19.3.3 正方形 课件(共49张PPT)--沪科版（新教材）八年级数学下册

(共49张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）19.3.3正方形第19章四边形授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版数学八年级下册19.3.3正方形练习题班级：________姓名：________得分：________一、选择题（每题10分，共30分）1.下列关于正方形的性质，说法错误的是（）A.正方形的四条边都相等B.正方形的四个角都是直角C.正方形的对角线互相垂直且相等D.正方形的对角线平分一组对角但不相等2.下列条件中，不能判定四边形ABCD是正方形的是（）A.四边形ABCD是菱形，且有一个角是直角B.四边形ABCD是矩形，且一组邻边相等C.四边形ABCD的对角线互相垂直、平分且相等D.四边形ABCD是平行四边形，且对角线互相垂直3.正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则正方形的边长为（）A. 2 B. 2√2 C. 4 D. √2二、填空题（每题10分，共30分）1.正方形既是特殊的________，又是特殊的________，它具有两者的所有性质。2.已知正方形的边长为6cm，则它的对角线长为________cm，面积为________cm 。3.正方形ABCD中，∠ABD的度数为________°。三、解答题（40分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD。求证：矩形ABCD是正方形，并求其面积（已知OA=√2）。（要求：利用正方形的判定定理进行证明，步骤完整，逻辑清晰）参考答案：一、选择题：1.D 2.D 3.B二、填空题：1.矩形，菱形（顺序可互换）2. 6√2，36 3. 45三、证明：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC=BD（矩形对角线相等），且OA= AC，OB= BD（矩形对角线互相平分）。∴OA=OB。又∵AC⊥BD，∴△AOB是等腰直角三角形。∵OA=√2，∴AB=√(OA +OB )=√( (√2) +(√2) )=√(2+2)=2。∵矩形ABCD的对角线互相垂直，∴矩形ABCD是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）。正方形ABCD的面积=AB =2 =4（或面积= ×AC×BD，AC=2OA=2√2，BD=AC=2√2，面积= ×2√2×2√2=4）。学习目标
1. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形，矩形、菱形之间的联系和区别； 探索并证明正方形的判定. (重、难点)
2. 矩形、菱形之间的联系和区别；会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算. (难点)
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
正方形的性质
1
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么
发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形的定义：
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴ ∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又 ∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形既是矩形又是菱形 .
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ；
对称轴： .
轴对称图形
4 条
A
B
C
D
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 .
知识要点
A
D
C
B
O
例1 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
典例精析
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵△BEC 是等边三角形，
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°.
例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.
A
B
C
D
P
E
F
解：
连接 PC，AC.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四边形 PECF 是矩形.
∴ PC = EF.
∴ AP = PC.
∴ AP = EF.
在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分线模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
归纳
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形的判定
2
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条
对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
证一证
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
证一证
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
归纳总结
D
C
A
B
B1
D1
A1
C1
1
2
3
例4 已知：如图，点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA' = BB' = CC' = DD'.
求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形
证明 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA ，
∠A = ∠B =∠C =∠D = 90°.
又 ∵ AA' = BB' = CC' = DD'，
∴ D'A = A'B = B'C = C'D.
∴ Rt△AA'D' ≌Rt△BB'A' .
∴ D'A' = A'B'，∠1 = ∠3.
同理：A'B' = B'C'，B'C' = C'D'，C'D' = D'A'.
∴ A'B' = B'C' = C'D' = D'A'，
∴ 四边形 A'B'C'D' 是菱形.
∴ ∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D'A'B' = 90°.
∴ 四边形 A'B'C'D' 是正方形.
D
C
A
B
B1
D1
A1
C1
1
2
3
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B
的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
返回
D
1．矩形、菱形、正方形不同时具有的性质是(　　)
A．对边平行且相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．每条对角线平分一组对角
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【答案】D
3．[2025威海]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm.
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4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________．
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【点易错】本题容易错在不会利用正方形的轴对称性，将两条线段的和转化为一条线段．由于E，F是固定的点，因此可以作点E或点F关于AC所在直线的对称点，利用勾股定理求解即可．
2
返回
返回
D
6．下列说法中，正确的是(　　)
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
7．如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等　
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是(　　)
A．①　　B．③　　C．①②　　D．②③
【点拨】①由a得到四边形是平行四边形，添加c得到四边形是菱形，再添加d得到四边形是正方形，故①正确；②由b得到四边形是平行四边形，添加d得到四边形是矩形，再添加c得到四边形是正方形，故②正确；③由a，b都能得到四边形是平行四边形，再添加c得到四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确．
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【点易错】由矩形和菱形判定正方形，容易混淆二者需要添加的条件．由矩形得到正方形只需一组邻边相等，由菱形得到正方形只需一个角是直角．
【答案】C
8．[2025六安月考]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.
求证：四边形AECF是正方形．
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【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形．
∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.
∴菱形AECF是正方形．
9．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，顺次连接E，F，G，H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是(　　)
A．四边形EFGH一定是平行四边形
B．当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形
C．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形
D．四边形EFGH可能是正方形
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当AC⊥BD时，EH与EF不一定垂直，∴四边形EFGH不一定是矩形，C选项错误，符合题意．当AB＝CD，AB⊥CD时，EH＝EF，EH⊥EF，∴四边形EFGH是正方形，D选项正确，不符合题意．故选C.
【答案】C
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)．点E在边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标为________．
【点拨】如图，设CD与y轴交于点G，AB＝x，易知∠AOG＝90°，∴四边形OADG是矩形．∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x.∵点B的坐标
为(1，0)，∴OA＝x－1.∵点F的
坐标为(0，3)，
∴OF＝3.由折叠的性质可得AF＝AD＝x，DE＝EF.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＝OA2＋OF2，∴x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴DG＝OA＝x－1＝4.
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11．[2025长沙]如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB＝CD.
又∵BE＝DF，∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.
又∵AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．
(2)连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
【解】如图，过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，
∴CD＝BC＝12，∠B＝∠BCD＝90°.
又∵∠EHC＝90°，
∴四边形EBCH是矩形．
∴EB＝HC＝5，EH＝BC＝12.
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1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形