2025-2026学年七年级下学期苏科版数学第一次月考卷（7-8章）（含答案）

2026学年七年级下学期数学第一次月考卷（7-8章）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的值等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．已知：，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．若，，则的值为（ ）
A． B． C．15 D．不存在
7．已知，则的值为（ ）
A．27 B．9 C．6 D．1
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．15
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9．计算：___________．
10．每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约2毫克，将2毫克用科学记数法表示为______．
11．计算：______．
12．若，则的值为__________；
13．= ______．
14．已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______．
15．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____．
16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．（16分）计算：
(1)；(2)； (3)； (4)．
18．（8分）简便运算：
(1) (2)
19．（6分）化简求值：，其中
20．（6分）若 (且，、是正整数)，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)若，，用含的代数式表示．
21．（6分）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值．
(1)简单应用：若，，求的值；
(2)拓展应用：若，求的值．
22．（6分）观察下列各式的规律，解答下列问题．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
(1)根据上述规律，请写出第5个等式：______．
(2)猜想：＝______．
(3)利用（2）中的结论，求的值．
23．（6分）关于任意的正整数，定义一种新运算：
，请根据这种新运算完成以下问题：
(1)已知，，则__________；
(2)已知，则__________，__________；
(3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）．
24．（7分）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
，因为，
所以当时，的值最小，最小值是，
所以，
所以当时，的值最小，最小值是，
所以的最小值是．
依据上述方法，解决下列问题
(1)当 时，有最小值是 ；
(2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数；
(3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长．
25．（7分）一个长方形可不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶容正长方形”．
(1)图是一个周长为的阶容正长方形，求这个阶容正长方形的面积；
(2)请画出两个用不同方法分割的阶容正长方形，若这两个阶容正长方形的周长相等，求这两个阶容正长方形的面积比；
(3)若长方形可按图所示的方式分割为个大小不等的正方形，设最小一个正方形①的边长为，相邻正方形②的边长为，求的值．
参考答案
一、单项选择题
1．D
解：A、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算，不符合题意；
B、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算，不符合题意；
C、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算，不符合题意；
D、含的项符号相反，含的项符号相反，不能用平方差公式计算，符合题意．
2．B
解：
3．A
解：A、，故该选项正确，符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意．
4．C
解：．
5．C
解：∵根据负整数指数幂运算法则，，根据乘方运算法则，，根据零指数幂运算法则，底数不等于0，即成立，，
又，
．
6．C
解：∵，
．
又∵，
∴，
，
∴．
7．B
解：，
，
，
故选：B．
8．D
解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和；
∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和，
的各项系数分别为1，3，3，1，
的各项系数分别为1，4，6，4，1，
的各项系数分别为1，5，10，10，5，1，
∴的第三项系数，
故选：D．
二、填空题
9．
解：
10．
解：2毫克．
11．
解：
．
12.
解：根据完全平方公式展开等式左边得
，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
13．
解：
14．3
解：
，
∵代数式的展开式中不含x的二次项，
，
解得：．
15．0
解：当时， ，
分三种情况：
当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，，不符合题意，舍去；
综上所述，整数x的值为0．
故答案为：0．
16．30
解：由题意得，
，，
，
，
，
．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．（1）解：
（2）解：
19．解：
∵
即，
∴
20．（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．（1）解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
22．（1）解：根据上述规律，第5个等式：；
（2）解：第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
以此类推，；
（3）解：由（2）知，（3-1）（32026+32025+32024+....+3+1）=2（32027-12027）=2（32027-1），
23．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
；
（3）解：∵，
∴（个1相加），
（个相乘）
，
∴（2025个1相加），
（2025个相乘）
，
∴．
24．（1）解：，
，
，
，
当时，有最小值是，
（2）解：，
，
，
多项式的值总是正数；
（3）解：∵，
则，
，
，，
，，
，
又，
∴边长为的三条线段能构成三角形，
的周长为：．
25．（1）解：设周长为的阶容正长方形的宽为，
∴正方形的边长为，
∴周长为的阶容正长方形的长为，
∴，
∴，
∴，
∴周长为的阶容正长方形的长为，宽为，
∴，
∴这个阶容正长方形的面积为；
（2）解：如图，图①、图②即为所作．
设这两个阶容正长方形的周长为，
如图①中，设这个阶容正长方形的宽为，则三个正方形的边长为，
∴这个阶容正长方形的长为，
∴，
∴，
∴，
∴这个阶容正长方形的面积为：；
如图②中，标注字母如图，设，
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴这个阶容正长方形的长为，宽，
∴这个阶容正长方形的面积为：；
∴，
即这两个阶容正长方形的面积比为；
（3）解：如图，按图中标号顺序，将个正方形的边长依次表示为，， ，，
设，，
∴，
∴，
，
∴，
，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵四边形是长方形，
∴，
即，
∴，
∴，
，
∴