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课题：勾股定理的应用
教学目标：
知识与技能目标：
了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.21cnjy.com
掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
过程与方法目标
让学生亲自经历卷折圆柱.
让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.【来源：21cnj*y.co*m】
情感与态度目标
在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
重点：
勾股定理的应用.
难点：
将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
教学流程：
课前回顾
在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。
情境引入
探究1：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 （π取3）21世纪教育网版权所有
当圆柱高为12cm，底面周长为18cm时，蚂蚁怎么走最近呢？
所走路程为高+直径=12+2×3=18cm
所走路程为高 +πr=12+3×3=21cm
在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，
比较方案，可得，方案为最短路径，最短路径是15cm
总结：1、线段公理
两点之间，线段最短
2、勾股定理
在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则a2+b2=c2.
练习1：在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.
最短路径
拓展思考：在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）www.21-cn-jy.com
现在，我们来一起画一个正方体。该正方体共有六个面，上下，左右，前后
我们来看这个正方体的展开与合上的过程，大家可以发现什么？点B分散到了四个地方。
所以由点A到点B有六种路径
自主思考
探究2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？21教育网
解答：（2）
∴AD和AB垂直．
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？2·1·c·n·j·y
当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．www-2-1-cnjy-com
合作探究
探究3：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【出处：21教育名师】
解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺.
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.
即 52+ x2=（x+1）2.
25+x2= x2+2x+1.
2x=24.
∴ x=12，x+1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
练习2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC__大于____木板的宽,
所以木板__能__ 从门框内通过.
总结：１、立体图形中路线最短的问题:
把立体图形展开，得到平面图形．
根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
２、解决实际问题:
将实际问题抽象为数学问题.
构建直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题．
五、达标测评
1. 在△ABC中，∠B =90°AB＝c，BC＝a，AC＝b。
⑴若a =9，b =15，则c = 12 ；
⑵若a =6，c =8，则b = 10 ；
⑶已知a:c =3:4, b =25,求c = __20__.
2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的__2___倍 21·cn·jy·com
3．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路, 却踩伤了花草.（假设1米为2步）
4.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少 21·世纪*教育网
我们来看圆锥的侧面展开图，连接BB’，则BB’为蚂蚁爬行的最短路径.
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4
∴ 2π=
n=90°
∴ △ABB’是直角三角形
∴ BB’=
答:蚂蚁爬行的最短路线为
5、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6米，问至少需要多长的梯子？【来源：21·世纪·教育·网】
解：在Rt△ABC中根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
=36+64
=100
即：AC=10
答：梯子至少长10米。
六、应用提高
1．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 2-1-c-n-j-y
图14.2.3
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 21*cnjy*com
解 ：OC＝1米 (大门宽度一半)，
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得
ＣＤ＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
2.一辆高３米，宽2.4米的卡车要通过一个半径为3.6米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？
解：AB2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52
∵11.52＞32
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、学会用勾股定理求解问题。
2、将实际问题抽象成数学图形。
3、理解了数形结合的思想。
七、布置作业
教材15页习题第3、4题。
4nπ
180
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 8 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
勾股定理的应用
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题（每小题6分，30分）
1、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（ ）www.21-cn-jy.com
A、50cm B、100cm
C、140cm D、80cm
2、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为（ ）
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A、120cm B、60cm
C、60cm D、20cm
3、现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A、米 B、米
C、米或米 D、米
4、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、5 B、25
C、10+5 D、35
5.一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为( )
二、解答题（每小题10分，70分）
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，若把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．
（1）当∠A＝35°时，求∠CBD的度数．
（2）若AC ＝4，BC ＝3，求AD的长．
（3）当AB ＝ m（m > 0），△ABC 的面积为m +1时，求△BCD的周长．
（用含m的代数式表示）
2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
3. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？
4.已知，圆锥底面半径为10cm，高为1015 cm，
（1） 求圆锥的表面积；
（2） 若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。21cnjy.com
5.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 2-1-c-n-j-y
通过阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？ 21*cnjy*com
（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
6.如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点F处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和△ACE的面积.【来源：21cnj*y.co*m】
7. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE>CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.21世纪教育网版权所有
参考答案
选择题
B
【解析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．
由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，
AB===100cm．
故选B．
2． B
【解析】由图可看出，三角形OAB为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求另两边．
在Rt△ABO中，∠OAB=90°，∠ABO=60°，AB=60，则OA=60cm．故选B．
3. C
【解析】分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；②第三根铁棒的长为直角边．
①第三根铁棒为斜边时，其长度为：=米；
②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：=米．
4 B
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．将长方体展开，连接A、B，【来源：21·世纪·教育·网】
根据两点之间线段最短，AB==25．
故选B．
5．C
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线． 故选C21教育网
二、解答题
1. 解:（1）20°．
（2）设AD＝x，由已知BD＝x；CD＝4-x.
在△BCD中，∠C=90°，根据勾股定理,得x2=(4-x)2+32
解得x＝. ∴AD ＝
（3）设AC＝b，BC＝a，
由已知m2=a2+b2，且
可求出a+b=m+2.
由已知a+b即为△BCD的周长，
所以△BCD的周长为m+2.
2、解：展开图如图所示，AB= = 13cm
3、解：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离． 21·cn·jy·com
圆锥的展开图的圆心角 = r l ×360° .
主视图是等边三角形的圆锥的展开图的圆心角是 180°.
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键.21·世纪*教育网
解：设圆锥的展开图的圆心角为n，则
2×2×π = nπ×4 180 ，
解得：n = 180°
即∠CQC’ = 180°
在展开图中，BA⊥CC’，BA = 4，AP = 2， 由勾股定理得，BP = 42 + 22 = 20 = 25
4. 解：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A’到M的最短距离（即A’M的长）。www-2-1-cnjy-com
解：（1）圆锥的母线长
SA=OA2 + OS2 = 40， 圆锥侧面展开图扇形的弧长l = 2π×OA =20π(cm)， ∴S侧 = 1
2 l ×SA = 400π(cm2)，S底=π×OA2 = 100(cm2)， ∴S表= S底+ S侧= 500π(cm2) 。
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知 SA = 40，弧AA’=20π，∠AS A’= 180°×20π 40
π = 90°， 又SA’= SA=40，SM=3AM，∴SM = 3
4 SA = 30， ∴在Rt△A’SM中， A’
M = SA' 2 + SM2
= 402 + 302 =50，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.
5. 解:如图，⊙O的周长为30cm，即AC=30cm，
高是40cm，则BC=40cm
由勾股定理得AB =50cm．
故爬行一圈的路程是50cm；
（2）⊙O的周长为80cm，即AC=80cm，
绕一圈爬行100cm，则AB = 100cm，
高BC = 60cm．
∴树干高=60×10=600cm=6m．
故树干高6m
6. 解：由题意，得，，，
∵AD∥BC，
∴.
∴.
∴.
∴，即.
设，则，，
在Rt△中，.
即，
解得. 即.
∴.
∴.
7. 解：∵四边形ABCD是正方形
∴CD=AD=BC=AB=9，∠D= ∠C=90°
∴CF=BC-BF=2
在Rt△ADE中，∠DAE+ ∠AED=90°
∵AE⊥EF于E
∴∠AED+ ∠FEC=90°
∴∠DAE=∠FEC
∴△ADE∽△ECF
∴ ∴
解得x1=3，x2=6
∵DE>CE ∴DE=6
本题也可以利用勾股定理解答：连接AF，设DE=x，则EC=9-x
在Rt⊿ADE中，; 在Rt⊿ECF中，;
在Rt⊿AEF中，; ∴=+
又∵在Rt⊿ABF中，；∴+
解得x1=3，x2=6 ∵DE>CE ∴DE=6
A
B
C
D
E
C
A
B
D
E
F
A
B
C
D
E
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勾股定理的应用
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课前回顾
勾股定理
c
a
b
C
A
B
∵∠C=90°
∴a2+b2=c2
逆命题
A
B
我怎么走会最近呢
有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 （π取3）
探究1
B
A
C
d
A
B
C
A
B
C
当圆柱高为12cm，
底面周长为18cm时，
蚂蚁怎么走最近呢？
方案
方案
方案
蚂蚁A→B的路线
B
A
C
d
12
3
所走路程为高+直径=12+2×3=18cm
方案
A
B
C
所走路程为高 +πr
=12+3×3=21cm
方案
侧面展开
A
B
C
A
B
C
方案
A
B
C
B
A
C
3
O
12
侧面展开图
在Rt△ABC中，
利用勾股定理可得，
A
B
C
12
怎样计算AB？
比较方案 ，可得，方案 为最短路径，最短
路径是15cm
立体图形 平面图形 直角三角形模型。
1、线段公理
两点之间，线段最短
在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则
a2+b2=c2.
2、勾股定理
总结
展开
勾股定理
如图,一油桶高2米,底面直径1米,一只壁虎由A到B吃一害虫,需要爬行的最短路程是多少
A1
A
B
B
练习1
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.
最短路径：
在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）
拓展思考
B
A
前面
右面
上面
后面
左面
下面
A
B1
前面
右面
B
A
B2
B
前面
上面
左面
上面
A1
B3
A
B4
左面
后面
A
B5
A
B6
下面
后面
下面
右面
从A到B共有六种最短路径
最短路径为
B
A
AB=
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
探究2
解：连接BD
∴AD和AB垂直．
A
D
B
C
当刻度尺较短时，有多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
想一想
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
x
X+1
5
1
探究3
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
x
X+1
5
1
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
D
C
A
B
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.
大于
能
1m
练习2
１、立体图形中路线最短的问题:
把立体图形展开，得到平面图形．
根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
２、解决实际问题:
将实际问题抽象为数学问题.
构建直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题．
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
总结
1.在△ABC中，∠B =90°AB＝c，BC＝a，AC＝b。
⑴若a =9，b =15，则c = ；
⑵若a =6，c =8，则b = ；
⑶已知a:c =3:4, b =25,求c = ____.
2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，
使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到
原来的两倍，问斜边扩大到原来的_____倍
12
10
20
2
达标测试
3、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草.（假设1米为2步）
3
4
“路”
A
B
C
5
4
A
B
C
4.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少
A
B
C
4
1
B’
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°
∴ △ABB’是直角三角形
n=90
∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∴ 2π=
4nπ
180
∴ BB’=
答:蚂蚁爬行的最短路线为 .
5、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6米，问至少需要多长的梯子？
8m
B
C
A
6m
解：在Rt△ABC中根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
=36+64
=100
即：AC=10
答：梯子至少长10米。
1.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 说明理由。
A
B
C
D
2米
2.3米
应用提高
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H．
分析
解：
CD＝
CH＝0.6＋2.3
＝2.9(米)＞2.5(米).
因此,高度上有0.4米的余量
所以,卡车能通过厂门．
在Rt△OCD中，由勾股定理得
＝
＝0.6米，
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2
2.3
OC＝1/2x2=1米 (大门宽度一半)，
OD＝1/2x1.6=0.8米（卡车宽度一半）
O
A
１.２米
C
D
3.6米
B
解：AB2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52
∵11.52＞32
所以能通过
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、学会用勾股定理求解问题。
3、理解了数形结合的思想。
2、将实际问题抽象成数学图形。
布置作业
教材15页习题第3、4题。
