19.3.2 第2课时 菱形的判定 课件(共44张PPT)--沪科版（新教材）八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）
19.3.2 第2课时 菱形的判定
第19章 四边形
授课教师： Home .
班 级： 八年级（*）班 .
时 间： .
沪科版数学八年级下册19.3.2第2课时 菱形的判定 练习题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题（每题10分，共30分）
1. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A. 四边形ABCD是平行四边形，且四条边都相等
B. 四边形ABCD的四条边都相等
C. 四边形ABCD是平行四边形，且对角线互相垂直
D. 四边形ABCD的对角线互相垂直且相等
2. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相平分的四边形是菱形
二、填空题（每题10分，共30分）
1. 已知四边形ABCD的四条边都相等，则四边形ABCD是________。
2. 平行四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，则平行四边形ABCD是________，其边长为________cm。
3. 要判定一个平行四边形是菱形，可添加的条件是________（写出一个即可）。
三、解答题（40分）
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，且CE⊥AB，CF⊥AD。求证：平行四边形ABCD是菱形。
（要求：利用菱形的判定定理进行证明，步骤完整，逻辑清晰）
参考答案：
一、选择题：1.D 2.A 3.C
二、填空题：1. 菱形 2. 菱形，5 3. 一组邻边相等（或对角线互相垂直，答案不唯一）
三、证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴AE=?AB，AF=?AD。
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEA=∠CFA=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BCE=∠CEA=90°，∠DCF=∠CFA=90°。
连接AC，在Rt△ACE和Rt△ACF中，AC=AC（公共边），CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等，AC平分∠DAB）。
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE=AF。
∵AE=?AB，AF=?AD，∴AB=AD。
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
学习目标
1.通过菱形的判定过程，掌握菱形的判定定理. (重点)
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. (难点)
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
且 AB = AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
1
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
验证猜想
四条边都相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理：
四边形 ABCD
A
B
C
D
知识要点
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，
AD = AD，
∴△ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.∴ CD = ED，CF = EF.
又 ∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，
BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴ AC＝DF＝AD＝CF.
∴ 四边形 ACFD 是菱形．
归纳 ：四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = EH，
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
例3 如图，依次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
思考 我们知道，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分四边形 ABCD 的形状吗？
A
C
D
B
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等即可进一步判断.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等（AE = AF），
通过证△ABE≌△ADF（AAS），即得 AB = AD.
请补充完整的证明过程
E
F
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2
已知：如图，在□ABCD 中，AC⊥BD 于点 O.
求证：□ ABCD 为菱形.
证明 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AO = CO.
∵ DO ⊥ AC，
∴ DA = DC .
∴ □ ABCD 为菱形.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
例4 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 8，BD = 6，AB = 5，求 AD 的长，
解 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = AC = 4，OB = BD = 3.
又∵ AB = 5，
∴ AB2 = OA2 + OB2，
∴ △AOB 为直角三角形，即 OA⊥OB.
∴ □ABCD 是菱形.
∴ AD = AB = 5.
例5 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
证明：
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
例6 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分
线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，
求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，
∴ AO = OC.
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
例7 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且 BC＝2DE.
又∵ BE＝2DE，EF＝BE，
∴ EF＝BC，EF∥BC.
∴ 四边形 BCFE 是平行四边形.
又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形.
菱形的性质与判定的综合运用
3
解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°.
∴△EBC 是等边三角形.
∴ 菱形的边长为 4，高为 .
∴ 菱形的面积为 .
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积.
归纳 ：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形．
返回
D
1．[2025内江]按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)
A．64° B．66°
C．68° D．70°
2．如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm.
【点拨】如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
由题意易知四边形ABCD为平行四边形，且AE＝
AF＝3 cm，∴∠ADF＝∠ABE.
∴△ADF≌△ABE(AAS)．∴AD＝AB.
∴四边形ABCD为菱形．
返回
3．[2025遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
【证明】∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.
∴△ABF≌△CDE(AAS)．
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【解】四边形AECF是菱形．理由如下：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形．
返回
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件____________________，使平行四边形ABCD为菱形．
AC⊥BD(答案不唯一)
返回
返回
5．下列命题中，真命题是(　　)
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D
6．[2025长春]如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：?ABCD是菱形．
返回
【证明】∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴OB2＋OA2＝32＋42＝25，AB2＝52＝25.
∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°.∴AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是菱形．
7．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明?ABCD是菱形的是(　　)?
A．∠BAC＝∠BCA
B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OD2＝AD2
D．AD2＋OA2＝OD2
【点拨】A.∵∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC.∴?ABCD是菱形，故本选项不符合题意．B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∴?ABCD是菱形，故本选项不符合题意．C.∵OA2＋OD2＝AD2，∴∠AOD＝90°，即AC⊥BD.∴?ABCD是菱形，故本选项不符合题意．
D.∵AD2＋OA2＝OD2，∴∠OAD＝90°，无法得到?ABCD是菱形，故本选项符合题意．故选D.
【答案】D
返回
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．∴OD＝OC. ∵DF∥AC，CF∥BD，∴四边形OCFD是菱形．∵G是CD的中点，P是菱形OCFD边上的动点，∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过点D作DM⊥AC于点M，过点G作GP⊥AC于点P，则GP∥DM.
返回
【答案】A
9．[2025六安月考]将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图①；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连
接DE，DF，如图②.解决
下列问题：
(1)四边形AEDF的形状是________；
菱形
返回
10．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
【证明】如图，连接BD，AC，交点为O.
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中点，∴FG∥BD，HG∥AC.
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG⊥FG.∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形．
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
返回
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理