(共18张PPT)
6.1 二元一次方程组和它的解
1.二元一次方程
有 未知数,并且含有未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程.
温馨提示:
(1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
两个
1
2.二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组.
温馨提示:
(1)二元一次方程组的一般形式为(其中a1、a2与b1、b2不同时为零).
(2)更一般地,如果两个一次方程合起来共有两个未知数,那么它们组成一个二元一次方程组.
(3)符号“{”表示同时满足,相当于“且”的意思.
3.二元一次方程的解
一般地,使二元一次方程左右两边的值 的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.它的解有 个.
温馨提示:
二元一次方程的每一个解,都是一对数值,而不是一个数值,一般要用“{”联立起来,即二元一次方程的解通常表示为的形式.
相等
无数
4.二元一次方程组的解
一般地,使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都 的一对未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
温馨提示:
(1)方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程,所以检验是否是方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
相等
(2)方程组的解要用“{”联立.
(3)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有无解或无数解的情况,如方程组无解,而方程组的解有无数个.
二元一次方程(组)的概念
(1)方程:①y=3x2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤+y=0;⑥x+y+z=1;⑦+x=4中,是二元一次方程的
有 ;(填序号)
(2)已知3+(m-2)y3-n=8是关于x、y的二元一次方程,则m+n的值是 ;
②③⑤
2
(3)(2026·成都石室)下列方程组是二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
D
1.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
① ②
③ ④
A.①② B.①②④ C.③④ D.①②③
B
2.已知2xn-3-y2m-3=5是关于x、y的二元一次方程,则nm= .
16
二元一次方程(组)的解
(1)已知是方程3x-ay=6的一个解,那么a的值是 ( )
A.-3 B.3 C.-2 D.2
B
(2)已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组是 ( )
A. B.
C. D.
B
(3)若方程组的解是则方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
B
3.方程x+4y=12的非负整数解有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4.已知是方程组的解,则(m-n)2= .
D
4
实际问题中的二元一次方程(组)
(1)(2025·宜宾)我国古代数学问题:现有甲、乙两钱袋,甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多10枚,从甲袋取8枚黄金放到乙袋,乙袋的黄金数量就是甲袋的两倍.设甲袋原有黄金x枚,乙袋原有黄金y枚,则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
A
(2)星期天,张老师和若干名同学去郊游,途中他们用20元钱去买饮料,商店只有可乐和奶茶,已知可乐2元一杯,奶茶3元一杯,如果20元钱刚好用完且两种饮料都必须买,有几种购买方式 每种方式购买可乐和奶茶各多少杯
解:(2)设购买可乐x杯,奶茶y杯,
根据题意,得2x+3y=20.∵2x与20均为偶数,∴y必为偶数.
又∵x、y均为正整数,∴y=2或4或6.
分别把y的值代入2x+3y=20中,得或或
答:有三种购买方式,①购买可乐7杯,奶茶2杯;②购买可乐4杯,奶茶4杯;③购买可乐1杯,奶茶6杯.
[方法归纳] 本题用了奇偶分析法,很容易便把二元一次方程的正整数解找出来,找二元一次方程的特殊解的方法很多,但奇偶分析法是最常用的.
5.(2025·黑龙江)2025年4月23日是“世界读书日”30周年纪念日.某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动,班级决定为在活动中表现突出的同学购买圆珠笔和碳素笔进行奖励(两种奖品都买),其中碳素笔每支3元,圆珠笔每支2元,共花费35元,则购买方案有 ( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
B
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,纸书大约在一千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何 ”意思是现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少 设有x人,y辆车,可
列方程组为 .(共22张PPT)
6.4 实践与探索
列方程组解应用题
关键是将实际问题转化为数学中的方程问题,设两个未知数,找出问题中的 个等量关系,用含未知数的代数式表示等量关系.
两
行程问题
甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,经过1小时20分钟相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
解:设汽车每小时行驶x千米,拖拉机每小时行驶y千米.
根据题意,得解得
汽车行驶路程为90×=165(千米),
拖拉机行驶路程为30×=85(千米).
答:汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
[方法归纳] 行程问题中常用结论:(1)相遇问题中,两人走的路程和等于两地间的距离.(2)追及问题中,①两人同地但不同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两人所走的路程相等;②两人异地同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两人所走的路程差等于两地间的距离.(3)环形问题中,①两人同时同地同向而行,首次追及,两人所走的路程之差为环形周长;②两人同时同地反向而行,首次相遇,两人所走的路程之和为环形周长.(4)列车问题中,考虑车自身的长度.
1.从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路.如果上坡平均每小时走2 km,下坡平均每小时走3 km,那么从甲地走到乙地需要15 min,从乙地走到甲地需要20 min.若设从甲地到乙地上坡路程为x km,下坡路程为y km,则所列方程组正确的是 ( )
A. B.C. D.
C
2.甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地出发,相向而行.如果甲比乙早出发半小时,那么在乙出发后2小时,他们相遇;如果他们同时出发,那么1小时后两人还相距11千米,求甲、乙二人每小时各走多少千米
解:设甲每小时走x千米,乙每小时走y千米,
根据题意,得
解得
答:甲每小时走4千米,乙每小时走5千米.
工程问题
随着康养医疗社会需求的进一步增大,某康养中心正在扩大规模,准备装修一批新房舍.若甲、乙两家装修公司合作,需6周完成,共需装修费用5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司单独来做,还需9周才能完成,共需装修费用4.8万元,康养中心研究后决定只选一家公司单独完成(工作总量为1).
(1)设甲公司每周的工作效率为m,乙公司每周的工作效率为n,
则根据题意可列出方程组为 ;
(2)如果从节约时间的角度考虑,你帮康养中心确定一下,应选哪家公司 请说明理由;
解:(2)如果从节约时间的角度考虑,康养中心应选甲公司,理由如下:
由(1)得解得∴==10,==15,
即甲公司单独完成所需时间为10周,乙公司单独完成所需时间为15周.
∵10<15,∴如果从节约时间的角度考虑,康养中心应选甲公司.
(3)如果从节约开支的角度考虑,应选哪家公司呢 请说明理由.
(3)如果从节约开支的角度考虑,康养中心应选乙公司,理由如下:
设选择甲公司每周需支付装修费x万元,选择乙公司每周需支付装修费y万元,
根据题意,得解得
∴10x=10×=6,15y=15×=4,
即选择甲公司共需支付装修费6万元,选择乙公司共需支付装修费4万元.
∵4<6,∴如果从节约开支的角度考虑,康养中心应选乙公司.
3.某工程队承包了某标段全长1 755米的过江隧道施工任务,甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米,经过5天施工,两组共掘进了45米.
(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米;
解:(1)设甲、乙两个班组平均每天各掘进x米、y米,
根据题意,得解得
答:甲、乙两个班组平均每天各掘进4.8米、4.2米.
(2)为加快工程进度,通过改进施工技术,在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进0.2米,乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工进度,能够比原来少用多少天完成任务
(2)(1 755-45)÷(4.8+4.2)=190(天),
(1 755-45)÷(4.8+0.2+4.2+0.3)=180(天).
190-180=10(天).
答:按此施工进度,能够比原来少用10天完成任务.
购物销售问题
(2026·重庆一中)四月春风和煦,气温适宜,正是放风筝的好时节.某景区提前购买了A、B两种型号风筝进行销售,已知2只A型风筝和1只B型风筝共需18元,3只A型风筝和2只B型风筝共需31元.
(1)求A、B两种型号风筝的进价各多少元
解:(1)设A型风筝的进价是x元,B型风筝的进价是y元.
由题意,得解得
答:A型风筝的进价是5元,B型风筝的进价是8元.
(2)该景区将A型风筝的售价定为每只12元,B型风筝的售价定为每只20元.该景区第一天售出A型风筝200只,B型风筝150只,第二天该景区决定对B型风筝打折,A型风筝售价不变,结果第二天A型风筝售出的数量比第一天少了20%,B型风筝售出的数量比第一天多了20%.若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元,请问B型风筝打了几折
(2)设B型风筝打了m折.由题意,得
200×(1-20%)×(12-5)+(20×0.1m-8)×150(1+20%)=200×(12-5)+150×(20-8)-640,解得m=8,
答:B型风筝打了八折.
4.某蔬菜公司收购了某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售.已知每吨蔬菜粗加工后的利润为1 000元,精加工后的利润为2 000元,该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现该公司恰好在15天内将这些蔬菜全部加工完成,则出售这些加工后的蔬菜共可获利 元.
200 000
5.某商场为庆祝“三八”妇女节,对顾客的购物实行优惠,规定:(1)一次购物不超过100元不优惠;(2)一次购物超过100元,但不超过300元,按标价的九折优惠;(3)超过300元,300元内(含300元)的部分按(2)优惠,超过300元的部分按八折优惠.李老师去购物享受了九折优惠,与李老师一起去购物的张老师享受了部分八折优惠.如果两位老师把要购买的东西由一人前去柜台交款,则还可少花19元;如果不打折,两位老师所购商品共比现在多花67元.问两位老师此次购物各用了多少钱
解:设李老师按原标价购物共用x元,则实际支付0.9x元;张老师按原标价购物共用y元,则实际支付了[300×0.9+0.8(y-300)]元,即(0.8y+30)元.若两位老师一起支付,则所付费用为300×0.9+0.8(x+y-300)元,即(0.8x+0.8y+30)元.
根据题意,得
解得
∴李老师实际支付0.9×190=171(元),
张老师实际支付0.8×390+30=342(元).
答:李老师购物用了171元,张老师购物用了342元.
几何问题
(2026·重庆南开)某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器(加工时接缝材料不计).两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表:
1个无盖 竖式容器 1个无盖
横式容器
长方形铁片的数量 4张 3张
正方形铁片的数量 1张 2张
(1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片,用于加工图②的竖式容器和横式容器,两种铁片刚好全部用完,则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个
解:(1)设可以加工出x个无盖竖式容器,y个无盖横式容器.
根据题意,得解得
答:可以加工出20个无盖竖式容器,30个无盖横式容器.
(2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个,此横式容器的费用为60元/个.若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器(两种容器都要有),则有哪几种方案可供选择
(2)设采购m个竖式容器,n个横式容器.
根据题意,得50m+60n=800,∴m=16-n.
∵m、n均为正整数,∴或
∴共有2种方案可供选择,
方案1:采购10个竖式容器,5个横式容器;
方案2:采购4个竖式容器,10个横式容器.
6.如图,用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,则每个小长方形地砖的面积是 ( )
A.100 cm2
B.200 cm2
C.300 cm2
D.400 cm2
C
7.塑料凳子轻便实用,在人们生活中随处可见,如图,3个塑料凳子叠放在一起的高度为55 cm,5个塑料凳子叠放在一起的高度为65 cm,当有10个塑料凳子整齐地叠放在一起时,其高度是 cm.
90(共17张PPT)
6.3 三元一次方程组及其解法
1.三元一次方程组
含有 未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是 ,并且一共含有 方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
温馨提示:
理解三元一次方程组的定义时,要注意以下两点:
(1)方程组中的每一个方程都是一次方程;
(2)如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数,它们就能组成一个三元一次方程组.
三个
1
三个
2.三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是 ,一般地,应利用 法或 法消去同一个未知数,从而化三元为二元,然后解这个二元一次方程组,求出两个未知数,最后再求出另一个未知数.
温馨提示:
(1)有些特殊的方程组可用特殊的消元法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.
(2)要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解,就要将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看每个方程的左、右两边是否相等.若相等,则求得的未知数的值就是原方程组的解;只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解.
消元
代入
加减
3.三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤:
(1)弄清题意和题目中的数量关系,用字母(如x、y、z)表示题目中的三个未知数;
(2)找出能够表达应用题全部含义的相等关系;
(3)根据这些相等关系列出需要的代数式,从而列出方程并组成方程组;
(4)解这个方程组,求出未知数的值;
(5)写出答案(包括单位名称).
温馨提示:
一般来说,设几个未知数,就应列出几个方程并组成方程组.
例:小高家是一个三口之家,爸爸与妈妈的年龄之和为78岁,爸爸与小高的年龄之和为45岁,妈妈与小高的年龄之和为43岁.求爸爸、妈妈、小高的年龄.
解:由题意,可得爸爸、妈妈、小高三人的年龄之和为 岁;若
设爸爸x岁,妈妈y岁,小高z岁,则可以列方程组 .
83
三元一次方程组的解法
(1)解方程组时,为转化为二元一次方程组,最恰当的方法是 ( )
A.由②③消去z B.由②③消去y
C.由①②消去z D.由①③消去x
B
(2)方程组的解为 ( )
A. B. C. D.
C
(3)解方程组:
解:①-②×2,得5y-3z=8.④，由③-②,得3y-3z=6.⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解得把y=1,z=-1代入②,得x=2.
所以原方程组的解为
[思维点拨] 解三元一次方程组,需要掌握把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元思想,从而把复杂问题转化为简单问题求解.
1.解方程组以下解法不正确的是 ( )
A.由①②消去z,再由①③消去z
B.由①③消去z,再由②③消去z
C.由①③消去y,再由①②消去y
D.由①②消去z,再由①③消去y
D
2.解方程组得x= ,y= ,z= .
2
1
3
3.解下列方程组:
(1)
解:②+③×2,得4x+3y=2.④
由①④组成二元一次方程组解得
把x=-1,y=2代入③,得z=0.
所以原方程组的解为
(2)
解:①+③,得6x+6y=-3,即x+y=-.④，②+③×2,得4x+9y=-7.⑤
由④⑤组成二元一次方程组解得
把x=,y=-1代入②,得z=-.所以原方程组的解为
列三元一次方程组解应用题
(1)随着经济社会的发展,大家的生活水平不断提高,很多人因网购都存积着大量的闲置衣物,将这些旧衣物扔掉是对资源的极大浪费.某公益组织号召广大市民捐献闲置衣物,经过大家努力共收集到11 600件上衣,7 500件毛衣及防寒服若干.志愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合,分别捐赠给各山区.一个A类组合含有60件上衣,80件防寒服和50件毛衣;一个B类组合含有40件上衣,40件防寒服;一个C类组合含有40件上衣,60件防寒服,50件毛衣.则防寒服一共捐赠了 件;
14 600
[分析] (1)设A类组合x个,B类组合y个,C类组合z个,根据题意列出方程组,进而得出x、z与y的关系,然后用代数式表示出需要的防寒服的件数,代入关系式即可求解.
(2)一个三位数,如果把它的个位数字与百位数字交换位置,所得的新数比原数小99,且各位数字之和为14,十位数字是个位数字与百位数字之和.求这个三位数.
[分析](2)本题的三个等量关系:①将三位数的个位数字与百位数字交换位置,所得的新数比原数小99;②三位数的各位数字之和为14;③三位数的十位数字是个位数字与百位数字之和.
解:(2)设这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,则这个三位数是100x+10y+z.个位数字与百位数字交换位置所得新数是100z+10y+x.根据题意,得
解得
故这个三位数是473.
[思维点拨] 列三元一次方程组解应用题的关键是找出三个等量关系,设适当的未知数,用含有未知数的代数式表示等量关系即可列出三元一次方程组.
4.有甲、乙、丙三种商品,买甲3件、乙7件、丙1件,共需32元,买甲4件、乙10件、丙1件,共需43元,则甲、乙、丙各买1件需 元钱.
10
5.一个三位数除以它的各数位上数字之和的9倍得到的商是3.若把它的个位数字和百位数字互换位置,则所得到的新的三位数比原数大99,又知百位数字与个位数字之和比十位数字多1,求这个三位数.
解:设这个三位数百位上的数字为x,十位上的数字为y,个位上的数字为z.根据题意,得
解得
故这个三位数是243.(共65张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入消元法
1.消元思想
将未知数的个数 、逐一解决的思想叫做消元思想.
解二元一次方程组的基本思路是 ,也就是把 一次方程组化为 一次方程.
2.代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做 ,简称代入法.
由多化少
消元
二元
一元
代入消元法
3.用代入法解二元一次方程组的一般步骤
(1)变形:将方程组中的一个方程变形,用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数;
(2)代入:用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值;
(3)回代:把这个未知数的值代入一次式,求得另一个未知数的值;
(4)写原解:写出原方程组的解.
温馨提示:
(1)用代入法解二元一次方程组时,应先观察各项系数的特点,尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形.
(2)变形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程组中的另一个方程.
(3)要善于分析方程的特点,寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示,代入另一个方程,或直接将某一方程代入另一个方程,这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一,它的运用可使运算简便,提高运算速度及准确率.
用代入法解二元一次方程组
(1)用代入法解方程组时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是 ( )
A.3x+4x-3=8 B.3x+4x-6=8
C.3x-2x-3=0 D.3x+2x-6=8
B
(2)用代入法解方程组时,有以下过程,其中错误的一步是 ( )
由①，得x=③ 第一步
把③代入②,得3×-5y=5 第二步
去分母,得24-9y-10y=5 第三步
解得y=1,再由③，得x=2.5 第四步
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
C
解下列方程组:
(1)
解:将①代入②,得2(y+1)+y=8.解得y=2.
将y=2代入①,得x=3.
所以方程组的解为
(2)
解:由①,得x=-1-3y.③
将③代入②,得3(-1-3y)-2y=8.解得y=-1.
将y=-1代入③,得x=2.
所以方程组的解为
(3)
解:整理,得
由④,得x=5y-3.⑤
将⑤代入③,得5(5y-3)-11y=-1.解得y=1.
将y=1代入⑤,得x=2.
所以方程组的解为
1.(2025·广西)对于方程组下列变形中错误的是
( )
A.由①,得x= B.由①,得y=
C.由②,得x= D.由②,得y=2x+5
D
2.解下列方程组:
(1)
解:将①代入②,得2y-3(y-1)=1.解得y=2.
将y=2代入①,得x=1.
所以方程组的解为
(2)
解:由①,得y=10-x.③
将③代入②,得2x+10-x=16.解得x=6.
将x=6代入③,得y=4.
所以方程组的解是
(3)
解:由①,得y=.③
将③代入②,得3x+2(25-5x)=15,解得x=5.
将x=5代入③,得y=0.
所以方程组的解为
(4)
解:整理,得
由①,得y=3x-8.③
将③代入②,得3x-5(3x-8)=-20.解得x=5.
将x=5代入③,得y=7.
所以方程组的解为
含参数的二元一次方程组
(1)已知是二元一次方程组的解,求m、n及2m-5n的值;
解:(1)将代入方程组,
得解得
∴2m-5n=2×3-5×2=-4.
(2)若关于x、y的二元一次方程组的解中x与y的值互为相反数,求a的值.
(2)∵x与y的值互为相反数,∴y=-x.
将y=-x代入原方程组,
得解得
即a的值是8.
[方法总结](1)运用解二元一次方程组求待定字母的值的关键是将所给的值代入,构造新的二元一次方程组;(2)含有参数的二元一次方程组通常题目中会给方程组的解加以限制条件.如x、y的值相等,互为相反数等.此时,根据方程组及x、y的关系灵活选择方法去求解.
3.已知关于x、y的方程组的解为则m、n的值是 ( )
A. B. C. D.
A
4.(2026·重庆巴蜀)已知关于x和y的方程组的解满足x-y=2,则k的值是 .
1
5.甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时,甲不小心看错了方程①,解得乙看错了方程②,解得求a、b的值.
解:把代入方程②,得a-b=7.③
把代入方程①,得-4a-3b=-2.④
联立方程③④,可得方程组解得
第2课时 加减消元法
1.加减法解二元一次方程组
利用等式的性质,通过将两个方程的两边分别相加(或相减)消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程求解二元一次方程组的方法就是加减消元法,简称加减法.
2.用加减法解二元一次方程组的基本步骤
(1)观察系数的特点,若两个方程中,有一个未知数系数的绝对值相等,可直接相加或相减消元;若两个方程中,同一个未知数系数的绝对值都不相等,则应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于最小公倍数);
(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
用加减法解二元一次方程组
解下列方程组:
(1)
解:①+②,得4x=8.解得x=2.
把x=2代入①,得2-y=3,解得y=-1.
所以方程组的解是
(2)
解:②-①×2,得y=2.
把y=2代入①,得2x+8=8,解得x=0.
所以方程组的解为
(3)
解:整理方程组,得
①×3,得9x+6y=-3.③
②×2,得8x+6y=-4.④
③-④,得x=1.
把x=1代入①,得3×1+2y=-1,解得y=-2.
所以方程组的解为
[方法归纳] 当方程组中两个未知数的系数既不相同,也不互为相反数时,观察未知数的系数是否成倍数,哪个未知数的系数成倍数,就先消哪个未知数;否则就观察未知数的系数的最小公倍数,哪个未知数的系数的最小公倍数最小,就先消哪个未知数.
(1)已知方程组则(4x+4y)·(2x-2y)的值为 ( )
A.16 B.-16 C.8 D.-8
(2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足x-y=1,则k的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
A
1.(2026·成都树德)用加减消元法解方程组下列解法不正确的是
( )
A.①×3-②×2,消去x B.①×2-②×3,消去y
C.①×(-3)+②×2,消去x D.①×2-②×(-3),消去y
D
2.已知关于x、y的方程组的解满足x+y=3,则m的值为 .
2
3.解下列方程组:
(1)
解:②×2-①,得5y=15.解得y=3.
把y=3代入②,得2x+3=13,解得x=5.
所以原方程组的解为
(2)
解:整理,得
①-②,得2x=-6.解得x=-3.
把x=-3代入②,得-6-3y=1,解得y=-.
所以原方程组的解为
(3)
解:整理,得
①×4-②,得37y=74.解得y=2.
把y=2代入①,得2x+14=20,解得x=3.
所以原方程组的解为
含参数的二元一次方程组
(1)如果方程组与方程组有相同的解,那么m-n= .
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(2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时,甲看错了方程①中的a,解得乙看错了方程②中的b,解得求原方程组的正确解.
解:(2)把代入5x=by-7中,得5=12b-7,解得b=1.
把代入ax+3y=4中,得-3a+10=4,解得a=2.
∴原方程组为
则原方程组的解为
4.已知方程组中,x、y的系数部分已经模糊不清,但知道其中□表示同一个数,△也表示同一个数,是这个方程组的解,求原方程组.
解:把代入原方程组,得解得
所以原方程组为
5.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x-y=m-1,求m的值.
解:令
由②-①,得3x-3y=-14.
又∵x-y=m-1,∴3(m-1)=-14,解得m=-.∴m的值为-.
第3课时 二元一次方程组解法的综合应用
选择恰当的方法解二元一次方程组
(1)代入消元法和加减消元法是解方程组的基本方法,是最常用的消元手段.当方程组中某个方程的某一未知数的系数为±1或常数项为0时,可考虑用代入消元法解方程组;当方程组中某个未知数的系数相同、相反或成整数倍时,可考虑用加减消元法;当方程组中x、y的系数和相等(或相差一个定值)时,可以考虑两式直接相加减, 用整体思想求解;
(2)解方程组时,还可以采用其他的消元方法,如方程组中两个方程存在相同数式时,可用换元法;当两个方程组的常数项相同时,可考虑同解法.
选择恰当的方法解二元一次方程组
解下列方程组:
(1)
解:用代入法:由①,得x=-3y-2.③，将③代入②,得7(-3y-2)-6y=40.解得y=-2.
将y=-2代入③,得x=-3×(-2)-2=4.所以方程组的解为
用加减法:①×2,得2x+6y=-4.，④②+④,得9x=36.解得x=4.
将x=4代入①,得4+3y+2=0,解得y=-2.所以方程组的解为
(2)
解:把①代入②,得4(y-1)+(y-1)=5.解得y-1=1,即y=2.
把y-1=1代入①,得x-2=2×1.解得x=4.
所以方程组的解为
(3)
解:整理,得
①×2,得8x-2y=10.③
②+③,得11x=22.解得x=2.
把x=2代入①,得8-y=5,解得y=3.
所以方程组的解为
1.已知二元一次方程组:①②
③④解以上方程组比较适合选用的方法是 ( )
A.①②用代入法,③④用加减法
B.①③用代入法,②④用加减法
C.②③用代入法,①④用加减法
D.②④用代入法,①③用加减法
B
2.用适当的方法解下列方程组:
(1)
解:①+②,得5x=25.解得x=5.
把x=5代入①,得15+4y=15,解得y=0.
所以方程组的解为
(2)
解:①-②×2,得5t=15.解得t=3.
把t=3代入①,得4s+9=5,解得s=-1.
所以方程组的解为
(3)
解:把②代入①,得3x-4=5.解得x=3.
把x=3代入②,得3-2y=1,解得y=1.
所以方程组的解为
(4)
解:整理,得
②×2,得4x+6y=26.③③-①,得4y=15,解得y=.
把y=代入①,得4x+=11,解得x=.
所以方程组的解是
换元法解二元一次方程组
用换元法解下列二元一次方程组:
(1)
解:设x+y=a,x-y=b,
得方程组整理,得
解得即解该方程组,得
(2)
解:设x+3y=m,3x+y=n,得方程组
整理②,得3m=78-2n.③
将③代入①,得(78-2n)-2n=6.解得n=18.
将n=18代入②,得m=14,即解该方程组,得
3.用换元法解下列二元一次方程组:
(1)
解:
(2)
解:
第4课时 二元一次方程组的
简单应用
1.列二元一次方程(组)解应用题
关键:将实际问题转化为数学问题,利用未知数,把问题中的等量关系用方程(组)表达出来.
过程:问题
方程(组)
解答
2.列二元一次方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审题:弄清题意,找出问题中基本量之间的等量关系;
(2)设未知数:设出合适的未知数;
(3)列方程(组):把等量关系转化为方程;
(4)解方程(组):求出所设的未知数;
(5)检验作答:判断所求值是否符合题意,得出结论.
用“代入法”解二元一次方程的简单应用题
当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
解:设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克,
根据题意,得解得
答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
1.小强(递上10元钱):爷爷,我买一支钢笔和一个笔记本.售货员(爷爷):今天是“六一”儿童节,钢笔九折优惠,笔记本按标价卖给你,但如果你钢笔和笔记本都买,钱可不够了.小军:小强,钢笔的标价是笔记本的3倍,我借给你1.1元钱,就可以买这两样东西了.根据上述对话内容,钢笔的标价为 ,笔记本的标价为 .
9元
3元
2.(2026·成都七中)有一块面积为180亩的荒地需要绿化,甲工程队绿化若干天后,因有急事,剩余工作由乙工程队完成,已知甲工程队每天绿化8亩,乙工程队每天绿化12亩,一共用20天完成.
(1)设甲工程队绿化m天,乙工程队绿化n天,依题意可列方程组:
.
(2)设甲工程队绿化荒地x亩,乙工程队绿化荒地y亩,请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数.
解:(2)根据题意,得解得
答:甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩、60亩.
用“加减法”解二元一次方程的简单应用题
为建设节约型环境、友好型社会,克服因干旱而造成的电力紧张困难,切实做好节能减排工作,某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”,电力公司规定:居民家庭月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时,1千瓦时俗称1度)时,实行“基本电价”;当居民家庭月用电量超过80千瓦时时,超过部分实行“提高电价”.
(1)小张家4月份用电100千瓦时,缴纳电费68元;5月份用电120千瓦时,缴纳电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元每千瓦时;
解:(1)设“基本电价”为x元/千瓦时,“提高电价”为y元/千瓦时.根据题意,得
解得
答:“基本电价”为0.6元/千瓦时,“提高电价”为1元/千瓦时.
(2)若6月份小张家预计用电130千瓦时,请预计小张家6月份应缴纳的电费.
(2)80×0.6+(130-80)×1=98(元).
答:预计小张家6月份应缴纳的电费为98元.
3.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为 .
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4.为推进“书香社区”建设,某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元
解:(1)设科技类图书的单价为x元,文学类图书的单价为y元,
根据题意,得解得
答:科技类图书的单价为38元,文学类图书的单价为26元.
(2)为支持“书香社区”建设,助推科技发展,商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不变):购买科技类图书超过40本但少于50本时,每本单价降低2元;不少于50本时,每本单价降低3元.社区购进两种图书共100本,总费用为3 050元.求科技类图书与文学类图书各购买了多少本
(2)设科技类图书买了m本,文学类图书买了n本.
①当购买科技类图书不超过40本时,
则有解得
∵m、n不是整数,故不符合要求.
②当购买科技类图书超过40本但少于50本时,
则有解得
符合要求.
③当购买科技类图书不少于50本时,
则有解得
符合要求.
答:科技类图书买了45本,文学类图书买了55本或科技类图书买了50本,文学类图书买了50本.
