北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷拔尖卷（含答案）

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北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷拔尖卷
（考试范围：第一章三角形的证明及其应用、第二章不等式与不等式组）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．已知，，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若一个多边形的每个外角的度数是，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
3．等腰三角形的两边长分别是4、8，则第三边长为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．4或12
4．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处
C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处
5．某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32° B．64° C．77° D．87°
7．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于
8．根据图象，可得关于x的不等式的解集是( )
A． B． C． D．
9．已知点在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．不等式的正整数解有______．
12．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象．如图，则关于x的一元一次不等式的解集是______．

13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为__．
14．若关于的不等式组有解，则的取值范围为______．
15．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于_____°．
16．如图，在等腰中，，是的高，，分别是上一动点，则的最小值为________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式组：并写出它的所有的非正整数解．
18．如图，是的角平分线，交延长线于点D．
(1)求证：；
(2)过A作交于F，若，，求的长．
19．如图，为的中线，为的角平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)在中作边上的高；
(3)在（1）的条件下，若的面积为40，，求的长．
20．如图，已知是的角平分线，分别是和的高.
(1)请你判断与位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长.
21．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
(1)篮球、足球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
22．如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
23．如图，，分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点M，点N，连接，交于点D．
(1)求的度数；
(2)已知，求的面积．
24．如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分．
(1)求证：．
(2)若，求．
(3)如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值．
25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C D C D A C B
二、填空题
11．1和2
12．
13．22
14．
15．65
16．
三、解答题
17．【详解】解：，
解①得：，
，
，
；
解②得：，
，
，
；
该不等式组的解集为：，
它的所有的非正整数解为：0、．
18．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴，
∴，
∴在中，，
代入，
∴．
19．【详解】（1）解：，，
．
为的角平分线，
（2）解：如图，即为所求作
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点．
，为的中线，
．
．
．
在中，
，
．
为的角平分线，，，
．
，
，
即．
．
20．【详解】（1）解：垂直平分，理由如下：
∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意得：，解得：．
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，
购买篮球和足球的总费用
依题意得：，
解不等式①得：．
解不等式②得：．
∴m的取值范围为：，
∵购买篮球和足球的总费用，，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，最省钱，
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
22．【详解】（1）证明：于点，于点，
，
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：由（1）知，是等边三角形，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
．
23．【详解】（1）解：∵，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
24．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：如图，过点A作交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点A作的平行线交于点M，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下：
，
，
解得，
，
由①得：，
解得，，
由②得：，
，
，
，
，
∴，
∵不在的范围内，
∴不是不等式组的“相依方程”；
（2）解：，
，
，
，
，
解不等式组：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有两个整数解，
∴，
解得，
∵方程是不等式组的“相依方程”，
∴，
解得，
∴；
（3）解：，
解得，
，
由①得，
由②得，
①当时，，
∴，
∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”，
∴，
解得或；
∴此情况下k的取值为，
②当时，，
此时，即或，
不等式组的解集为，
∴，
解得或，
∴此情况下k的取值为，
③当时，无解，不合题意，
综上所述：或．
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