湖南省长沙市一中2009-2010学年高二下学期第二次学业水平模拟考试数

湖南省长沙市一中学业水平考试数学模拟试题（二）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．时量120分钟．满分100分.
审核人：陈亮
校对：潘虹
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M
=｛-2，0，2｝，N
=｛0｝，则下列结论正确的是
（
）
A．
B．N∈M
C．NM
D．MN
2．右图是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑
结构为
（
）
A．顺序结构
B．判断结构
C．条件结构[]
D．循环结构
3．如果，那么下列不等式一定成立的是
（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，一个空间几何体正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
（
）
A．
B．
C．
D．
5．在同一坐标系中，函数y
=与y
=的图象之间的关系是
（
）
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y
=
x对称
6．如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
7．要得到函数y
=
sin的图象，只要将函数y
=
sin2x的图象
（
）
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
8．设数列是等差数列，且是数列的前项和，则（
）
A．
B.
C．
D
.
9．设a，b表示两条不同的直线，表示平面，则以下命题正确的有
（
）
①；
②；
③；
④．
A．
①②
B．
①②③
C．
②③④
D．
①②④
10．若是的三边，直线与圆相离，则一定是
　　　
　(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．一个盒子中装有3个完全相同的小球，分别标以号码1，2，3，从中任取一球，则取出2号球的概率是
.
12．甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打发子弹，命中环数如下
甲
6
8
9
9
8
乙
10
7[]
9
7
7
如果选择甲、乙二人中的一个去参加比赛，你应选择__________.
13．如果，，那么等于__________.
14．已知的三边长分别为，则的值为__________.
15．当x、y满足条件时，目标函数z
=
x+3y的最大值为____
_____．
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分6分)
心脏跳动时，血压在增加或减小．心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别为收缩压和舒张压．设某人的血压满足函数关系式P
(t)
=
95
+
A
sin，其中P
(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图象如图所示．
（1）根据图象写出该人的血压随时间变化的函数解析式；
（2）求出该人的收缩压，舒张压及每分钟心跳的次数．
17．(本小题满分8分)
如图，在正三棱柱中，已知．
（1）求正三棱柱的体积；
（2）直线所成角的正弦值.
18．(本小题满分8分)
高三年级有500名学生，为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组
频数
频率
[85，95）
①
②
[95，105）
0.050
[105，115）
0.200
[115，125）
12
0.300
[125，135）
0.275
[135，145）
4
③
[145，155）
0.050
合计
④
（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为
,
,
,
；
（2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；
（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129，155]中的概率．
19．(本小题满分8分)
已知两圆相交于点A(1，3)
，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y+c=0上.
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）若其中一个圆的圆心在y轴上，求该圆的方程．
20．(本小题满分10分)
已知二次函数f
(x)
=
x2
–
16x
+
p
+
3．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为
12
–
q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b
–
a)
湖南省长沙市一中学业水平考试数学模拟试题（二）答案
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．时量120分钟．满分100分.
审核人：陈亮
校对：潘虹
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M
=｛-2，0，2｝，N
=｛0｝，则下列结论正确的是
（
C
）
A．
B．N∈M
C．NM
D．MN
2．右图是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑
结构为
（
C
）
A．顺序结构
B．判断结构
C．条件结构
D．循环结构
3．如果，那么下列不等式一定成立的是
（
C
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，一个空间几何体正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
（
C
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由三视图知，该几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥，所以圆锥的全面积S全
=，故选C．
5．在同一坐标系中，函数y
=与y
=的图象之间的关系是
（
A
）
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y
=
x对称
6．如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是
（
D
）
A．
B．
C．
D．
7．要得到函数y
=
sin的图象，只要将函数y
=
sin2x的图象
（
D
）
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
8．设数列是等差数列，且是数列的前项和，则（
B
）
A．
B.
C．
D
.
【解析】由所以a5
=
a2
+
3d
=
–6
+
3×2
=
0，于是S5
=
S4
+
0
=
S4，故选B．
9．设a，b表示两条不同的直线，表示平面，则以下命题正确的有
（
A
）
①；
②；
③；
④．
A．
①②
B．
①②③
C．
②③④
D．
①②④
【解析】易知①②正确；对于③，b可能在内；对于④，a可能平行平面，故选A．
10．若是的三边，直线与圆相离，则一定是
　　　
　(
C
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
【解析】由已知得，，故是钝角三角形．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．一个盒子中装有3个完全相同的小球，分别标以号码1，2，3，从中任取一球，则取出2号球的概率是
.
12．甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打发子弹，命中环数如下
甲
6
8
9
9
8
乙
10
7
9
7[]
7
[]
如果选择甲、乙二人中的一个去参加比赛，你应选择____甲______.
【解析】故选甲．
13．如果，，那么等于
.
【解析】由已知得，
14．已知的三边长分别为，则的值为.
【解析】由余弦定理得，
15．当x、y满足条件时，目标函数z
=
x+3y的最大值为_____12_____．
【解析】在直角坐标系内画出可行域为△OAB(O为原点)，A，B(3，3)，由图可知，最优解为B
(3,3)，故Zmax
=
12．
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分6分)[]
心脏跳动时，血压在增加或减小．心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别为收缩压和舒张压．设某人的血压满足函数关系式P
(t)
=
95
+
A
sin，其中P
(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图象如图所示．
（1）根据图象写出该人的血压随时间变化的函数解析式；
（2）求出该人的收缩压，舒张压及每分钟心跳的次数．
【解析】（1）由图象可知，振幅A
=
120
–
95
=
25，
周期T
=，知，于是
P
(t)
=
95
+
25
sin160t．
………………………3分
（2）收缩压为95
+
25
=
120(mmHg)；
舒张压为95
–
25
=
70
(mmHg)，
心跳次数为=
80次．………………………6分
17．(本小题满分8分)
如图，在正三棱柱中，已知．
（1）求正三棱柱的体积；
（2）直线所成角的正弦值.
【解析】（1）.
…………3分
（2）令为中点，连，则面．
再连，得为与面所成角．……………
6分
在中，，，.
故直线所成角的正弦值.
………………………8分
18．(本小题满分8分)
高三年级有500名学生，为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组
频数
频率
[85，95）
①
②
[95，105）
0.050
[105，115）
0.200
[115，125）
12
0.300
[125，135）
0.275
[135，145）
4
③
[145，155）
0.050
合计
④
（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为
,
,
,
；
（2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；
（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129，155]中的概率．
【解析】（1）①1；②0.025；③
0.1；④1…………3分
（2）频率分布直方图如图．
………………………5分
（2）利用组中值算得平均数为：90×0.025
+
100×0.05
+
110×0.2
+
120×0.3
+
130×0.275
+
140×0.1
+
150×0.05
=
122.5；
故总体落在[129，155]上的概率为
×0.275
+
0.1
+
0.05
=
0.315．
………………………8分
19．(本小题满分8分)
已知两圆相交于点A(1，3)
，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y+c=0上.
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）若其中一个圆的圆心在y轴上，求该圆的方程．
【解析】（1）由于AB的中点C在x
–
y
+
c
=
0上，得m
=
–2c
+
1
①
又由直线AB与直线x
–
y
+
c
=
0垂直，得m
–
1
=
4
②
联立①②解得m
=
5，c
=
–2，∴弦AB所在直线的方程为x
+
y
–
4
=
0.
…………4分
（2）由（1）知，两圆的圆心均在直线x
–
y
–
2
=
0上，又由题设知，所求圆的圆心E
(0，–2)半径r2
=
|EA|2
=
26，故所求的圆的方程为x2
+
(y
+
2)2
=
26（或x2
+
y2
+
4y
–
22
=
0）…8分
20．(本小题满分10分)
已知二次函数f
(x)
=
x2
–
16x
+
p
+
3．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为
12
–
q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b
–
a)
【解析】（1）∵二次函数f
(x)=
x2
–
16x
+
p
+
3的对称轴是，∴函数在区间上单调递减，则函数在区间上存在零点须满足．
……………2分
即(1
+
16
+
p
+
3)(1
–
16
+
p
+
3)≤0，
解得–20≤p≤12．
………………………4分
⑵
当时，即0≤q≤6时，的值域为：[f
(8)，f
(q)]，即[p–61,
q2
–16q
+
p
+
3].
∴区间长度为q2
–
16q
+
p
+
3
–
(p
–
61)
=
q2
–
16q
+
64
=
12
–
q．
∴q2
–
15q
+
52
=
0
∴，经检验不合题意，舍去．……6分
当时，即6≤q<8时，的值域为：，即[p
–
61，p
–
57]
∴区间长度为p
–
57
–
(p
–
61)
=
4
=
12
–
q
∴q
=
8．经检验q
=
8不合题意，舍去.
…8分
当q≥8时，的值域为：[f
(q)，f
(10)]，即
[q2
–
16q
+
p
+3，p
–
57].
∴区间长度为p
–
57
–(q2
–
16q
+
p
+
3)
=
–q2
–
16q
–
60
=
12
–
q,
∴q2
–
17q
+
72
=
0
,
∴q
=
8或q
=
9．经检验q
=
8或q
=
9满足题意．
所以存在常数q
=
8或q
=
9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q．
………………………10分
r
=
0？
否
是
n不是质数数数数
n是质数
正视图
侧视图
俯视图
B
D
C
A
r
=
0？
否
是
n是质数
n不是质数数数数
正视图
侧视图
俯视图
B
D
C
A