北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷强化提分训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷强化提分训练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 578.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-08 00:00:00 | ||
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文档简介
北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷强化提分训练
（考试范围：第一章三角形的证明及其应用、第二章不等式与不等式组）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．为等腰三角形，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
4．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（ ）
A． B． C． D．
5．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
6．如图，已知周长是分别平分和于D，且，则的面积是（）
A．1 B．8 C．2 D．5
7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于 B．有一个内角小于
C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于
8．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则的长为______．
12．若不等式组有解，则a的取值范围是__________．
13．已知点在第四象限，则的取值范围是______．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜3，则a的取值范围为___．
15．如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，若，已知的周长为，则___________．
16．如图，在中，是的角平分线，垂足为E，若CD=6，则________________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列不等式．
(1)．
(2)．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，
19．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形
(2)求证：．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
21．如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
22．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC．
(1)求证：△PMN是等边三角形；
(2)若AB＝9 cm，求CM的长度．
23．世界杯正在火热进行中，足球教人团结协作、不惧挑战、拼搏奋进．为了响应“足球进校园”的号召，某中学到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球60个，B种品牌的足球20个，共花费4600元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)随着同学们对足球运动的热爱，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？
24．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号）
①；②；③．
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
25．如图，P为等边外一点，垂直平分于点H，的平分线交于点D．
(1)①直接写出与的位置关系为______．
②与的数量关系为______，并写出证明过程．
(2)求证：；
(3)若等边边长为，连接，当为等边三角形时，请直接写出的长度．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D D C B D B
二、填空题
11．2
12．
13．/
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：
解得：，
∴原不等式的解集为：；
（2）解：
解得：
∴原不等式的解集为：．
18．【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上，如图：
19．【详解】（1）证明：∵是等腰三角形的底边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
21．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
22．【详解】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴CM=3cm．
23．【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，
依题意得：
解得：，即m可以取值为：22，23，24，
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球22个，B种足球28个；
方案二：购买A种足球23个，B种足球27个；
方案三：购买A种足球24个，B种足球26个．
24．【详解】（1）解不等式组，得，
解方程得：；
解方程得：；
解方程得：，
∵，，，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解不等式组得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即k的取值范围是；
（3）解方程得，
解方程得，
∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，则，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
25．【详解】（1）解：①∵为等边三角形，
∴，
∵垂直平分于点H，
∴，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴垂直平分，
∴；
②，证明如下：
∵垂直平分，
∴；
（2）证明：如图所示，在上取一点Q使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵为等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴．
（考试范围：第一章三角形的证明及其应用、第二章不等式与不等式组）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．为等腰三角形，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
4．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（ ）
A． B． C． D．
5．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
6．如图，已知周长是分别平分和于D，且，则的面积是（）
A．1 B．8 C．2 D．5
7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于 B．有一个内角小于
C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于
8．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则的长为______．
12．若不等式组有解，则a的取值范围是__________．
13．已知点在第四象限，则的取值范围是______．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜3，则a的取值范围为___．
15．如图，在中，的垂直平分线分别交，于E，D两点，若，已知的周长为，则___________．
16．如图，在中，是的角平分线，垂足为E，若CD=6，则________________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列不等式．
(1)．
(2)．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，
19．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形
(2)求证：．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
21．如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
22．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC．
(1)求证：△PMN是等边三角形；
(2)若AB＝9 cm，求CM的长度．
23．世界杯正在火热进行中，足球教人团结协作、不惧挑战、拼搏奋进．为了响应“足球进校园”的号召，某中学到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球60个，B种品牌的足球20个，共花费4600元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)随着同学们对足球运动的热爱，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？
24．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号）
①；②；③．
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
25．如图，P为等边外一点，垂直平分于点H，的平分线交于点D．
(1)①直接写出与的位置关系为______．
②与的数量关系为______，并写出证明过程．
(2)求证：；
(3)若等边边长为，连接，当为等边三角形时，请直接写出的长度．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D D C B D B
二、填空题
11．2
12．
13．/
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：
解得：，
∴原不等式的解集为：；
（2）解：
解得：
∴原不等式的解集为：．
18．【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上，如图：
19．【详解】（1）证明：∵是等腰三角形的底边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
21．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
22．【详解】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴CM=3cm．
23．【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，
依题意得：
解得：，即m可以取值为：22，23，24，
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球22个，B种足球28个；
方案二：购买A种足球23个，B种足球27个；
方案三：购买A种足球24个，B种足球26个．
24．【详解】（1）解不等式组，得，
解方程得：；
解方程得：；
解方程得：，
∵，，，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解不等式组得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即k的取值范围是；
（3）解方程得，
解方程得，
∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，则，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
25．【详解】（1）解：①∵为等边三角形，
∴，
∵垂直平分于点H，
∴，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴垂直平分，
∴；
②，证明如下：
∵垂直平分，
∴；
（2）证明：如图所示，在上取一点Q使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵为等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴．
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