2026学年人教版八年级下册数学第一次月考卷（19-20章）（含答案）

2026学年八年级下册数学第一次月考卷（19-20章）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列三组数中，是勾股数的是（　　）
A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在 ABC中，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．计算×＋的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（ ）
A．3米 B．4米 C．12米 D．13米
7．若x，y为有理数，且，则的值为 （ ）
A．0 B． C．2 D．不能确定
8．若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
9．估计的值在（ ）
A．5与6之间 B．6与7之间
C．7与8之间 D．8与9之间
10．如图，在中，连接，将沿翻折得到同一平面内的，与交于点F，若，则点E到的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．使代数式有意义的取值范围是___________．
12．计算：________．
13．比较大小：_____．
14．如图，在数轴上点A表示实数______．
15．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________．
16．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）．
17．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________．
18．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调，百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．（12分）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
20．（6分）已知，求下列各式的值
(1)
(2)
21．（4分）在 ABC中，，，为边上一点，且，，求边的长度．
22．（9分）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图．
(1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点．
(2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点．
(3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点．
23．（8分）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知，则的值为多少．
25．（9分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理
(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．
26．（10分）新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”．
(1)根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）；
①等边三角形（ ）；②等腰直角三角形（ ）；
(2)若是“骐骥三角形”，，，，
①若，，则______；②若，求的值．
(3)如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，．
①求证：是“骐骥三角形”；
②当是直角三角形时，且，求线段的长．
参考答案
一、单项选择题
1．A
解 ：A 、是最简二次根式；
B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式；
D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式．
故选A．
2．C
解：对选项A，∵，，，
∴A不是勾股数；
对选项B，∵，，，
∴B不是勾股数；
对选项C，∵，，
∴，且三个数均为正整数，
∴C是勾股数；
对选项D，∵，，，
∴D不是勾股数．
3．D
解：A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项正确．
4．A
解：∵在 ABC中，，
∴根据勾股定理，得，
∴，
故选：A．
5．B
解：×＋
．
6．C
解：如图：设旗杆的高为x米，则绳子的长为米，
在中，米，
，
，
解得，
，
旗杆的高为12米．
7．C
解：∵，且，
∴，解得，
将代入中得：．
∴．
故选:C．
8．B
解：∵，
∴，
∴三角形为直角三角形.
9．D
解：，
∵，，且，
∴，即，
∴原式的值在与之间．
10．B
解：如图，连接交于G，作交于，
∵，
∴，
∵将沿翻折得到同一平面内的，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
二、填空题
11．
解：要使二次根式有意义，需满足被开方数 ，
解得 ．
12．
解：
．
13．＞
解：计算 ，，
∵，
∴ ．
故答案为： ．
14．
解：，
点A表示实数为．
15．
解：根据勾股定理得，
．
故答案为：．
16．
解：如图，
在中，，
∴，
∴，
∴．
17．2
解：根据题意得，由勾股定理得，即，
∵S3+S2-S1=8，
，
，
根据正方形的性质得，，
∴阴影部分的面积为．
18．
由定义，，，
故 ，，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
若该式为整数，则 应为完全平方数，
令 ，则 为完全平方数，
由于 为 1 至 9 的数字， 为 1 至 8 的数字，
∴ 最小为 ，最大为 ，
∴ ，，
但被开方数不能是负数，
∴ ，又∵ ，且 4 为完全平方数，
∴ 需为完全平方数，
∴的值应为完全平方数与 3 的乘积，
∴的取值可能为0、3、12．
当 时，，
∴ 取最大值 4，则 ，，，
得；
当 时，，
∴ 取最大值 5，则 ，，，
得；
当 时，，
∴ 取最大值 9，则 ，，，
得；
故的可能取值为、、，的最大值为．
故答案为：
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
20．（1）解：∵，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴，，
∴
．
21．解：∵，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
在直角中，，
∴．
22．（1）解：如图①，三角形即为所求．
理由：,
所以，三角形即为所作；
理由：∵，，
∴，
∴三角形是等腰三角形，
；
（3）解：如图③，等腰直角三角形即为所求．
理由：∵，，
∴，
又，
∴，
∴是等腰直角三角形．
23．（1）解：电视背景墙长方形的周长．
答：电视背景墙的周长为．
（2）解：长方形的面积：，
大理石的面积，
∴壁纸的面积，
整个电视背景墙需要花费：（元）．
答：整个电视背景墙需要花费元．
24．（1）解：∵，
，
同理，，，
∴
；
（2）解：设，，其中，
∴，
，
，
，
，
，
，
．（负值舍去），
．
25．（1）证明：，
，
，
，
，即，
，
，
，即；
（2）解：，，，
有勾股定理得，，
，，
，
，
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设千米，则千米，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，，
解得，，
千米，
（千米），
答：新修路的长为1.2千米．
26．（1）解：①设等边三角形的边长为a，
∴两边平方和，第三边平方的两倍为：，
∵，
∴等边三角形一定是“骐骥三角形”；
②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c，
∴腰长的平方和为，底边长的平方为，
∴，
∴等腰直角三角形不是“骐骥三角形”；
（2）解：①若c为斜边，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴此情况不存在；
若b为斜边，
∴，
∵，，
∴，符合“骐骥三角形”的定义，
此时；
②∵ ABC是直角三角形，且，
∴，
∵ ABC是“骐骥三角形”，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是“骐骥三角形”；
②设，，
∴，，
由①得：，
∴
∵为直角三角形，点E在四边形内部，
∴或，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴
∴，
∴；
综上所述，的长为或．