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课题：认识无理数
教学目标：
知识与技能目标：
1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断给出的数是否为有理数,并能说出理由.
过程与方法目标：
1.让学生亲自动手实践,感受无理数存在的必要性和合理性,培养学生的动手能力和合作精神.
2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.www-2-1-cnjy-com
情感态度与价值观目标：
1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.
2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.
3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神重点：
1.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数或无理数
难点：
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数
教学过程：
课前回顾
1.有理数如何分类？
2.勾股定理的内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
在直角三角形中，如果两条直角边分别为a与b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
探究新知
活动一：拼图实践
将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形
设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？
【解析】 因为 所以a2=2
活动二：感知新数，合理推理它不是有理数
1.满足a2=2，a是整数吗？
因为 a2=2, 而12=1, 22=4 12
在△ABC中,AC=1，BC=1，AB=a
根据三角形的三边关系：
AC-BC< a所以02.满足a2=2，a是分数吗？为什么？
如果是一个分数，那么可把它化成最简分数 。由于m与n没有1以外的公约数，从而 仍然是一个最简分数，不会是2 .所以不可能是分数。
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。
活动三：深入探究，感知无理数存在的普遍性
观察下图后回答下面问题
（1）如图：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 22+12=5
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ b2=22+12=5
（3）b是有理数吗？ b
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在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。
活动四：探究面积为2的正方形的边长a是多少呢？
（1）下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。1＜a＜2
因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，所以1＜a＜2。
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位 呢？ … …借助计数器进行探索。1 4 1 42-1-c-n-j-y
（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
边长a 面积S
1＜a ＜2 1 ＜S ＜4
1.4 ＜a ＜1.5 1.96 ＜S ＜2.25
1.41 ＜a ＜1.42 1.9881 ＜S ＜2.0164
1.414 ＜a ＜1.415 1.999396 ＜S ＜2.002225
1.4142 ＜a ＜ 1.4143 1.99996164 ＜S ＜2.00024449
还可以继续算下去吗 a 可能是有限小数吗
事实上，a=1.41421356……是一个无限不循环小数.
做一做
(1)估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计. 2.2
(2)如果结果精确到百分位呢 千分位呢？万分位呢？……
2.23 2.236 2.2360 ……
得到b=2.236067978…… 它也是一个无限不循环小数.
同样，对于体积为2的正方体借助计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…… ,它也是一个无限不循环小数2·1·c·n·j·y
a，b，c既不是整数，也不是分数，则a，b，c一定不是有理数.
活动五：探究无理数的概念
把下列各数表示成小数.
3=3.0
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
那么，我们就把无限不循环小数叫做无理数.
如上面的a，b，c是无理数。
还有我们十分熟悉的圆周率π=3.1415926 … …是一个无限不循环小数，也是无理数。
再如5.010010001… …（相邻两个1之间零的个数逐次增加1）也是无理数.
活动六：探究数的分类
到目前为止所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
三、经典例题
例1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14,,,0.1010001000001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）
解：有理数：3.14,,
无理数：0.1010001000001……
例2. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的边数有（ C ）21教育网
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
解： ， ， 。
所以边长为无理数的边数有2条。选C
四、小试牛刀(你能行)
一、判断题
1.无限小数是无理数. ( )
2.无理数是无限小数 ( )
3.循环小数是有理数. ( )
4.无限不循环小数是无理数. ( )
5.任何一个分数一定是有理数. ( )
二、填空题。
1.面积是25的正方形的边长为 _________ ，它是_________数.
面积为7的正方形边长a的整数部分是 _________，边长a是一个_________ 数.【来源：21·世纪·教育·网】
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为3和5，则斜边长a是 _________ 数。
五、体验收获
1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
2.无理数的特征:
（1）圆周率π及一些最终结果含有π的数.
（2）开方开不尽的数.
（3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数.
六、达标测试
1.填空：在数，，π，，0 中
整数：____0_______ 有理数：______________
无理数：_________
2.如果x2=10，则x是一个__无理____数，x的整数部分是__3_____。
3.任意写出两个大于6＜7的无理数___________6.1010010001……_.等（答案不唯一）
4.下列各数： ,0, ,, ,0.303003……(相邻两个3 之间0的个数逐次加1),中，无理数的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选A.无限不循环小数是无理数，其中0.303003……(相邻两个3之间0的个数逐次加1)两个是无理数，其他是有理数. 21·世纪*教育网
5.下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. 0.305305530555…… D.
【解析】选C. 因为3.14是小数， 是分数，是无限循环小数，所以选项A、B、D
都是有理数； 0.305305530555…… 是无限不循环小数，所以是无理数.
七、拓展提高
1、已知m2=26，n2=88，那么在m，n之间的正整数有__________。
解：∵m2=26＞25 ∴m＞5 ∵n2=88＜100 ∴n＜10
∴m，n之间的正整数有6,7,8,9
2、正数x满足x2=12，则x的大致范围是（ ）
A. 1＜x＜2 B. 2＜x＜3 C. 3＜x＜4 D. 4＜x＜5
解：∵ 9＜x2=12＜16
∴ 3＜x＜4
3、如图在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共_____个。21·cn·jy·com
解：如图满足这样条件的点C共4个， C1，C2，C3，C4。
八、布置作业
教材25页习题第1、2、3题。
有理数
整数(如-1，0，2，3， ).
分数(如 ， ， )
1
1
1
1
①
②
③
④
①
②
③
④
a
A
B
C
1
1
2
2
面积为2
a
a
c
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
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无理数
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、在下列实数中，无理数是( )
A.2 B.0 C. D.
2、下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数是无限不循环的小数；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④无理数都可以用数轴上的点来表示；其中正确的说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3、下列各数中，是无理数的是( )
A. B.1.732 C.-π D.
4、下列说法正确的是 ( )
A.无理数包括正无理数、0和负无理数 B.π是有理数
C.无理数是带根号的数 D.无理数是无限不循环小数
5、在实数，，π，，，0.3131131113…中，无理数的个数是( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
二、填空题(每小题6分，共24分)
1、面积为3的正方形的边长_____有理数；面积为4的正方形的边长_____有理数．(填“是”或“不是”)21教育网
2、试举一例，说明“两个无理数的差仍是无理数”是错误的：_____．
3、直角三角形两直角边长为2和5，以斜边为边的正方形的面积是 ，此正方形的边长 （填“是”或者“不是”）有理数．21·cn·jy·com
4、有六个数：0.123，（﹣1.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002…，若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z=______．
三、解答题(每小题20分，40分)
1、500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时(若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项)，他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
(1)x是整数吗？为什么不是？
(2)x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？2·1·c·n·j·y
2、如图：
(1)x，y，z，w中哪些是有理数哪些是无理数？它们的值分别是多少？
(2)你发现了斜边长度的表示规律了吗？求第n次作出的斜边的长度是多少？
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参考答案
一、选择题
1、答案：C
【解析】∵无理数是无限不循环小数，∴是无理数，2，0，是有理数．
故选C．
2、答案： B
【解析】根据无理数的定义，结合各项进行判断即可．①无限循环小数不是无理数，故①错误； ②无理数是无限不循环的小数，故②正确；
③无理数包括正无理数、负无理数，0是有理数，故③错误；
④无理数都可以用数轴上的点来表示，故④正确．综上可得②④正确，共2个．
故选B．www-2-1-cnjy-com
3、答案：D
【解析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
A、是有理数，不是无理数，故本选项错误； B、是有理数，不是无理数，故本选项错误； C、是无理数，故本选项正确； D、是有理数，不是无理数，故本选项错误；
故选C．2-1-c-n-j-y
4、答案：C
【解析】无理数就是无限不循环小数．无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．如圆周率π=3.141592653…，=1.414…，0.010010001000001…．根据概念即可判定选择．
A、无理数包括正无理数、负无理数，故选项错误； B、π是无理数，故选项错误；C、不是所有的带根号的数都是无理数，如等，故选项错误；
D、无理数是无限不循环小数，故选项正确；
故选D． 21*cnjy*com
5、答案：D
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
∵，
∴在实数，，π，，，0.3131131113…中，有理数有，，共3个；无理数有，π，0.3131131113…共3个；
故选A．21世纪教育网版权所有
6、答案：D
【解析】∵ ==3， ∴对角线长是无理数．
故选D．
二、填空题
1、答案：不是 是
【解析】：首先用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后根据有理数和无理数的概念进行判断．
∵正方形的面积为3，∴正方形的边长为，
∴ 面积为3的正方形的边长不是有理数，
∵正方形的面积为4，∴正方形的边长为2，
故面积为4的正方形的边长是有理数，
故答案为不是、是．www.21-cn-jy.com
2、答案：π-π=0
【解析】：由于两个相等的无理数的差就是0，是有理数，由此根据无理数定义即可求解．例如：π-π=0．（答案不唯一）．【来源：21·世纪·教育·网】
3、答案：29 不是
【解析】：设直角三角形的两直角边是a和b，斜边是c，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
则分别以a、b为边长的两个正方形的面积之和为：a2+b2=4+25=29，
以斜边c为边长的正方形的面积S=c2=a2+b2=29，是无理数．
故答案为：29，不是．
4、答案：：6
【解析】：无理数有-2π、0.1020020002……两个，所以x=2；整数没有，所以y=0；非负数有0.123、3.1416、、0.1020020002……共四个，所以z=4.
所以x+y+z=2+0+4=6
故填：6
三、解答题
1、答案：（1）不是 （2）不是
【解析】：（1）不是，∵1＜2＜4，而x2=2
∴1＜x2＜4，若x＞0，1＜x＜2，
∴在1和2之间不存在另外的整数．
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数21cnjy.com
2、答案：（1）z是有理数，x、y、w是无理数．
（2）第n次作出的斜边的长是
【解析】：（1）因为图中的三角形是直角三角形，由勾股定理得：
x==，y==；z==2；w==（4分）．
所以z是有理数，x、y、w是无理数．（6分）
（2）根据以上规律，第n次作出的斜边的长是．（10分）
根据勾股定理，分别计算出斜边的长即可．
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认识无理数
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ).
分数(如 ， ， … )
2.勾股定理的内容
课前回顾
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
在直角三角形中，如果两条直角边分别为a与b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
活动一：拼图实践
将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，
设法得到一个大正方形
1
1
1
1
①
②
③
④
①
②
③
④
设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？
a
探究新知
活动二：感知新数，合理推理它不是有理数
因为 a2=2, 而12=1, 22=4
12在△ABC中,AC=1，BC=1，AB=a
根据三角形的三边关系：
AC-BC< a所以0A
B
C
1.满足a2=2，a是整数吗？
2.满足a2=2，a是分数吗？为什么？
如果 是一个分数，那么可把它化成最简分数 。
由于m与n没有1以外的公约数，从而 仍然
是一个最简分数，不会是 2 .所以 不可能是分数。
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，
所以a不是有理数。
活动三：深入探究，感知无理数存在的普遍性
观察下图后回答下面问题
（1）如图：以直角三角形的斜边为
边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b等于什么？
（3）b是有理数吗？
1
2
b
在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。
5
22+12=
b2=22+12=5
1
1
2
2
面积为2
a
a
（1）下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ … …借助计数器进行探索。
活动四：探究面积为2的正方形的边长a是多少呢？
面积为1
面积为4
1＜a＜2
因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，所以1＜a＜2。
1
4
1
4
（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
1.4142 ＜a ＜ 1.4143 1.99996164 ＜S ＜2.00024449
1.414 ＜a ＜1.415 1.999396 ＜S ＜2.002225
1.41 ＜a ＜1.42 1.9881 ＜S ＜2.0164
1.4 ＜a ＜1.5 1.96 ＜S ＜2.25
1＜a ＜2 1 ＜S ＜4
边长a 面积S
还可以继续算下去吗 a 可能是有限小数吗
事实上，a=1.41421356……是一个无限不循环小数.
做一做
(1)估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分
位)，并用计算器验证你的估计.
得到 ，它也是一个无限不循环小数.
2.2
2.23
2.236
(2)如果结果精确到百分位呢 千分位呢 万分位呢？
2.2360
做一做
同样，对于体积为2的正方体，借助计算器,可以
得到它的棱长 ,它也是一个无限不循
环小数
a，b，c既不是整数，也不是分数，
则a，b，c一定不是有理数.
活动五：探究无理数的概念
把下列各数表示成小数.
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
你发现了什么
那么，我们就把无限不循环小数叫做无理数.
活动五：探究无理数的概念
如上面的a，b，c是无理数。
还有我们十分熟悉的圆周率π=3.1415926 … …是
一个无限不循环小数，也是无理数。
再如5.010010001… …（相邻两个1之间零的个数
逐次增加1）也是无理数.
活动六：探究数的分类
到目前为止所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
例1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.1010001000001…….(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解：
有理数：
无理数：
0.1010001000001……
经典例题
例2. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则
网格上的△ABC中，边长为无理数的边数有（ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
解：
经典例题
所以边长为无理数的边数有2条。选C
C
一、判断题
1.无限小数是无理数. ( )
2.无理数是无限小数 ( )
3.循环小数是有理数. ( )
4.无限不循环小数是无理数. ( )
5.任何一个分数一定是有理数. ( )
二、填空题。
1.面积是25的正方形的边长为 ，它是 数.
面积为7的正方形边长a的整数部分是 ，边长a是一个 数.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为3和5，则斜边长a是 数。
×
√
×
√
√
5
有理
无理
2
无理
小试牛刀(你能行)
1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
（2）开方开不尽的数.
（3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数.
2.无理数的特征:
（1）圆周率 及一些最终结果含有 的数.
体验收获
整数：___________ 有理数：______________
无理数：_________
1.填空：在数 中
0
达标测试
2.如果x2=10，则x是一个______数，x的整数部分是
_______。
无理
3
3.任意写出两个大于6＜7的无理数_______________.
6.1010010001……等（答案不唯一）
4.下列各数： ,0, , , , (相邻两个3 之间0的个数逐次加1),中，无理数的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
达标测试
【解析】选A.无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)两个是无理数，其他是有理数.
3.下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. D.
C
【解析】选C. 因为3.14是小数， 是分数， 是无限循环
小数，所以选项A、B、D都是有理数；
是无限不循环小数，所以是无理数.
拓展提高
1、已知m2=26，n2=88，那么在m，n之间的正整数
有__________。
2、正数x满足x2=12，则x的大致范围是（ ）
A. 1＜x＜2 B. 2＜x＜3 C. 3＜x＜4 D. 4＜x＜5
解：∵m2=26＞25 ∴m＞5 ∵n2=88＜100 ∴n＜10
∴m，n之间的正整数有6,7,8,9
6,7,8,9
解：∵9＜x2=12＜16
∴ 3＜x＜4
3、如图在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC
，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这
样条件的点C共_____个。
解：如图满足这样条件的点C共4个，
C1，C2，C3，C4。
4
布置作业
教材25页习题第1、2、3题。