苏科版数学九年级下册第六章《图形的相似》（相似图形） 专题练习（解析版）

第六章《图形的相似》（相似图形）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．1
3．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（　　）
A．BC=3DE
B．
=
C．△ADE∽△ABC
D．S△ADE=S△ABC
5．如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（　　）
A．q＜r，QE=RC
B．q＜r，QE＜RC
C．q=r，QE=RC
D．q=r，QE＜RC
　
二．填空题
6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于　　．
7．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=　　．
8．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为　　．
9．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是　　．
10．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC=　　．
11．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD=　　．
12．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么=　　．
三．解答题
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
14．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值．
15．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
16．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC=6，BC边上的高AN=4．直角梯形DEFG的底EF在BC边上，EF=4，点D、G分别在边AB、AC上，且DG∥EF，GF⊥EF，垂足为F．设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长．
18．如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求EC：AC的值．
19．已知：∠1=∠2，CD=DE，EF∥AB，求证：EF=AC．
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
21．如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ=2PN．
22．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
23．如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．
24．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则=．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
25．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG=AF AB．
26．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：
+=．
27．如图，已知：过△ABC的底边BC的中点D任作一条直线交AC于点Q，交AB的延长线于点P，作AE∥BC交DQ的延长线于点E．求证：PD QE=DQ PE．
28．数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
　
参考答案与解析
一．选择题
1．（2016 兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．
　
2．（2016 杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．1
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
　
3．（2016 淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5，
∵l2∥l3，
∴=
∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，
∴=．
故选A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
　
4．（2016 黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（　　）
A．BC=3DE
B．
=
C．△ADE∽△ABC
D．S△ADE=S△ABC
【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE∥BC，
∴==，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴=，B结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，
∴S△ADE=S△ABC，D结论错误，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
　
5．（2016 台湾）如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（　　）
A．q＜r，QE=RC
B．q＜r，QE＜RC
C．q=r，QE=RC
D．q=r，QE＜RC
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，根据已知条件得到，根据平行线分线段成比例定理得到PQ∥CD，
=4，根据平行线间的距离相等，得到q=r，证得=，于是得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∵AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，
∴，
∴PQ∥CD，
∴=4，
∵平行线间的距离相等，
∴q=r，
∵=4，
∴=，
∵AE＜AC，
∴QE＜CR．
故选D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
　
二．填空题（共7小题）
6．（2016 济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于　　．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴=，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
　
7．（2016 锦州）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=　　．
【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，即=，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴=，即=，
解得：AF=，
则EF=AE﹣AF=10﹣=，
故答案为：
【点评】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
　
8．（2016 阜新）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为　　．
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD=AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，
∴OA=．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
　
9．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是　2　．
【分析】根据BC=AC可得=，再根据条件AD∥BE∥CF，可得=，再把DE=4代入可得EF的值．
【解答】解：∵BC=AC，
∴=，
∵AD∥BE∥CF，
∴=，
∵DE=4，
∴=2，
∴EF=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
　
10．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC=　4　．
【分析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE=2AD，
∴BD=2AD，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴EC=2AE=2×2=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的关键．
　
11．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD=　4.5　．
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=3，则AD=AF+FD=4.5即可．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴，则，
又EF∥CD，
∴，则，
∴，
即，
解得：AF=3，
∴AD=AF+FD=3+1.5=4.5，
即AD的长是4.5；
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出AF是解决问题的关键．
　
12．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么=　　．
【分析】由三角形的重心定理得出=，
=，由平行线分线段成比例定理得出=，即可得出结果．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴=，
=，
∵EF∥BC，
=，
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关键
　
三．解答题（共16小题）
13．（2016 南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
【分析】（1）由△ABC∽△ACO，得=，由此即可求出OA．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解决问题．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出==，由PM+QM=，可以求出PM，QM，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACO，
∴=，
∵AB===13，
∴OA==．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，
则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6，
在Rt△PFQ中，PQ===．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，
∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，
∴PF∥GQ，
∴△PMF∽△QMG，
∴==，
∵PM+QM=，
∴PM=，MQ=，
∴|PM﹣QM|=．
【点评】本题考查三角形相似综合题、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
　
14．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值．
【分析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出，证出AB∥CF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
又∵，
∴，
∴AB∥CF，
∴=，
∵，
∴=2，
∴=2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理以及逆定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明AB∥CF是解决问题的关键．
　
15．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，∴AB=4，
∴BC=14﹣4=10；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
　
16．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC=6，BC边上的高AN=4．直角梯形DEFG的底EF在BC边上，EF=4，点D、G分别在边AB、AC上，且DG∥EF，GF⊥EF，垂足为F．设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，证出四边形GFMN为矩形，得出GF=MN=x，由平行线分线段成比例定理得出=，得出=，因此DG=6﹣x，即可得出结果．
【解答】解：∵DG∥EF，
∴DG∥BC，
∴=，
∵GF⊥EF，AN⊥BC，四边形DEFG为直角梯形，
∴四边形GFMN为矩形，
∴GF=MN=x，
∵DG∥BC，
∴===，
∴=，
即：
=，
解得：DG=6﹣x，
∴y= MN= x=﹣x2+5x，
即y关于x的函数关系式为：y═﹣x2+5x（0＜x＜4）．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、直角梯形面积的计算、矩形的判定与性质；本题难度适中，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．
　
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长．
【分析】设MN=x，则AN=10﹣x，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．
【解答】解：设MN=x，则AN=10﹣x，
∵DE∥BC，
∴，
即，
即MN的长为6．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
　
1如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求EC：AC的值．
【分析】取BC中点G，则CG=BC，连接GF，得出FG∥AC，FG=AC，证出EC=FG，进而得出答案．
【解答】解：取BC中点G，则CG=BC，连接GF，如图所示：
又∵F为AB中点，
∴FG∥AC，且FG=AC，
∴EC∥FG，
∴，
∵CG=BC，DC=BC
设CG=k，那么DC=BC=2k，DG=3k
∴即，
∵FG=AC
∴，
∴EC：AC=1：3．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理；根据已知得出正确辅助线是解题关键．
　
19．已知：∠1=∠2，CD=DE，EF∥AB，求证：EF=AC．
【分析】根据EF∥AB得=；根据角平分线的性质有=．由ED=CD得证．
【解答】证明：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵∠1=∠2，
∴DM=DN，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD=BD：CD，
∴=．
∵EF∥AB，
∴=；
∴，
又∵CD=DE，
∴EF=AC．
【点评】此题考查平行线分线段成比例的性质及角平分线的性质，难度不大．
　
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出===，代入求出DF、AE即可求出答案．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，DF=EC
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴===，
∵AC=8，BC=12，
∴AF=2，DF=3
∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6，
∴DE=FC=6，DF=EC=3
∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．
答：四边形DECF的周长是18．
【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE=CF，DF=CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．
　
21．如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ=2PN．
【分析】根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．
【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD，
∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴==．
又∵=，
∴OQ=3DN．
∴CQ=OQ﹣OC=3DN﹣OC=3DN﹣AD，AN=AD﹣DN．
∴AN+CQ=2DN．
∴==2．
即MN+PQ=2PN．
【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．
　
22．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
【分析】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．
【解答】解：∵PQ∥BC，
∴，，
∴MN∥BC，
∴==，
∴，
∴，
∵AP=AQ，
∴PQ=3．
【点评】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．
　
23．如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到=，证明MN∥BC，证明结论．
【解答】解：△DMN为等边三角形，
∵DE∥AB，且△ABC为等边三角形
∴∠EDC=∠ABC=60°，
=，
=，
∴=，
∴MN∥BC，
∴∠MND=∠BDN=60°，∠MND=∠MDC=60°，
∴△DMN为等边三角形．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理和等边三角形的判定和性质是解题的关键．
　
24．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则=．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到=，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．
【解答】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则=，又BD=2DC，AD=2，
∴DE=1，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，
∠ACE=75°，
∴AC=AE=3．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．注意辅助线的作法要恰当．
　
25．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG=AF AB．
【分析】（1）由平行可得=，可求得AC，且EC=AC﹣AE，可求得EC；
（2）由平行可知==，可得出结论．
【解答】（1）解：
∵DE∥BC，
∴=，
又=，AE=3，
∴=，
解得AC=9，
∴EC=AC﹣AE=9﹣3=6；
（2）证明：
∵DE∥BC，EF∥CG，
∴==，
∴AD AG=AF AB．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
　
26．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：
+=．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出，，证出=1，即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥BD，EF∥BD，
∴，，
∴==1，
∴+=．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应关系是本题的关键．
　
27．如图，已知：过△ABC的底边BC的中点D任作一条直线交AC于点Q，交AB的延长线于点P，作AE∥BC交DQ的延长线于点E．求证：PD QE=DQ PE．
【分析】首先由AE∥BC，得出△PBD∽△PAE，△DCQ∽△EAQ，得出PD：PE=BD：AE，DQ：EQ=CD：AE，进一步由D为BC的中点得出BD=CD，等量代换得出PD：PE=DQ：EQ，整理得出答案即可．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴△PBD∽△PAE，△DCQ∽△EAQ，
∴PD：PE=BD：AE，DQ：EQ=CD：AE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴PD：PE=DQ：EQ，
∴PD QE=DQ PE．
【点评】此题考查三角形相似的判定与性质，由平行得出相似是基本的判定方法，进一步利用性质得出结论解决问题．
　
28．数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得OB=OD，又由OM⊥BC，易证得OM∥DC，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式；
（2）作OM∥CD交BC于点M，利用（1）中的方法，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于点N，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式．
【解答】解：（1）如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=DC=，CM=BC=．
∵OM∥DC，
∴，
即，
解得．定义域为x＞0．
（2）（x＞0）．
（3）如右图：
AD∥BC，，．
过点O作ON∥CD，交BC于点N，
∴，
∴．
∵ON∥CD，，
∴，
∴．
∵ON∥CD