第16章 二次根式 小结与复习 课件(共26张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第16章 二次根式 小结与复习 课件(共26张PPT) --沪科版（新教材）八年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）第16章小结与复习第16章二次根式授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册第16章二次根式小结与复习一、知识梳理（一）二次根式的定义一般地，形如$$\sqrt{a}$$（$$a\ge0$$）的式子叫做二次根式。关键要点：①根指数是2（通常省略不写）；②被开方数$$a$$必须是非负数（$$a\ge0$$），否则二次根式无意义；③二次根式的结果一定是非负数（$$\sqrt{a}\ge0$$）。（二）二次根式的性质1. $$(\sqrt{a})^2 = a$$（$$a\ge0$$）：二次根式的平方等于被开方数。2. $$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a\ge0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$：一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。3.积的算术平方根：$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$（$$a\ge0$$，$$b\ge0$$），可用于二次根式的化简和乘法运算。4.商的算术平方根：$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$（$$a\ge0$$，$$b>0$$），可用于二次根式的化简和除法运算。（三）二次根式的运算1.乘法运算法则：$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$（$$a\ge0$$，$$b\ge0$$），先计算根号内的乘积，再化简二次根式；也可先化简再相乘，简化计算。2.除法运算法则：$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$（$$a\ge0$$，$$b>0$$），核心是分母有理化（将分母中的根号去掉），常见方法是分子分母同乘分母的有理化因式。3.加减运算前提：只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并；步骤：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只合并系数，被开方数不变）。4.混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的；技巧：灵活运用运算律（乘法分配律、平方差公式、完全平方公式）简化计算，注意运算过程中二次根式的化简。（四）最简二次根式的判定满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母。二、典型例题解析例题1：二次根式有意义的条件求使式子$$\sqrt{x-3} + \frac{1}{\sqrt{5-x}}$$有意义的$$x$$的取值范围。解析：由二次根式有意义的条件及分母不为0，得$$\begin{cases} x-3\ge0 \\ 5-x>0 \end{cases}$$，解得$$3\le x<5$$。例题2：二次根式的性质应用化简：$$\sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(3-a)^2}$$（$$2<a<3$$）。解析：由$$2<a<3$$，得$$a-2>0$$，$$3-a>0$$，原式$$=(a-2)+(3-a)=1$$。例题3：二次根式的混合运算计算：$$(\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) \times \sqrt{3} + (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)$$。解析：原式$$=\sqrt{6}\times\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\times\sqrt{3} + [(\sqrt{2})^2 - 1^2]$$$$=\sqrt{18} - 2\times3 + (2 - 1)$$$$=3\sqrt{2} - 6 + 1 = 3\sqrt{2} - 5$$。例题4：分母有理化化简：$$\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$$。解析：分子分母同乘$$\sqrt{3} + 1$$（分母的有理化因式），原式$$=\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$$。三、综合练习题（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列式子中，属于二次根式的是（）A. $$\sqrt{-4}$$ B. $$\sqrt[3]{8}$$ C. $$\sqrt{x^2 + 1}$$ D. $$\sqrt{x}$$（$$x<0$$）1.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$$ C. $$(\sqrt{3})^2 = 6$$ D. $$\sqrt{(-5)^2} = -5$$1.若$$\sqrt{(m-4)^2} = 4 - m$$，则$$m$$的取值范围是（）A. $$m\ge4$$ B. $$m\le4$$ C. $$m>4$$ D. $$m<4$$1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. $$\sqrt{12}$$ B. $$\sqrt{0.5}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. $$\sqrt{\frac{1}{3}}$$1.计算$$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$$的结果是（）A. $$4\sqrt{15}$$ B. $$2\sqrt{15}$$ C. $$8\sqrt{15}$$ D. $$\sqrt{15}$$（二）填空题（每题4分，共20分）1.当$$x$$________时，$$\sqrt{2x + 4}$$有意义。2.计算：$$\sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} =$$________；$$\sqrt{27} \div \sqrt{3} =$$________。3.化简：$$\sqrt{48} - \sqrt{3} =$$________。4.若$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} = y + 3$$，则$$x^y =$$________。5.分母有理化：$$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$$________。（三）计算题（每题8分，共32分）1. $$\sqrt{12} \times \sqrt{6} - \sqrt{8} \div \sqrt{2}$$2. $$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) + \sqrt{45} - \sqrt{10} \div \sqrt{2}$$3. $$2\sqrt{12} - 3\sqrt{48} + \sqrt{27}$$4. $$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} + (\sqrt{2} + 1)^2$$（四）解答题（每题14分，共28分）1.已知实数$$a$$、$$b$$满足$$\sqrt{a - 1} + |b - \sqrt{2}| = 0$$，求$$a^2 + b^2 + 2ab$$的值。2.已知长方形的长为$$\sqrt{12} + \sqrt{3}$$，宽为$$\sqrt{12} - \sqrt{3}$$，求这个长方形的面积和周长。四、参考答案（一）选择题1.C 2.B 3.B 4.C 5.A（二）填空题1.$$\ge -2$$ 2.3；3 3.$$3\sqrt{3}$$ 4.$$\frac{1}{8}$$ 5.$$\sqrt{2} - 1$$（三）计算题1.$$6\sqrt{2} - 2$$ 2.$$-1 + 2\sqrt{5}$$ 3.$$-5\sqrt{3}$$ 4.$$\sqrt{2} + 4$$（四）解答题1.由题意得$$a=1$$，$$b=\sqrt{2}$$，原式$$(a+b)^2=(1+\sqrt{2})^2=3 + 2\sqrt{2}$$；2.面积$$=(\sqrt{12}+\sqrt{3})(\sqrt{12}-\sqrt{3})=12 - 3=9$$，周长$$=2[(\sqrt{12}+\sqrt{3})+(\sqrt{12}-\sqrt{3})]=8\sqrt{3}$$。1. 二次根式的概念
一般地，形如____(a≥0) 的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方式是非负式，即 a≥0.
【易错点】 二次根式中，被开方式一定是非负式，否则就没有意义.
2. 二次根式的性质：
3. 最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数的因数是_______，因式是_______；
(2) 被开方式中不含能__________的因数或因式．
开得尽方
整数
整式
4. 二次根式的乘除法则：
乘法： ＝______(a≥0，b≥0)；
除法： ＝____(a≥0，b＞0)．
可以先将二次根式化成_____________，再将
______________进行合并．
同类二次根式
最简二次根式
5. 二次根式的加减：
类似合并同类项
逆用也适用.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
6. 二次根式的混合运算
与有理数的混合运算类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
例1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围:
解：(1) 由题意得
(3) ∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数.
(4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1.
考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
① 被开方数大于或等于零；
② 分母中有字母时，要保证分母不为零.
方法归纳
1. 下列各式： 中，一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
针对训练
2. 求下列二次根式中字母的取值范围：
解得 -5≤x＜3.
解：(1) 由题意得
∴ x = 4.
(2) 由题意得
返回
x＞1
4
返回
返回
B
2
返回
C
返回
返回
④
返回
a≤3
返回
2
返回
返回
返回
返回
9
返回
返回
D
返回
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沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）第16章小结与复习第16章二次根式授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.沪科版八年级下册第16章二次根式小结与复习一、知识梳理（一）二次根式的定义一般地，形如$$\sqrt{a}$$（$$a\ge0$$）的式子叫做二次根式。关键要点：①根指数是2（通常省略不写）；②被开方数$$a$$必须是非负数（$$a\ge0$$），否则二次根式无意义；③二次根式的结果一定是非负数（$$\sqrt{a}\ge0$$）。（二）二次根式的性质1. $$(\sqrt{a})^2 = a$$（$$a\ge0$$）：二次根式的平方等于被开方数。2. $$\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a\ge0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$：一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。3.积的算术平方根：$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$（$$a\ge0$$，$$b\ge0$$），可用于二次根式的化简和乘法运算。4.商的算术平方根：$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$（$$a\ge0$$，$$b>0$$），可用于二次根式的化简和除法运算。（三）二次根式的运算1.乘法运算法则：$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$（$$a\ge0$$，$$b\ge0$$），先计算根号内的乘积，再化简二次根式；也可先化简再相乘，简化计算。2.除法运算法则：$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$（$$a\ge0$$，$$b>0$$），核心是分母有理化（将分母中的根号去掉），常见方法是分子分母同乘分母的有理化因式。3.加减运算前提：只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并；步骤：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只合并系数，被开方数不变）。4.混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的；技巧：灵活运用运算律（乘法分配律、平方差公式、完全平方公式）简化计算，注意运算过程中二次根式的化简。（四）最简二次根式的判定满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母。二、典型例题解析例题1：二次根式有意义的条件求使式子$$\sqrt{x-3} + \frac{1}{\sqrt{5-x}}$$有意义的$$x$$的取值范围。解析：由二次根式有意义的条件及分母不为0，得$$\begin{cases} x-3\ge0 \\ 5-x>0 \end{cases}$$，解得$$3\le x<5$$。例题2：二次根式的性质应用化简：$$\sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(3-a)^2}$$（$$2<a<3$$）。解析：由$$2<a<3$$，得$$a-2>0$$，$$3-a>0$$，原式$$=(a-2)+(3-a)=1$$。例题3：二次根式的混合运算计算：$$(\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) \times \sqrt{3} + (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)$$。解析：原式$$=\sqrt{6}\times\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\times\sqrt{3} + [(\sqrt{2})^2 - 1^2]$$$$=\sqrt{18} - 2\times3 + (2 - 1)$$$$=3\sqrt{2} - 6 + 1 = 3\sqrt{2} - 5$$。例题4：分母有理化化简：$$\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$$。解析：分子分母同乘$$\sqrt{3} + 1$$（分母的有理化因式），原式$$=\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$$。三、综合练习题（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列式子中，属于二次根式的是（）A. $$\sqrt{-4}$$ B. $$\sqrt[3]{8}$$ C. $$\sqrt{x^2 + 1}$$ D. $$\sqrt{x}$$（$$x<0$$）1.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$$ C. $$(\sqrt{3})^2 = 6$$ D. $$\sqrt{(-5)^2} = -5$$1.若$$\sqrt{(m-4)^2} = 4 - m$$，则$$m$$的取值范围是（）A. $$m\ge4$$ B. $$m\le4$$ C. $$m>4$$ D. $$m<4$$1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. $$\sqrt{12}$$ B. $$\sqrt{0.5}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. $$\sqrt{\frac{1}{3}}$$1.计算$$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$$的结果是（）A. $$4\sqrt{15}$$ B. $$2\sqrt{15}$$ C. $$8\sqrt{15}$$ D. $$\sqrt{15}$$（二）填空题（每题4分，共20分）1.当$$x$$________时，$$\sqrt{2x + 4}$$有意义。2.计算：$$\sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} =$$________；$$\sqrt{27} \div \sqrt{3} =$$________。3.化简：$$\sqrt{48} - \sqrt{3} =$$________。4.若$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} = y + 3$$，则$$x^y =$$________。5.分母有理化：$$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$$________。（三）计算题（每题8分，共32分）1. $$\sqrt{12} \times \sqrt{6} - \sqrt{8} \div \sqrt{2}$$2. $$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) + \sqrt{45} - \sqrt{10} \div \sqrt{2}$$3. $$2\sqrt{12} - 3\sqrt{48} + \sqrt{27}$$4. $$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} + (\sqrt{2} + 1)^2$$（四）解答题（每题14分，共28分）1.已知实数$$a$$、$$b$$满足$$\sqrt{a - 1} + |b - \sqrt{2}| = 0$$，求$$a^2 + b^2 + 2ab$$的值。2.已知长方形的长为$$\sqrt{12} + \sqrt{3}$$，宽为$$\sqrt{12} - \sqrt{3}$$，求这个长方形的面积和周长。四、参考答案（一）选择题1.C 2.B 3.B 4.C 5.A（二）填空题1.$$\ge -2$$ 2.3；3 3.$$3\sqrt{3}$$ 4.$$\frac{1}{8}$$ 5.$$\sqrt{2} - 1$$（三）计算题1.$$6\sqrt{2} - 2$$ 2.$$-1 + 2\sqrt{5}$$ 3.$$-5\sqrt{3}$$ 4.$$\sqrt{2} + 4$$（四）解答题1.由题意得$$a=1$$，$$b=\sqrt{2}$$，原式$$(a+b)^2=(1+\sqrt{2})^2=3 + 2\sqrt{2}$$；2.面积$$=(\sqrt{12}+\sqrt{3})(\sqrt{12}-\sqrt{3})=12 - 3=9$$，周长$$=2[(\sqrt{12}+\sqrt{3})+(\sqrt{12}-\sqrt{3})]=8\sqrt{3}$$。1. 二次根式的概念
一般地，形如____(a≥0) 的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方式是非负式，即 a≥0.
【易错点】 二次根式中，被开方式一定是非负式，否则就没有意义.
2. 二次根式的性质：
3. 最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数的因数是_______，因式是_______；
(2) 被开方式中不含能__________的因数或因式．
开得尽方
整数
整式
4. 二次根式的乘除法则：
乘法： ＝______(a≥0，b≥0)；
除法： ＝____(a≥0，b＞0)．
可以先将二次根式化成_____________，再将
______________进行合并．
同类二次根式
最简二次根式
5. 二次根式的加减：
类似合并同类项
逆用也适用.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
6. 二次根式的混合运算
与有理数的混合运算类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
例1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围:
解：(1) 由题意得
(3) ∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数.
(4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1.
考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
① 被开方数大于或等于零；
② 分母中有字母时，要保证分母不为零.
方法归纳
1. 下列各式： 中，一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
针对训练
2. 求下列二次根式中字母的取值范围：
解得 -5≤x＜3.
解：(1) 由题意得
∴ x = 4.
(2) 由题意得
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