19.3.1 第2课时 矩形的判定 课件(共33张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册

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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.3.1第2课时矩形的判定第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版数学八年级下册19.3.1第2课时矩形的判定练习题班级：________姓名：________得分：________一、选择题（每题10分，共30分）1.下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A.四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角B.四边形ABCD的四个角都是直角C.四边形ABCD是平行四边形，且对角线相等D.四边形ABCD的对角线互相垂直且相等2.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=OB，则平行四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定3.下列说法正确的是（）A.有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是矩形二、填空题（每题10分，共30分）1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是________。2.平行四边形ABCD中，若对角线AC=BD=12cm，则平行四边形ABCD是________，其对角线的交点O到各顶点的距离为________cm。3.要判定一个平行四边形是矩形，可添加的条件是________（写出一个即可）。三、解答题（40分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB=90°，OA=3，OB=4。求证：平行四边形ABCD是矩形，并求其周长。（要求：利用矩形的判定定理进行证明，步骤完整，逻辑清晰）参考答案：一、选择题：1.D 2.A 3.C二、填空题：1.矩形2.矩形，6 3.有一个角是直角（或对角线相等，答案不唯一）三、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=√(OA +OB )=√(3 +4 )=5。又∵OA=3，OB=4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8。∵平行四边形ABCD的对角线AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。矩形ABCD中，AB=5，AD=√(BD -AB )=√(8 -5 )=√39（或用AC计算），周长=2(AB+AD)=2(5+√39)。学习目标
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. (重点)
2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. (难点)
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这堂课我们一起探讨矩形的判定吧.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形
1
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
已知：如图，在□ ABCD中， AC = DB.
求证：□ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC，
∴△ADC≌△BCD.∴∠ADC = ∠BCD.
又∵∠ADC +∠BCD = 180°，
∴∠ADC = ∠BCD = 90°. ∴ □ ABCD是矩形.
在△ADC 和△BCD 中，
∵ AD = BC，DC = CD，AC = BD，
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
A
D
C
B
归纳总结
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你
现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
典例精析
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点 D 是 AC 的中点，直线 AE∥BC，过点 D 作直线 EF∥AB，分别交 AE ，BC 于点 E ，F.
求证：四边形 AECF 是矩形.
证明 ∵ AE // BC，
∴ ∠1 =∠2.
在 △ADE 和△CDF，
∵ ∠1 =∠2，AD = CD， ∠ADE = ∠CDF，
∴ △ADE≌△CDF.
∴ AE = CF.
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ AE // BC，EF // AB，
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形.
∴ EF = AB.
∵ AC = AB，
∴ EF = AC.
∴ 四边形 AECF 是矩形 .
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
2
例3 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵∠A = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理 2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例4 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□ ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、
∠ABC 的平分线，
A
B
D
C
H
E
F
G
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
例5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形．
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴ 四边形 ADCE 为矩形．
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∠A＝90°(答案不唯一)
1．如图，D，E，F是△ABC各边的中点，请添加一个条件：____________________，使四边形AEDF是矩形．
C
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2．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是(　　)
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝90°
C．AD∥BC，∠ABC＋∠BCD＝180°
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.
求证：四边形ABCD是矩形．
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4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C
C．AC＝BD D．AC⊥BD
D
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5. 蓉蓉和德德参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的四边形窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是(　　)
A．度量窗户的两个角是否是90°
B．测量窗户两组对边是否分别相等
C．测量窗户两条对角线是否相等
D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D
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∠B＝90°(答案不唯一)
6. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD为矩形，只需要添加一个条件是
___________________．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
7．[2025合肥月考]如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
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(2)求证：四边形AECF是矩形．
【证明】∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
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C
8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(　　)
A．AB∥CD B．AD＝BC
C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
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【答案】C
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为________．
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理