广东省深圳市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷（含答案）

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广东省深圳市北师大版2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考模拟试卷（考试范围：第一章三角形的证明及其应用、第二章不等式与不等式组）
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．若，则下列式子中错误的是（ ）
A．x－3>y－3 B． C．x+3>y+3 D．－3x>－3y
2．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角
3．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　　　 ）
A．∠A+∠B=90° B．b2=a2-c2
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b：c=5：12：13
6．如图，中，，的垂直平分线交于点．若，，则的周长为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．8
7．如图，射线平分，点，分别在射线，上，过点作于点，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．若等腰三角形的一腰长为a，底角为15°，则这个等腰三角形腰上的高为（　　）
A．2a B．a C．a D．与a无关
10．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，若，，则的长为_________．
12．如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则_______度．
13．等腰三角形的底角为，那么它的顶角的度数为___________．
14．若不等式组的解集是，则t的取值范围是________．
15．已知直线，，，若无论取何值，总是取，，中的最小值，则的最大值是______．
16．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有1个．正确的有__________．（只填序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．一次函数与正比例函数交于点．
(1)确定一次函数的表达式；
(2)当x取何值时，
20．如图，在中，，平分，交于点D，过点D作于点E．
(1)若点E为的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
21．某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元；若购进甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需资金元．
（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？
（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案？哪种方案花费资金最少？
22．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
23．已知关于的方程组的解均为非负数，
(1)用的代数式表示方程组的解；
(2)求的取值范围；
(3)化简：．
24．综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”．
(1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由；
(2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围；
(3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围．
25．【问题提出】
（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A C D B A C A
二、填空题
11．10
12．40
13．
14．
15．2
16．①②③
三、解答题
17．【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
将解集表示在数轴上如下：
18．【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
．
19．【详解】（1）由已知，将点代入得：
，
解得：，
故一次函数表达式为：；
（2），
，
解得：，
当时，．
20．【详解】（1）∵点E为的中点
∴
∵
∴
∵平分，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴．
21．【详解】解：设甲、乙品牌消毒液单价分别为元、元，
由题意得：，
解得，
答：甲、乙品牌消毒液单价分别为元、元．
设购进甲品牌消毒液瓶，
则购进乙品牌消毒液瓶．
由题意得：
，
解得，即
为正整数，
可取，，，，
设购买消毒液共花费元，则
，
，
随着的增大而增大，
当时，的值最小，最省钱为元，
此时（个）．
答：有种购买方案，第一种：购进甲17瓶，乙33瓶，第二种：购进甲18瓶，乙32瓶，第三种：购进甲19瓶，乙31瓶，购进甲20瓶，乙30瓶，其中最省钱的方案是购进甲品牌消毒液瓶，则购进乙品牌消毒液瓶．
22．【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：∵关于的方程组的解均为非负数，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
．
24．【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程．
理由如下：
解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵，
∴方程是不等式组的相伴方程．
（2）解：解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵关于的方程是不等式组的相伴方程，
∴，
解得：，
即的取值范围是．
（3）解：解方程，得：，
解方程，得：，
∵方程和都是关于的不等式组的相伴方程，
∴分为两种情况：
①当时，解不等式得
不等式组化简为：，此时不可能是不等式组的解，
∴不符合题意，舍去；
②当时，解不等式得，此时不等式组的解集为：，
∴根据题意，得：，
解得：，
即的取值范围为．
25．【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
，
∵点F是的中点，
∴，
，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：分别延长与的延长线交于点G．
∵，
∴，，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接，
∵点E是的中点，，
∴，
∵，，
∴，，，
，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
，，，
∴，
∴．
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