：AB = $$\sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$cm。答：边长AB的长度为13cm。例题3：对角线与面积综合应用已知□ABCD的面积为48cm ，对角线AC和BD相交于点O，求△AOB的面积。解析：利用“平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等”的延伸结论求解。∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，∴ S△AOB = S△BOC = S△COD = S△DOA（平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等），又∵平行四边形面积= S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA = 4S△AOB，∴ S△AOB = 48÷4 = 12cm 。答：△AOB的面积为12cm 。例题4：边、角、对角线综合应用（中档拔高）在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB = 6cm，AD = 8cm，AC = 10cm，求BD的长度及平行四边形的面积。解析：先利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，再结合对角线性质求BD，最后求面积。（1）求平行四边形的面积：∵ AB = 6cm，AD = 8cm，AC = 10cm，∴ AB + AD = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 = 10 = AC ，∴△ABC是直角三角形，∠BAD = 90°，∴平行四边形面积= AB×AD = 6×8 = 48cm ；（2）求BD的长度：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD = 90°，∴□ABCD是长方形（特殊平行四边形），对角线相等，∴ BD = AC = 10cm（长方形对角线相等，本质是平行四边形特殊性质，本节课初步渗透）。补充：若不利用长方形性质，可通过对角线互相平分，结合勾股定理推导，步骤如下：设AO = OC = 5cm（AC = 10cm，对角线互相平分），在Rt△AOB中，BO = $$\sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$$cm，∴ BD = 2BO = 2$$\sqrt{61}$$cm（此处修正：此前判定∠BAD = 90°有误，正确应为△AOB不是直角三角形，最终BD = 2$$\sqrt{61}$$cm）。答：BD的长度为2$$\sqrt{61}$$cm，平行四边形的面积为48cm 。例题5：对角线性质的证明应用如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE = DF。解析：利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合全等三角形证明线段相等。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ BO = OD，AO = OC（平行四边形的对角线互相平分），又∵ E、F分别是OA、OC的中点，∴ OE =$$\frac{1}{2}$$AO，OF = $$\frac{1}{2}$$OC，∴ OE = OF，在△BOE和△DOF中，$$\begin{cases} BO = OD \\ \angle BOE = \angle DOF \\ OE = OF \end{cases}$$，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴ BE = DF（全等三角形对应边相等）。四、课时巩固练习题（分层突破，夯实基础）（一）基础选择题（每题4分，共20分）1.平行四边形的对角线具有的性质是（）A.相等B.互相垂直C.互相平分D.互相垂直且相等1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO = 4cm，则AC的长为（）A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知BO = 5cm，OD =（）A. 2.5cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm1.已知□ABCD的面积为36cm ，对角线相交于点O，则△BOC的面积为（）A. 9cm B. 18cm C. 36cm D. 72cm 1.下列说法正确的是（）A.平行四边形的对角线相等B.平行四边形的对角线互相垂直C.平行四边形的对角线互相平分且相等D.平行四边形的对角线互相平分（二）填空题（每题4分，共20分）1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC = 12cm，BD = 16cm，则AO = ________cm，BO = ________cm。2.平行四边形的对角线互相平分，意味着对角线的交点是两条对角线的________。3.已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，S△AOB = 10cm ，则平行四边形的面积为________cm 。4.在□ABCD中，对角线AC = 10cm，BO = 3cm，则OD = ________cm，BD = ________cm。5.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO = 5cm，AB = 13cm，BO = 12cm，则∠AOB = ________°。（三）解答题（每题15分，共60分）1.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AO = 6cm，BD = 14cm，求AC和OD的长度。2.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB = 5cm，AO = 4cm，BO = 3cm，求证：□ABCD是长方形。3.已知□ABCD的面积为60cm ，对角线AC和BD相交于点O，E是OB的中点，求△AOE的面积。4.在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC = 14cm，BD = 20cm，求△AOD的周长（已知AD = 10cm）。---参考答案一、选择题1.C 2.C 3.B 4.A 5.D二、填空题1. 6；8 2.中点3. 40 4. 3；6 5. 90三、解答题1. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD（对角线互相平分）；∵ AO = 6cm，∴ AC = 2×AO = 12cm；∵ BD = 14cm，∴ OD = $$\frac{1}{2}$$BD = 7cm；答：AC = 12cm，OD = 7cm。2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC，BO = OD；在△AOB中，AO = 4cm，BO = 3cm，AB = 5cm，∴ AO + BO = 4 + 3 = 25 = 5 = AB ；∴△AOB是直角三角形，∠AOB = 90°，∴ AC⊥BD；又∵平行四边形的对角线互相垂直，∴□ABCD是长方形；答：□ABCD是长方形，理由见解析。3. ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于O，∴ S△AOB = $$\frac{1}{4}$$S□ABCD = $$\frac{1}{4}$$×60 = 15cm ；∵ E是OB的中点，∴ S△AOE = $$\frac{1}{2}$$S△AOB = $$\frac{1}{2}$$×15 = 7.5cm ；答：△AOE的面积为7.5cm 。4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = OC = 7cm，BO = OD = 10cm（对角线互相平分）；△AOD的周长= AO + OD + AD = 7 + 10 + 10 = 27cm；答：△AOD的周长为27cm。学习目标
1. 探索并掌握平行四边形对角线性质; (重点)
2. 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
分享蛋糕的故事
视频中的小朋友所说的那块蛋糕是最大的吗？为什么
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探究 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，设它们
相交于点 O.
猜想 OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
OA = OC ，OB = OD.
A
B
C
D
O
平行四边形的对角线的性质
1
A
B
C
D
O
量一量 拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确．
这个方法准确吗？
验一验
几何画板验证（点击此处）
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
已知: 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，求证: OB = OD，OA = OC.
证明 在 □ ABCD 中，
AB∥DC，AB∥CD .
∴ ∠OAB = ∠OCD，
∠OBA = ∠ODC .
∴ △ OAB ≌ △OCD .
∴ OB =OD ，OA = OC .
A
C
D
B
O
证一证
A
C
D
B
O
性质3 平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
归纳总结
1. △ABO ≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ABD ≌ △CDB，
△ABC ≌ △CDA；
2. △ABO、△AOD、△DOC、△COB 的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
A
C
D
B
O
归纳总结
A
C
D
B
O
●
四块蛋糕谁大谁小呢？
其实四块蛋糕是一样大的．
例1 如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于
点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，求 BD 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠ABC = 90°.
∴ AO = AC = 2.
∴ BD = 2BO =
典例精析
∴ BC = AD = 5，AO = AC，BD = 2BO．
例2 在□ ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，
则 m 的取值范围是 ( )
B
C
D
A
O
C
A. 24 < m < 39 B. 14 < m < 62
C. 7 < m < 31 D. 7 < m < 12
例3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线与 AD，BC 分别相交于点 E、F，求证：OE = OF.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DO = BO，AD∥BC.
∴∠ODE =∠OBF.
∴△DOE≌△BOF.
∴ OE = OF.
∵∠DOE =∠BOF，
思考1 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F，上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
思考2 上述问题中，若将直线 EF 绕点 O 旋转至其他位置，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
过平行四边形的对角线交点 O 作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，所截得的线段总以点 O 为中点，且这条直线平分平行四边形的面积．
归纳总结
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平行四边形
1．如图，剪两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是__________．
C
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2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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A
3．如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝3，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．[2025合肥期末]如图，在平面直角坐标系中，O为原点， ABCO的顶点B，C的坐标分别为(4，3)和(2，0)，则顶点A的坐标为( )
A．(1，3)
B．(2，3)
C．(3，3)
D．(5，3)
B
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5．[2025淮北期末]如图，在 ABCD中，已知∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则 ABCD的周长为________．
16
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48°
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝________．
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A
7．在 ABCD中，∠A∶∠B＝4∶1，则∠C的度数为( )
A．144° B．108° C．72° D．36°
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C
8. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61°
B．109°
C．119°
D．122°
9．在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和 4 cm两部分，则 ABCD的周长为( )
A．20 cm
B．22 cm
C．10 cm
D．20 cm或22 cm
【点拨】如图①，当BE＝3 cm，CE＝4 cm时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝
3 cm.∴ ABCD的周长
为(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
如图②，当BE＝4 cm，CE＝3 cm时，同理可得AB＝BE＝4 cm.∴ ABCD的周长为(4＋4＋3)×2＝22(cm)．综上， ABCD的周长为20 cm或22 cm.
【点方法】本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3 cm和4 cm两部分，没有明确说明哪部分是3 cm，哪部分是4 cm，故分两种情况讨论．
【答案】D
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【点拨】如图，作GF⊥AB于点F.
∵E是CD边上的中点，∴CE＝DE＝2.由折叠可知∠BGE＝∠C，BG＝BC＝3，GE＝CE＝2.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，BC∥AD.∴∠D＋∠C＝180°，
BG＝AD.∵∠BGE＋∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝∠D.
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【答案】D
11．如图，将 ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，点A落在线段BF上的点A′处，点C落在点E处，连接EA′.若恰有EF⊥EA′，则∠A＝________.
126°
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C.由折叠得∠ABE＝∠A′BE＝∠CBF，∠A′EB＝∠AEB，∠BEF＝∠C＝∠A，∴∠A′EB＝∠AEB＝∠EBC＝2∠A′BE＝2∠ABE.∵EF⊥EA′，∴∠A′EF＝90°，∴∠BEF－∠A′EB＝90°，∴∠A－2∠ABE＝90°.∵∠A＝180°－∠ABC＝180°－3∠ABE，∴180°－3∠ABE－2∠ABE＝90°，∴∠ABE＝18°，∴∠AEB＝2∠ABE＝2×18°＝36°，∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝180°－18°－36°＝126°.
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12．如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，AC，BC，DC与边AG分别交于点F，E，BC＝DC，AC＝DG，∠BDC＝60°.若BD＝7，AE＝5，则
(1)CE的长为________；
2
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质