第八单元数学广角——找次品单元练习 （含答案解析）人教版数学五年级下册
文档属性
| 名称 | 第八单元数学广角——找次品单元练习 （含答案解析）人教版数学五年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 469.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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第八单元数学广角——找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．27个零件中有1个轻一点的次品，用天平称保证找出这个次品至少要称（ ）次。
A．5 B．4 C．3 D．2
2．判断下面的说法，正确的有（ ）个。
①棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等；
②比大，比小的分数只有1个；
③老师用“不空闲通知法”打电话通知14名学生（通知1人要1分钟），最少需要4分钟；
④用天平秤称的方式从8个零件中找一个次品（次品稍重），至少要2次才能保证找出来；
⑤分数单位是的最简真分数的和是2。
A．2 B．3 C．4 D．5
3．有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称（ ）一定能找出这枚硬币。
A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定
4．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。
A．8 B．32 C．81 D．96
5．16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．10盒外包装完全一样的月饼中有1盒质量偏轻，用天平至少称（ ）次能保证把它找出来。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．有12颗颜色和外形一样的珍珠，其中有一颗是假的，比真的珍珠要轻，给你一架无砝码的天平，最少称( )次就能保证找出假珍珠。
8．15盒月饼中有一盒月饼质量不过关，其余14盒完全一样，用天平称至少要称( )次才能找出这盒月饼．
9．有30瓶水，其中有29瓶质量相同。另一瓶是糖水，比其它的水略重一些。至少要称( )次才能保证找出这瓶糖水。
10．一箱20瓶外观相同的饮料，有1瓶重些，至少要称( )次一定能找出重的那瓶。
11．有5瓶形状、外观相同的钙片，其中1瓶少了3片。下图是同学们用天平来称的实验情况，哪几幅图的实验表示称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，请填上合适的序号( )。
12．有8个外观一样的乒乓球，其中1个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品。
13．24瓶药品中有一瓶稍轻而不合格，至少称( )次能保证找出次品。
14．在15个同型号的乒乓球里，有1个是次品，比其他乒乓球都略重一点．用天平称，至少称( )次就一定能找出次品．
三、判断题
15．从3件物品中找1件较重的物品，至少要用天平称2次才能保证找出来。( )
16．有九瓶水，其中一瓶质量稍重些，其余八瓶质量相同。用天平至少称3次保证能找出稍重的这瓶水。( )
17．有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( )
18．如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )
四、解答题
19．有700枚外表完全相同的硬币，其中有1枚伪币，其余都是真币，伪币比真币轻。现在只有一台没有砝码的天平。那么，利用这台天平最少称几次，就能找出伪币。
20．有10个羽毛球，有一个是次品（轻一些），用天平至少称几次能保证找出次品？
21．一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？
22．有20袋糖，其中19袋每袋100克，另一袋不足100克．至少称几次能保证找出这袋糖果．用你喜欢的方法表示称的过程．
23．有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来
《第八单元数学广角——找次品》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B B C C C
1．C
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将27个零件分成（9、9、9），称（9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中9个中；将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3个中；将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共称3次。
故答案为：C
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
2．B
【分析】一个棱长6dm的正方体，它的体积和表面积数值相等，但意义不同，体积单位和面积单位，单位不同，不能直接比较；
比大，又比小的同分母的分数只有一个是，而不是同分母的分数有很多；
每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，由此找出通知14个人需要的时间；
天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小；
先写出分数单位是的所有最简真分数，再进一步求和即可。
【详解】①正方体的表面积和体积意义不同，计算方法不同，计量单位不同，无法进行比较；所以棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等是错误的；
②比大，又比小的同分母的分数只有一个是，而不是同分母的分数有很多，比如：、、等，有无数个，所以原题表述不正确；
③第一分钟老师和学生一共有2人；第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2＝2人，第二分钟老师和学生一共有：2＋2＝4人；第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4＝4人，第二分钟老师和学生一共有：4＋4＝8人；第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8＝8人，第三分钟老师和学生一共有：8＋8＝16人；16＞14，所以用4分钟就可以通知到所有人，原题表述正确；
④第一次称量：把8个零件分成3份，3、3、2，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边一边1个，则托盘上升一边为次品；情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；综上所述，至少需要称2次，才能找到次品，原题表述正确；
⑤分数单位是的最简真分数有：、、、
＋＋＋
＝＋＋
＝＋
＝
＝2
原题表述正确。
正确的说法有3个。
故答案为：B
【点睛】本题考查了数量的比较、分数间分数个数知识、最优问题、利用天平判断物体质量的技能、明确最简真分数的概念。
3．B
【分析】将这3枚硬币编号为1号、2号、3号，先将1号、2号称量，若平衡，3号就是要找的；若不平衡，3号为标准的，再将1号、3号称量，若平衡，2号就是要找的，若不平衡，1号就是要找的。
【详解】有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称2次一定能找出这枚硬币；
故答案选：B。
【点睛】需要注意的是，本题中并不知道这枚硬币是比标准硬币轻，还是比标准硬币重，所以并不用三分法的结论求解。
4．C
【分析】将选项中的个数分成3份，逐项分析。
【详解】A.8（3、3、2），两次即可；B.32（11、11、10），4次即可；C.81（27、27、27），27（9、9、9），9（3、3、3），4次即可；D.96（32、32、32），需要5次。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
5．C
【分析】可运用“三分法”及“尽量均分”的原则，将16个零件先分为3组，分别是5、5、6，接着逐次在天平上称量，直到找到重一些的那个零件，就是次品。
【详解】如图：
结合图示可知，至少称3次能保证找到次品。
故答案为：C。
【点睛】零件总数的数据稍大一些，在分配及称量的过程中可能会比较繁琐，故在完成称量时，要返回第一个步骤，仔细检查一遍；此外，经过一系列的思辨过程，能够理解“三分法”及“尽量均分”的优化策略是解题关键。
6．C
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】第一次，把10盒月饼分成三份：3盒、3盒、4盒，取3盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中；若天平不平衡，则取较轻的一份继续第二次称量。
第二次，取含有较轻的一份分成三份：1盒、1盒、1（或2）盒，取两盒分别放入天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份，若不平衡，可找到较轻的一盒。
第三次，把含较轻的2个放在天平两侧，即可找到这盒较轻的月饼。
所以用天平至少称3次能保证把较轻的一盒找出来。
故答案：C
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取月饼的盒数。
7．3
【分析】把12颗珍珠平均分成3份，每份4个，取两份放天平两端，如果平衡，则次品在剩余一份中，再把剩余的4个分成（1，1，2）天平两端各放一个，如果不平衡，较轻的一个是次品，如果平衡，则把剩余两个放在天平两端，较轻的一个是次品。
把12颗珍珠平均分成3份，每份4个，取两份放天平两端，如果不平衡，则次品在较轻的一份中，把较轻的1份分成（1，1，2）天平两端各放一个，如果不平衡，较轻的一个是次品，如果平衡，则把剩余两个放在天平两端，较轻的一个是次品。
【详解】1＋1＋1＝3（次），由分析可知，最少称3次就能保证找到假珍珠。
【点睛】找次品时，把待测物体分成3份，能够平分的就平均分成3份，不能平分的，应让多的或少的一份之差1，这样才能保证称的次数最少找出次品。
8．3
【分析】用天平找次品基本方法技巧规律，分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能够平均分的，应让多的与少的一份只相差1.这样才能保证称的次数最少就能找出次品。
【详解】15（5,5,5）称1次，若不平衡，则轻的（或重的）一端有次品，再称1次，5（2,2,1），若不平衡，则轻的（或重的）一端有次品，再称1次，共计3次。
15（5,5,5）称1次，若平衡，则剩下的有次品，接着再称，5（2,2,1），也是共称3次。
【点睛】采用“均分法”“三分法”可以很快找到次品。
9．4
【分析】把30瓶水分成3份，能够均分的要平均分，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，再利用天平性质找出次品。
【详解】第一次，把30瓶分成3份：10瓶、10瓶、10瓶，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，糖水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取含有糖水的那份分成3份：3瓶、3瓶、4瓶，取3瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则糖水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取含有糖水的那份（3或4瓶），取两瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则糖水是未取的那瓶或在未取的那份中，若天平不平衡，较重的那瓶是糖水；
第四次，将含糖水的那份（2瓶），分别放在天平两侧，较重的那瓶是糖水。
以上至少称4次能保证找出这瓶糖水。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
10．3/三
【分析】第一次，把20瓶饮料分成3份：7瓶、7瓶、6瓶，取7瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取含有较重的一份（7瓶或6瓶），分成3份：2瓶、2瓶、2瓶（或3瓶）取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取含有较重的一份（2瓶或3瓶），取其中2瓶放在天平两侧，即可找到较重的一瓶，
【详解】根据分析得，在这箱饮料里，至少要称3次才能找到较重的那瓶。
【点睛】此题的解题关键是掌握找次品的方法，解答本题的依据是：天平秤的平衡原理。
11．②
【分析】把5瓶钙片分成2瓶，2瓶，1瓶三份，第一次：把两份2瓶的钙片分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶即是少了3片的；若不平衡，第二次：把在天平秤较高端的2瓶钙片，分别放在天平秤两端，在天平秤较高端钙片即为少3片的那瓶，据此即可解答。
【详解】根据分析得，如果只称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，说明在第一次称重的过程中，左右两边的2瓶是平衡的，则未取的那一瓶就是少了3片的那瓶钙片，图②中的实验即可表示。
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
12．2
【分析】将8个乒乓球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在上翘的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在上翘的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。据此解答即可。
【详解】将8个乒乓球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在上翘的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在上翘的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中，故至少称2次能可以保证找出次品。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
13．3
【分析】根据找次品的方法， 在用天平找次品时（只含一个次品，已知次品比正品重或轻），所测物品数目与测试的次数有一定的关系：
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数
2~3 1
4~9 2
10~27 3
28~81 4
据此关系即可填空。
【详解】据分析知：所测数目是24瓶，在10~27范围内，故要3次能保证找出次品。
【点睛】掌握找次品时所测物品数目与测试的次数之间的关系，这是解决此题的关键。
14．3
【详解】试题分析：将15个乒乓球分成（5，5，5）三组，利用天平平衡原理，按照找次品的规律，即可解答．
解：把15个乒乓球分成（5，5，5）三组，把任意一组放到天平上称，如平衡则次品在没称的一组中，如不平衡则在下沉的一组中，找出有次品的一组，再把这5个乒乓球分成（2，2，）三组，把2个一组的放在天平上称，如平衡则次品是没称的一个，需2次，
如不平衡，则再把一沉一组的2个分成（1，1）再放到天平上称，下沉的一个就是次品，需要3次．
故答案为3．
15．×
【详解】把3件物品分成（1，1，1），取其中两个放在天平两端，如果平衡，次品是剩下的那个；如果不平衡，重的一边是次品。故只需要1次就保证找出次品。
故答案为：×
16．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】其中一瓶质量稍重些，我们看作次品；
第一次在天平两边各放3瓶水，可能出现两种情况：
情况一：如果天平平衡，则次品在剩余的3瓶水之中，则进行第二次称量，即把剩余的3瓶中的2瓶分别放到两盘中，如果不平衡托盘下降者为次品，如果平衡，剩下的1瓶为次品；
情况二：如果天平不平衡，次品在托盘下降那边的三个里面，则进行第二次称量，取托盘下降的三瓶水中的两瓶放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩余的那瓶是次品，如果不平衡，下降者为次品；
所以，总的来说，称两次就可以找出质量稍重些的一瓶，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
17．√
【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。
【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7；
先将第一组和第二组进行称量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；
故答案为：√。
【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。
18．√
【分析】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。
【详解】
根据分析得，
用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。
故答案为：√
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
19．6次
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。）
从表中可以发现规律：物品数量每一阶段的分段点都是3的次方：3＝31；9＝32；27＝33；81＝34；243＝35……
因此可以得出结论：当物品数量大于3n－1小于等于3n时，保证找出次品至少要称n次。
【详解】因为＝243，＝729
＜700＜
答：利用这台天平最少称6次，就能找出伪币。
【点睛】掌握要辨别的物品数目与保证能找出次品至少需要的次数是快速解题的关键。
20．3次
【分析】根据题意，第一次，把10个羽毛球分成3份：3个、3个、4个，取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有次品的一份（3个或4个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品；第三次，取含有次品的两个羽毛球分别放在天平两侧，即可找到次品。据此解答。
【详解】第一次，把10个羽毛球分成3份：3个、3个、4个，取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份（3个或4个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品；
第三次，取含有次品的两个羽毛球分别放在天平两侧，即可找到次品。
答：用天平至少称3次能保证找出次品。
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取羽毛球的个数。
21．至少称4次；
将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。
答：至少称4次。
【点睛】本题考查了找次品，不知道轻重，要确定次品是轻还是重。
22．解：20（6，6，8），把两个6箱的糖果放在天平上称，如不平衡，则把上翘的一组，再分成（1，1，1）放在天平上称，可找出次品．需要2次，
如平衡，则8（4，4），再放在天平上称，找出上翘的一组，再分成（1，1），即可找出次品，需要3次．
所以至少称3闪，能保证找出这袋糖果．
答：至少称3次，能保证找出这袋糖果来．
【详解】把20包糖果分成（6，6，8），把两个6包的糖果放在天平上称，如不平衡，则把上翘的一组，再分成（1，1，1）放在天平上称，可找出次品．如平衡，则把8包分成（4，4），再放在天平上称，找出上翘的一组，再分成（1，1），即可找出次品．据此解答．
23．用天平找次品：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
【分析】根据题意，可以选两块手表进行称重，如果平衡，说明第三块是次品，如果不平衡，则接下去选择两块中的一块继续与另一块手表称重，依次进行即可。
【详解】答：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
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第八单元数学广角——找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．27个零件中有1个轻一点的次品，用天平称保证找出这个次品至少要称（ ）次。
A．5 B．4 C．3 D．2
2．判断下面的说法，正确的有（ ）个。
①棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等；
②比大，比小的分数只有1个；
③老师用“不空闲通知法”打电话通知14名学生（通知1人要1分钟），最少需要4分钟；
④用天平秤称的方式从8个零件中找一个次品（次品稍重），至少要2次才能保证找出来；
⑤分数单位是的最简真分数的和是2。
A．2 B．3 C．4 D．5
3．有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称（ ）一定能找出这枚硬币。
A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定
4．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。
A．8 B．32 C．81 D．96
5．16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．10盒外包装完全一样的月饼中有1盒质量偏轻，用天平至少称（ ）次能保证把它找出来。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．有12颗颜色和外形一样的珍珠，其中有一颗是假的，比真的珍珠要轻，给你一架无砝码的天平，最少称( )次就能保证找出假珍珠。
8．15盒月饼中有一盒月饼质量不过关，其余14盒完全一样，用天平称至少要称( )次才能找出这盒月饼．
9．有30瓶水，其中有29瓶质量相同。另一瓶是糖水，比其它的水略重一些。至少要称( )次才能保证找出这瓶糖水。
10．一箱20瓶外观相同的饮料，有1瓶重些，至少要称( )次一定能找出重的那瓶。
11．有5瓶形状、外观相同的钙片，其中1瓶少了3片。下图是同学们用天平来称的实验情况，哪几幅图的实验表示称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，请填上合适的序号( )。
12．有8个外观一样的乒乓球，其中1个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品。
13．24瓶药品中有一瓶稍轻而不合格，至少称( )次能保证找出次品。
14．在15个同型号的乒乓球里，有1个是次品，比其他乒乓球都略重一点．用天平称，至少称( )次就一定能找出次品．
三、判断题
15．从3件物品中找1件较重的物品，至少要用天平称2次才能保证找出来。( )
16．有九瓶水，其中一瓶质量稍重些，其余八瓶质量相同。用天平至少称3次保证能找出稍重的这瓶水。( )
17．有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( )
18．如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )
四、解答题
19．有700枚外表完全相同的硬币，其中有1枚伪币，其余都是真币，伪币比真币轻。现在只有一台没有砝码的天平。那么，利用这台天平最少称几次，就能找出伪币。
20．有10个羽毛球，有一个是次品（轻一些），用天平至少称几次能保证找出次品？
21．一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？
22．有20袋糖，其中19袋每袋100克，另一袋不足100克．至少称几次能保证找出这袋糖果．用你喜欢的方法表示称的过程．
23．有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来
《第八单元数学广角——找次品》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B B C C C
1．C
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将27个零件分成（9、9、9），称（9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中9个中；将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3个中；将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共称3次。
故答案为：C
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
2．B
【分析】一个棱长6dm的正方体，它的体积和表面积数值相等，但意义不同，体积单位和面积单位，单位不同，不能直接比较；
比大，又比小的同分母的分数只有一个是，而不是同分母的分数有很多；
每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，由此找出通知14个人需要的时间；
天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小；
先写出分数单位是的所有最简真分数，再进一步求和即可。
【详解】①正方体的表面积和体积意义不同，计算方法不同，计量单位不同，无法进行比较；所以棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等是错误的；
②比大，又比小的同分母的分数只有一个是，而不是同分母的分数有很多，比如：、、等，有无数个，所以原题表述不正确；
③第一分钟老师和学生一共有2人；第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2＝2人，第二分钟老师和学生一共有：2＋2＝4人；第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4＝4人，第二分钟老师和学生一共有：4＋4＝8人；第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8＝8人，第三分钟老师和学生一共有：8＋8＝16人；16＞14，所以用4分钟就可以通知到所有人，原题表述正确；
④第一次称量：把8个零件分成3份，3、3、2，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边一边1个，则托盘上升一边为次品；情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；综上所述，至少需要称2次，才能找到次品，原题表述正确；
⑤分数单位是的最简真分数有：、、、
＋＋＋
＝＋＋
＝＋
＝
＝2
原题表述正确。
正确的说法有3个。
故答案为：B
【点睛】本题考查了数量的比较、分数间分数个数知识、最优问题、利用天平判断物体质量的技能、明确最简真分数的概念。
3．B
【分析】将这3枚硬币编号为1号、2号、3号，先将1号、2号称量，若平衡，3号就是要找的；若不平衡，3号为标准的，再将1号、3号称量，若平衡，2号就是要找的，若不平衡，1号就是要找的。
【详解】有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称2次一定能找出这枚硬币；
故答案选：B。
【点睛】需要注意的是，本题中并不知道这枚硬币是比标准硬币轻，还是比标准硬币重，所以并不用三分法的结论求解。
4．C
【分析】将选项中的个数分成3份，逐项分析。
【详解】A.8（3、3、2），两次即可；B.32（11、11、10），4次即可；C.81（27、27、27），27（9、9、9），9（3、3、3），4次即可；D.96（32、32、32），需要5次。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
5．C
【分析】可运用“三分法”及“尽量均分”的原则，将16个零件先分为3组，分别是5、5、6，接着逐次在天平上称量，直到找到重一些的那个零件，就是次品。
【详解】如图：
结合图示可知，至少称3次能保证找到次品。
故答案为：C。
【点睛】零件总数的数据稍大一些，在分配及称量的过程中可能会比较繁琐，故在完成称量时，要返回第一个步骤，仔细检查一遍；此外，经过一系列的思辨过程，能够理解“三分法”及“尽量均分”的优化策略是解题关键。
6．C
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】第一次，把10盒月饼分成三份：3盒、3盒、4盒，取3盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中；若天平不平衡，则取较轻的一份继续第二次称量。
第二次，取含有较轻的一份分成三份：1盒、1盒、1（或2）盒，取两盒分别放入天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份，若不平衡，可找到较轻的一盒。
第三次，把含较轻的2个放在天平两侧，即可找到这盒较轻的月饼。
所以用天平至少称3次能保证把较轻的一盒找出来。
故答案：C
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取月饼的盒数。
7．3
【分析】把12颗珍珠平均分成3份，每份4个，取两份放天平两端，如果平衡，则次品在剩余一份中，再把剩余的4个分成（1，1，2）天平两端各放一个，如果不平衡，较轻的一个是次品，如果平衡，则把剩余两个放在天平两端，较轻的一个是次品。
把12颗珍珠平均分成3份，每份4个，取两份放天平两端，如果不平衡，则次品在较轻的一份中，把较轻的1份分成（1，1，2）天平两端各放一个，如果不平衡，较轻的一个是次品，如果平衡，则把剩余两个放在天平两端，较轻的一个是次品。
【详解】1＋1＋1＝3（次），由分析可知，最少称3次就能保证找到假珍珠。
【点睛】找次品时，把待测物体分成3份，能够平分的就平均分成3份，不能平分的，应让多的或少的一份之差1，这样才能保证称的次数最少找出次品。
8．3
【分析】用天平找次品基本方法技巧规律，分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能够平均分的，应让多的与少的一份只相差1.这样才能保证称的次数最少就能找出次品。
【详解】15（5,5,5）称1次，若不平衡，则轻的（或重的）一端有次品，再称1次，5（2,2,1），若不平衡，则轻的（或重的）一端有次品，再称1次，共计3次。
15（5,5,5）称1次，若平衡，则剩下的有次品，接着再称，5（2,2,1），也是共称3次。
【点睛】采用“均分法”“三分法”可以很快找到次品。
9．4
【分析】把30瓶水分成3份，能够均分的要平均分，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，再利用天平性质找出次品。
【详解】第一次，把30瓶分成3份：10瓶、10瓶、10瓶，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，糖水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取含有糖水的那份分成3份：3瓶、3瓶、4瓶，取3瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则糖水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取含有糖水的那份（3或4瓶），取两瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则糖水是未取的那瓶或在未取的那份中，若天平不平衡，较重的那瓶是糖水；
第四次，将含糖水的那份（2瓶），分别放在天平两侧，较重的那瓶是糖水。
以上至少称4次能保证找出这瓶糖水。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
10．3/三
【分析】第一次，把20瓶饮料分成3份：7瓶、7瓶、6瓶，取7瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取含有较重的一份（7瓶或6瓶），分成3份：2瓶、2瓶、2瓶（或3瓶）取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取含有较重的一份（2瓶或3瓶），取其中2瓶放在天平两侧，即可找到较重的一瓶，
【详解】根据分析得，在这箱饮料里，至少要称3次才能找到较重的那瓶。
【点睛】此题的解题关键是掌握找次品的方法，解答本题的依据是：天平秤的平衡原理。
11．②
【分析】把5瓶钙片分成2瓶，2瓶，1瓶三份，第一次：把两份2瓶的钙片分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶即是少了3片的；若不平衡，第二次：把在天平秤较高端的2瓶钙片，分别放在天平秤两端，在天平秤较高端钙片即为少3片的那瓶，据此即可解答。
【详解】根据分析得，如果只称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，说明在第一次称重的过程中，左右两边的2瓶是平衡的，则未取的那一瓶就是少了3片的那瓶钙片，图②中的实验即可表示。
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
12．2
【分析】将8个乒乓球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在上翘的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在上翘的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。据此解答即可。
【详解】将8个乒乓球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在上翘的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在上翘的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中，故至少称2次能可以保证找出次品。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
13．3
【分析】根据找次品的方法， 在用天平找次品时（只含一个次品，已知次品比正品重或轻），所测物品数目与测试的次数有一定的关系：
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数
2~3 1
4~9 2
10~27 3
28~81 4
据此关系即可填空。
【详解】据分析知：所测数目是24瓶，在10~27范围内，故要3次能保证找出次品。
【点睛】掌握找次品时所测物品数目与测试的次数之间的关系，这是解决此题的关键。
14．3
【详解】试题分析：将15个乒乓球分成（5，5，5）三组，利用天平平衡原理，按照找次品的规律，即可解答．
解：把15个乒乓球分成（5，5，5）三组，把任意一组放到天平上称，如平衡则次品在没称的一组中，如不平衡则在下沉的一组中，找出有次品的一组，再把这5个乒乓球分成（2，2，）三组，把2个一组的放在天平上称，如平衡则次品是没称的一个，需2次，
如不平衡，则再把一沉一组的2个分成（1，1）再放到天平上称，下沉的一个就是次品，需要3次．
故答案为3．
15．×
【详解】把3件物品分成（1，1，1），取其中两个放在天平两端，如果平衡，次品是剩下的那个；如果不平衡，重的一边是次品。故只需要1次就保证找出次品。
故答案为：×
16．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】其中一瓶质量稍重些，我们看作次品；
第一次在天平两边各放3瓶水，可能出现两种情况：
情况一：如果天平平衡，则次品在剩余的3瓶水之中，则进行第二次称量，即把剩余的3瓶中的2瓶分别放到两盘中，如果不平衡托盘下降者为次品，如果平衡，剩下的1瓶为次品；
情况二：如果天平不平衡，次品在托盘下降那边的三个里面，则进行第二次称量，取托盘下降的三瓶水中的两瓶放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩余的那瓶是次品，如果不平衡，下降者为次品；
所以，总的来说，称两次就可以找出质量稍重些的一瓶，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
17．√
【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。
【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7；
先将第一组和第二组进行称量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；
故答案为：√。
【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。
18．√
【分析】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。
【详解】
根据分析得，
用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。
故答案为：√
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
19．6次
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。）
从表中可以发现规律：物品数量每一阶段的分段点都是3的次方：3＝31；9＝32；27＝33；81＝34；243＝35……
因此可以得出结论：当物品数量大于3n－1小于等于3n时，保证找出次品至少要称n次。
【详解】因为＝243，＝729
＜700＜
答：利用这台天平最少称6次，就能找出伪币。
【点睛】掌握要辨别的物品数目与保证能找出次品至少需要的次数是快速解题的关键。
20．3次
【分析】根据题意，第一次，把10个羽毛球分成3份：3个、3个、4个，取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有次品的一份（3个或4个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品；第三次，取含有次品的两个羽毛球分别放在天平两侧，即可找到次品。据此解答。
【详解】第一次，把10个羽毛球分成3份：3个、3个、4个，取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份（3个或4个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品；
第三次，取含有次品的两个羽毛球分别放在天平两侧，即可找到次品。
答：用天平至少称3次能保证找出次品。
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取羽毛球的个数。
21．至少称4次；
将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。
答：至少称4次。
【点睛】本题考查了找次品，不知道轻重，要确定次品是轻还是重。
22．解：20（6，6，8），把两个6箱的糖果放在天平上称，如不平衡，则把上翘的一组，再分成（1，1，1）放在天平上称，可找出次品．需要2次，
如平衡，则8（4，4），再放在天平上称，找出上翘的一组，再分成（1，1），即可找出次品，需要3次．
所以至少称3闪，能保证找出这袋糖果．
答：至少称3次，能保证找出这袋糖果来．
【详解】把20包糖果分成（6，6，8），把两个6包的糖果放在天平上称，如不平衡，则把上翘的一组，再分成（1，1，1）放在天平上称，可找出次品．如平衡，则把8包分成（4，4），再放在天平上称，找出上翘的一组，再分成（1，1），即可找出次品．据此解答．
23．用天平找次品：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
【分析】根据题意，可以选两块手表进行称重，如果平衡，说明第三块是次品，如果不平衡，则接下去选择两块中的一块继续与另一块手表称重，依次进行即可。
【详解】答：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
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