登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：探索勾股定理
教学目标：
知识与技能目标：
掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
能用勾股定理解决简单的问题。
过程与方法目标：
经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程，发展合情合理的推理能力
体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。
情感态度与价值观目标：
介绍古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就。
在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
重点：
探索和验证勾股定理
难点：
1、在方格上通过计算面积的方法探索勾股定理 。
2、用面积法（拼图的方法）证明勾股定理。
教学流程：
情境引入
探究1：如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m。
钢索的长度应该是多少？
问题：电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢？
回答：直角三角形
思考：在直角三角形中，已知两边长如何确定第三边？
在网格纸中，以直角三角形各边为边长画正方形
图中每个小方格代表一个单位面积
数一数，得出三个正方体的面积
正方形A中含有 9 个小方格，即A的面积是 9 个单位面积
正方形B的面积是 18 个单位面积。
问题：如何得到正方体C的面积呢？
方法一：分割法
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
方法二：填补法
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半
三个正方体的面积有什么关系呢？
总结：SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
追问：换一个直角三角形还依旧满足这种关系吗？满足
将直角三角形设为a，b，c，你能得到什么？
Sa+Sb=Sc —> a2+b2=c2
想一想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
总结：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
做一做：如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点 距离电线杆底部6m,钢索的长度应该是多少 21教育网
根据前面所得出的结论，同学们能不能试着解一下刚上课提出的这个问题？
解：由勾股定理得：
所以，钢索的长度为10m
练习1：已知△ABC的三边AB长a， BC长b， AC长c，若∠B=90度，则有关系式（ A ）
二、合作探究
探究2：验证勾股定理
请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
提示：用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。21·cn·jy·com
方法一：大正方形的面积可以表示为c2；
也可以表示为4×ab/2+(b- a)2
∵ c2= 4 ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
方法二：大正方形的面积可以表示为(a+b)2；
也可以表示为c2 +4×ab/2
∵ (a+b)2 = c2 + 4×ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
总结：直角三角形三条边长度转化关系：
三、自主思考
探究3：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆地方汽车在公路上行驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 21世纪教育网版权所有
分析：1、根据题意画出图形,根据题中所给出的信息,你能得到什么结论呢
2、由题可知,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米,BC即为敌方汽车10秒所行使的距离,故在直角三角形中求出BC的长即为解答此题的关键;21cnjy.com
3、求出BC的长后,根据“速度=路程÷时间”即可解答此题了.
解:根据题意画出图形;
根据题意可知,∠ABC=90°
AB=400米,AC=500米,
BC即为汽车10秒行驶的距离
∵ 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米
∴ 敌方汽车速度为300÷10=30米/秒
答:敌方汽车速度为30米/秒.
练习2：如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？www.21-cn-jy.com
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
根据勾股定理，
∴电线杆折断之前的高度
=BC+AB=5米+１３米＝１８米
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2？
钝角三角形
锐角三角形
四、达标测评
1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( C )
. A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
2.求图中直角三角形的未知边的长度。
3.在 Rt△ABC 中，∠C=900 .
（1）若a=5，b=12， 则c =__13_.
（2）若c=4，b= 2 ，则a =____.
4、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为X，则AB为（16-X），
由勾股定理得：
X2+82=(16-X)2
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S ABC=BC AD/2=2 6 8/2=48
五、应用提高
一个长方形零件图，根据所给尺寸（mm），球两孔中心A、B之间的距离
解：过A作铅垂线，
过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°
AC=90-40=50(mm)
BC=160-40=120(mm)
由勾股定理，得
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
六、体验收获
1.什么是勾股定理
2.验证勾股定理
3.勾股定理的简单应用
七、布置作业
教材7页习题第2、3题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
探索勾股定理
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择填空题（每小题5分，40分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2．
2．在中,,边上有2006个不同的点,
记,则=_____.
3.斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ．
4．一个三角形三边之比是，则按角分类它是 三角形．
5．如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
6、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）．21教育网
A．80mm B．90 mm C．100 mm D．80mm
7、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3米，同时梯子的顶端B下降至B′．那么BB′：①等于1米，②大于1米，③小于1米．其中正确结论的序号是（ ）21·cn·jy·com
A．① B．② C．③ D．无法确定
8、如图所示，在一个正方形上连接直角三角形，再以直角边为边长作正方形，一个一个连接在一起，无限反复同一个过程，构成了千姿百态、奇妙美丽的勾股树，设最大正方形的边长为10，末尾正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和为S，则Sn=（ ）www.21-cn-jy.com
A．100 B．120 C．110 D．80
二、解答题（每小题10分，60分）
1．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？【来源：21·世纪·教育·网】
2．如图所示，在中,,且,
,求的长.
3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？21cnjy.com
4、如图在Rt△ABC中,，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：2·1·c·n·j·y
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
5、如图，是一条水渠的横断面，已知渠底宽6米，渠深4米，渠的两坡长都是5米，求渠的两岸距离．
6、一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向航行．
(1)多长时间后，船距灯塔最近？
(2)多长时间后，船到达灯塔的正北方向 此时船距灯塔多远 (参考数据：162－82≈13.92)
参考答案
一．选择题
1．D
【解析】解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．
2．1
【解析】如图,作于,因为,则.
由勾股定理,得.所以
所以
3．
【解析】勾股定理得到： ，另一条直角边是15，
所求直角三角形面积为 ．答案: ．
4．直角
【解析】本题由边长之比是 可知满足勾股定理，即是直角三角形
5．10.125π
【解析】由勾股定理知道：，所以以直角边为直径的半圆面积为10.125π
6、C
【解析】构造直角三角形，利用勾股定理求解．
由图可知：AC=120－60=60，BC=140－60=80，∠ACB=90°．
由勾股定理，得=100(mm)．
因此A、B间的距离为100mm．
7、C
【解析】在Rt△AOB中，．
在Rt△A′OB′中，A′B′=AB=，OA′=3．
所以，
所以BB′=OB－OB′=7－．因为，
所以6<<7．所以BB′=7－ 8、A
【解析】根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
正方形A、正方形B的面积和为正方形1的面积．
正方形l、正方形C的面积和为正方形2的面积．
正方形D、正方形E的面积和为正方形3的面积．
正方形2、正方形3的面积和为正方形4的面积．
即正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和Sn=102=100．
二、解答题
1．分析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.
解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,
所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．
2．解:如右图：因为为等腰直角三角形,所以.
所以把绕点旋转到,则.
所以.连结.
所以为直角三角形.
由勾股定理,得.所以.
所以.
3．解： 由勾股定理得：
BC=40米，
时间是2s，
可得速度是20m/s=72km/h＞km/h．
答案：这辆小汽车超速了．
4.解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。21世纪教育网版权所有
5、解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
在Rt△AEB中，AE2=AB2－BE2=52－42=32，
∴AE=3．
同理FD=3，∴AD=3＋6＋3=12．
6、解：如图所示．
(1)依题意知，当船航行到D点时，距灯塔最近，
此时有CD⊥AB．
∵∠BAC=60°，∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=×8=4(海里)，
∴4÷20=(时)=12(分)，
∴12分后，船距灯塔最近．
(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．
∴∠B=30，∴AB=2AC=2×8=16(海里)，
∴16÷20=(时)=48(分)
∴BC2=AB2－AC2=162－82≈13.92，∴BC≈13.9(海里)，
∴48分后，船到达灯塔的正北方向，此时船距灯塔约13.9海里．
A
C
B
小汽车
小汽车
A
B
C
观测点
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 10 页） 版权所有@21世纪教育网(共36张PPT)
探索勾股定理
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m。
8米
B
A
C
6米
情境引入
钢索的长度应该是多少？
探究1
电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢？
直角三角形
探究1
在直角三角形中，已知两边长
8m
6m
如何确定第三边？
A
B
C
在网格纸中，以直角三角形各边为边长画正方形
A
B
C
图中每个小方格代表一个单位面积
数一数，得出三个正方体的面积
数一数
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积
正方形B的面积是 个单位面积。
9
9
9
如何得到正方体C的面积呢？
A
B
C
A
B
C
方法一：分割法
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
A
B
C
方法二：填补法
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半
（单位面积）
正方形A的面积是 个单位面积。
正方形B的面积是 个单位面积。
9
9
三个正方体的面积有什么关系呢？
A
B
C
正方形C的面积是 个单位面积。
18
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
A
B
C
A
B
C
换一个直角三角形还依旧满足这种关系吗？
16
9
面积
25
A
B
C
面积
1
9
10
A
B
C
满足
A
B
C
a
c
b
Sa+Sb=Sc
将直角三角形设为a，b，c，你能得到什么？
想一想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
想一想
┏
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
结论
如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,钢索的长度应该是多少
8米
B
A
C
6米
根据前面所得出的结论，同学们能不能试着解一下刚上课提出的这个问题？
做一做
解：由勾股定理得：
所以，钢索的长度为10m
已知△ABC的三边AB长a， BC长b， AC长c，若∠B=90度，则有关系式（ ）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2
D.b2+c2=a2
A
B
C
A
练习1
请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
∟
a
b
c
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
探究2
如何验证勾股定理呢？
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ c2= 4 ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
4×ab/2+(b- a)2
方法一
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4×ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
c2 +4×ab/2
方法二
a
b
c
确定斜边
c2= a2+b2
？
a
c
b
确定斜边
b2= a2+c2
？
b
c
a
确定斜边
a2= b2+c2
？
思考
c2=a2 +b2
a
b
c
b2= c2 - a2
a2= c2 - b2
灵活运用
我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆地方汽车在公路上行驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
400m
10秒后
500m
A
B
C
探究3
分析
1、根据题意画出图形,根据题中所给出的信息,你能得到什么结论呢
2、由题可知,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米,BC即为敌方汽车10秒所行使的距离,故在直角三角形中求出BC的长即为解答此题的关键;
3、求出BC的长后,根据“速度=路程÷时间”即可解答此题了.
400m
500m
A
B
C
解:根据题意画出图形;
根据题意可知,∠ABC=90°
AB=400米,AC=500米,
BC即为汽车10秒行驶的距离
∵ 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米
∴ 敌方汽车速度为300÷10=30米/秒
答:敌方汽车速度为30米/秒.
解答
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？
∴电线杆折断之前的高度
=BC+AB=5米+１３米＝１８米
5米
B
A
C
12米
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
根据勾股定理，
练习2
用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2？
议一议
8
9
29
<
+
+
<
5
8
9
>
+
+
>
钝角三角形
锐角三角形
1.什么是勾股定理
2.验证勾股定理
3.勾股定理的简单应用
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )
.
达标测试
３
４
A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
C
8
6
A
B
C
2.求图中直角三角形的未知边的长度。
15
17
A
B
C
（1）若a=5，b=12， 则c =______.
3.在 Rt△ABC 中，
（2）若c=4，b= 2 ，则a =______.
∠C=900 .
13
4、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积
8
X
16-X
D
A
B
C
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为X，则AB为（16-X），
由勾股定理得：
X2+82=(16-X)2
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S ABC=BC AD/2=2 6 8/2=48
构造直角三角形可以解决实际问题。
应用提高
A
B
90
160
40
40
C
解：过A作铅垂线，
过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°
AC=90-40=50(mm)
由勾股定理，得
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
BC=160-40=120(mm)
50
120
布置作业
教材7页习题第2、3题。
