(共14张PPT)
第1课时 认识三角形(一)
1.三角形的定义
(1)由三条不在同一条直线上的线段 组成的平面图形叫做三角形,这三条线段就是三角形的 .
图1
首尾顺次连结
边
如图1,线段AB、BC、CA是三角形的 .点A、B、C是三角形的 .
三角形的边有时也用小写字母表示.如图1,顶点A所对的边BC用 表示,顶点B所对的边AC用 表示,顶点C所对的边AB用 表示.
顶点是A、B、C的三角形,记作 ,读作“三角形ABC”.
边
顶点
a
b
c
△ABC
(2)在三角形中,每两条边所组成的角叫做三角形的 ,简称三角形的角;三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的 .
图2
如图2,∠A、∠B、∠ACB是△ABC的 ,∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.
注意:三角形有3个内角,与每个内角相邻的外角有2个,它们是对顶角,所以三角形共有6个外角,每个外角与它相邻的内角是互补的.
内角
外角
内角
2.三角形的分类
(1)三角形按角分类
(2)三角形按边分类
三角形的相关概念
(1)图中有几个三角形 把它们分别表示出来;
(2)在△ABC中,∠B所对的边是 ;在△AEF中,AE所对的角是 ;在△CBD中,∠B所对的边是 ,BD所对的角是 .
解:(1)图中有7个三角形,分别是△ADE、△AEF、△CEF、△BDC、△AEC、△ACD、△ABC.
AC
∠AFE
CD
∠BCD
[方法总结]在复杂的图形中数三角形的个数时,要按照一定的方法数,通常有①抓住顶点来数;②抓住边来数;③以“先小后大”的方法来数.
1.如图,下列说法错误的是( )
A.∠A、∠B、∠ACB是△ABC的内角
B.∠BCD是与∠ACB相邻的外角
C.∠BCD+∠A=180°
D.△ABC的三条边分别是AB、BC、AC
C
2.如图所示,图中以点E为顶点的三角形有 个,分别是 ;在△ABC中,∠B所对的边是 ;在△ADE中,AD所对的角是 .
3
△AEC、△AED、△AEB
AC
∠AED
3.如图,过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形.
(1)其中以AB为一边可以画出 个三角形;
(2)其中以C为顶点可以画出 个三角形.
3
6
三角形的分类
观察如图所示的三角形,并把它们的编号填入相应的圈内.
4.(2025·云南)如图表示三角形的分类,关于A、B两个区域的说法,正确的是 ( )
A.A区域是等边三角形,B区域是锐角三角形
B.A区域是锐角三角形,B区域是钝角三角形
C.A区域是等腰三角形,B区域是等边三角形
D.A区域是等边三角形,B区域是等腰三角形
D
5.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形按角分类的类型的是( )
A
B
C
D
C
6.如图,在△ABC中,AE⊥BC,点D为BC上一点,则图中 是锐角三角形,__________
__________________是直角三角形, 是钝角三角形.
△ABC、△ADC
△ADE、
△ACE、△ABE
△ABD(共13张PPT)
第1课时 三角形的内角和
1.三角形内角和定理
三角形的内角和等于 .
符号语言:如图,在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°.
注意:
①利用三角形内角和求度数时,若给出比例、倍分关系,注意设未知数列方程求解.
②任何一个三角形中,至少有两个锐角,最多有一个钝角或直角.
180°
2.三角形内角和定理的推论
(1)推论一:直角三角形的两个锐角 .
符号语言:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
(2)推论二:有两个角互余的三角形是 三角形.
符号语言:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形.
注意:直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
互余
直角
3.基本图形及其结论
基本图形 结论
∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB
∠ADC+∠ACD=∠ABC+∠ACB
∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB
∠A+∠B=∠C+∠D
三角形的内角和
(1)若△ABC的三个内角的比为2∶5∶3,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
(2)在△ABC中,∠A=∠B+∠C,∠B=2∠C-6°,则∠C的度数为( )
A.90° B.58° C.54° D.32°
C
D
(3)如图,CD、CE分别是△ABC的高和角平分线,∠A=28°,∠B=52°,则∠DCE的度数为 .
[知识总结] 已知两个角或两个角的和可以求出第三个角;根据三角形最大内角或任意两个角的和可判断三角形的形状.
12°
1.在△ABC中,∠A=2∠B=72°,则∠C等于( )
A.30° B.36° C.72° D.108°
C
2.(2025·安徽)如图,AB、CD相交于点O,若BE平分∠ABD交CD于点F,CE平分∠ACD交AB于点G,∠A=48°,∠D=46°,则∠BEC= .
47°
直角三角形
具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A=2∠B=3∠C
B.∠C-∠A=∠B
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7
D.∠A=∠B=∠C
A
(1)如图1,∠B=∠C=90°,AD交BC于点O,∠A与∠D有什么关系 请说明理由;
解:(1)∠A=∠D,理由如下:
方法一(利用平行的判定和性质):
∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠A=∠D.
方法二(利用直角三角形的性质):
∵∠B=∠C=90°,∴∠A+∠AOB=90°,∠D+∠COD=90°.
又∵∠AOB=∠COD,∴∠A=∠D.
(2)如图2,∠B=∠D=90°,AD交BC于点O,∠A与∠C有什么关系 请说明理由.
(2)∠A=∠C.理由如下:
在Rt△AOB和Rt△COD中,
∵∠B=∠D=90°,
∴∠A+∠AOB=90°,∠C+∠COD=90°.
又∵∠AOB=∠COD,∴∠A=∠C.
3.在△ABC中,满足下列条件:①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=90°-∠C,其中能确定△ABC是直角三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
4.(2026·成都石室)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AB于点E.若∠B=50°,∠ACE=20°,则∠ADC的度数是 .
85°
5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F.
(1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数;
解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠ABD=∠CAD=36°.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠ABC=18°,
∴∠AEF=90°-∠ABE=72°.
(2)试说明:∠AEF=∠AFE.
(2)∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,
∴∠AEF=∠BFD.
又∵∠AFE=∠BFD,∴∠AEF=∠AFE.(共13张PPT)
8.1.3 三角形的三边关系
1.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于 ,任意两边之差小于 .
应用:
(1)判断三条线段能否构成三角形;
(2)确定三角形的第三边;
(3)确定三角形的边或周长的取值范围.
第三边
第三边
2.三角形的性质
三角形具有稳定性,即如果三角形的三条边固定,那么三角形的 和 就完全 了.
四边形不具有稳定性.
形状
大小
确定
三角形的三边关系
(1)在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是 ( )
A.2 cm,3 cm,4 cm
B.3 cm,6 cm,6 cm
C.2 cm,2 cm,6 cm
D.5 cm,6 cm,7 cm
C
(2)边长为整数,周长为20的三角形个数有 ( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.12个
(3)三角形三边长分别是6、2a-2、8,则a的取值范围是 .
[方法归纳] ①判断三条线段能否组成三角形,只需判断较短的两条线段之和能否大于最长的线段或较长两条线段之差能否小于最短的线段即可;②求第三边范围时,常用“两边之差<第三边<两边之和”建立不等关系得解.
C
2
2.(1)已知三角形的三边长为4,x,11,化简+
= ;
(2)把一条长15 cm的线段截成三段,使每条线段的长度都是整数,用三条线段可以组成 个不同的三角形.
11
7
1.(2025·西安)在下列长度的四条线段中,能与长4 cm和5 cm的两条线段围成一个三角形的是 ( )
A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm
B
3.按要求完成下列各小题.
(1)在△ABC中,AB=8,BC=2,AC的长为偶数,求△ABC的周长;
解:(1)根据三角形的三边关系,得8-2即6∴△ABC的周长为8+2+8=18.
(2)已知△ABC的三边长分别为3,5,a,化简:--2.
(2)∵△ABC的三边长分别为3,5,a,
∴5-3∴--2=a+1-(8-a)-2(a-2)
=a+1-8+a-2a+4=-3.
三角形的稳定性
如图1是一个用六根竹条连结而成的凸六边形风筝骨架,考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素,需再加竹条与其顶点连结.要求:
(1)在图2和图3中分别加适当竹条,设计出两种不同的连结方案;
如图所示(答案不唯一)
(2)通过上面的设计,可以看出至少需再加 根竹条,才能保证风筝骨架稳固;
(3)在上面的方案设计过程中,你所应用的数学原理是 .
三
三角形的稳定性
4.(2025·广东)给出下列图形,其中具有稳定性的是
(填序号).
②③
5.我们用如图的方法(斜钉上一块木条)来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 .
稳定性
6.如图,要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形,至少要再钉上 根木条;五边形木架至少要再钉上 根木条.
1
2(共11张PPT)
第2课时 多边形的外角和
1.多边形的外角
(1)多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
(2)与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.
(3)n边形的每一个内角与和它相邻的外角都互为 .
补角
2.多边形的外角和
(1)从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为多边形的外角和.
(2)任意多边形的外角和都为 .
(3)正n边形的每个外角都相等,都等于.
360°
多边形的外角和
(1)正十边形的外角和为( )
A.180° B.360° C.720° D.1 440°
(2)若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是 .
[知识总结] 多边形的外角和与边数无关,都等于360°;正多边形的边数×每个外角=360°;解题时常结合内角和公式求解.
8
B
1.(2025·云南)如图,已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°,那么∠5的度数为 ( )
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
B
2.一个正多边形,它的每一个外角都等于45°,则该正多边形是( )
A.正六边形 B.正七边形
C.正八边形 D.正九边形
3.若一个多边形的内角和比外角和大360°,则这个多边形的边数为 .
C
6
多边形的外角的综合应用
(1)如图,在七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O.若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于215°,则∠BOD的度数为( )
A.20° B.35°
C.40° D.45°
B
(2)一位朋友在草原上漫步,他从点O处出发,面向正东方向向前直线行走1 m,立即向左转45°,又向前直线行走1 m,又向左转45°,…,此人走了2 000 m后,离出发点O的距离是 m.
0
4.如图,小明从A点出发,沿直线前进8 m后向左转45°,再沿直线前进8 m,又向左转45°,…,照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走的路程为( )
A.80 m B.96 m
C.64 m D.48 m
C
5.(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D.若∠ABC=75°,∠ACB=45°,求∠D的度数;
解:(1)∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE.
∵∠ACE=∠ABC+∠A,∠DCE=∠DBC+∠D,
∴∠DCE=∠ACE=(∠ABC+∠A),
即∠DBC+∠D=(∠ABC+∠A),∴∠D=∠A.
∵∠ABC=75°,∠ACB=45°,∴∠A=60°,∴∠D=30°.
(2)如图2,在四边形MNCB中,BD平分∠MBC,且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线交于点D.若∠BMN=130°,∠CNM=100°,求∠D的度数.
(2)如图2,延长BM、CN交于点A.
∵∠AMN=180°-∠BMN=50°,
∠ANM=180°-∠CNM=80°,
∴∠A=180°-∠AMN-∠ANM=50°,
由(1)知,∠D=∠A=25°.(共19张PPT)
第2课时 认识三角形(二)
三角形的中线、角平分线和高:
中线 角平分线 高
定义 连结三角形的一个顶点与对边中点的线段 三角形的一个内角的平分线与对边相交于一点,顶点与交点之间的线段 从三角形的一个顶点向对边作垂线,顶点与垂足间的线段
图形
线段 的位置 全在 三角形内 全在 三角形内 锐角 三角形 全在
三角形内
直角 三角形 三角形内
1条,边上
2条
钝角 三角形 三角形内
1条,三角
形外2条
所有线 段的交 点位置 在三角形内 在三角形内 锐角 三角形 在三角形内
直角 三角形 在直角
顶点处
钝角 三角形 在三角形外
表示法 如图,∵AD是△ABC的边BC上的中线, ∴BD=CD=BC 如图,∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 如图,∵AD是△ABC的高,
∴AD⊥BC,
∠ADB=∠ADC=90°
注意:①三角形的中线平分三角形的面积;②三角形的中线、角平分线和高都是线段.
三角形的高
(1)如图1,在△ABC中,AB边上的高是 ,BC边上的高是 ;在△BCF中,CF边上的高是 ;
图1
CE
AD
BC
(2)如图2,△ABC的三条高交于点H,则有
∠HAE= ,∠HAF= ,
∠HBF= ;
S△ABC=AD·BC = = .
图2
∠HBD
∠HCD
∠HCE
BE·AC
CF·AB
1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,有下列三个结论:①AD是△ACD的高;②AD是△ABD的高;③AD是△ABC的高.其中正确的结论是( )
A.①和② B.①和③
C.②和③ D.只有②
D
2.(2026·重庆八中)如图,在△ABC中,AD为中线,DE和DF分别为△ADB和△ADC的高,若AB=6,AC=8,DF=3,则DE= .
4
三角形的中线
(1)如图1,在△ABC中,已知点E、F分别是AD、CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则S△BEF= cm2;
图1
1
(2)如图2,在△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC
的中点,AD、BE、CF交于一点G,BD=2DC,S△BGD=8,
S△AGE=3,则△ABC的面积是 ;
图2
30
(3)如图3,AD是△ABC的中线,AB=5,AC=4.若△ACD的周长为10,求△ABD的周长.
解:∵△ACD的周长为10,
∴AC+AD+CD=10.
∵AC=4,∴AD+CD=6.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∵AB=5,
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+CD=11.
图3
[方法归纳] (1)三角形中线将三角形分成面积相等的两部分;
(2)等底不等高的三角形面积之比等于高之比;
(3)等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
3.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是( )
A.2 B.3
C.6 D.不能确定
A
4.如图,在△ABC中,AD为中线,E为AC上一点,CE=2AE,连结BE与AD交于点O.若△ABC的面积为18,则△BOD的面积为 .
三角形的角平分线
如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,BD是∠ABC的平分线,∠BDC=87°,求∠A的度数.
解:∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABD.
设∠CBD=∠ABD=x,则∠ABC=∠C=2x.
在△BCD中,∠C+∠DBC+∠BDC=180°,
即2x+x+87°=180°,解得x=31°.
∴∠ABC=∠C=2x=62°,
∴∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-62°-62°=56°.
5.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是( )
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
D
6.(1)如图,△ABC的三条角平分线交于点I,则有∠BAD= ,∠ABE= ,
∠ACB=2 =2 ;
∠CAD
∠ABC
∠ACF
∠BCF
(2)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,
AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,
交BE于点H,下列结论:①△ABE的面积=△BCE的面积;
②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④AD=2.4.
其中正确的有 .(填序号)
①②③(共18张PPT)
第2课时 三角形的外角及外角和
1.三角形外角的性质
(1)三角形的一个外角与它相邻的内角 .
(2)三角形的一个外角等于 的两个内角的和.
(3)三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角.
2.三角形的外角和
三角形的外角和等于 .
互补
与它不相邻
大于
360°
注意:三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.因为三角形的每个外角与它相邻的内角是互补的,由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三个外角和是360°.
3.基本几何图形
三角形外角的性质
(1)如图1,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是( )
A.75°
B.55°
C.40°
D.35°
C
(2)如图2,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC的平分线与△ABC的外角角平分线交于点E,则∠E= 度.
图2
35
1.(2026·重庆南开)如图,在△ABC中,∠C=70°,l1∥l2.若∠2比∠1的3倍还多10°,则∠2的度数为 .
100°
2.在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,BD的延长线交△ABC的外角∠ACM的平分线于点E,直线CE与直线AB交于点F.
(1)当∠BAC>90°时,探究∠CDE与∠F的关系.
①如图1,当∠ABC=26°时,求∠CDE和∠F的度数;
解:(1)①∵∠ABC=∠ACB,∠ABC=26°,BD平分∠ABC,
∴∠CDE=∠CBD+∠ACB=∠ABC+∠ABC=∠ABC=39°.
∵CF平分∠ACM,
∴∠F=∠MCF-∠ABC=∠MCA-∠ABC=×(180°-∠ACB)-∠ABC=×(180°-∠ABC)-∠ABC=90°-∠ABC=90°-×26°=51°.
②如图1,当∠ABC=38°时,求∠CDE和∠F的度数;
②当∠ABC=38°时,∠CDE=∠ABC=57°,
∠F=90°-∠ABC=90°-×38°=33°.
③由上述结果可以猜想当∠ABC的大小发生变化时,∠CDE与∠F之间的数量关系保持不变,这个数量关系用等式表示为 ;
∠CDE+∠F=90°
(2)如图2,当∠BAC<90°时,∠CDE与∠F之间又有怎样的数量关系呢 写出你的结论并说明理由.
(2)∠CDE-∠F=90°.理由如下:
∵∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,
∴∠CDE=∠CBD+∠ACB=∠ABC.
∵CE平分∠MCA,
∴∠BCF=∠MCE=∠MCA=×(180°-∠ACB)
=×(180°-∠ABC)=90°-∠ABC,
∴∠F=∠ABC-∠BCF=∠ABC-90°,
∴∠F=∠CDE-90°,∴∠CDE-∠F=90°.
三角形内角和与外角性质的应用
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿虚线剪去∠C,则∠1+∠2= ;
图1
270°
(2)如图2,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB.若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为( )
A.80° B.90°
C.100° D.110°
A
图2
解:(3)∵∠AFD=∠C+∠FDC,
∴∠C=∠AFD-∠FDC=160°-90°=70°,
∴∠B=∠C=70°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=40°.
又∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,
∴∠EDB=90°-∠B=90°-70°=20°,
∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-20°-90°=70°.
(3)如图3,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,
∠AFD=160°,求∠A、∠EDF的度数;
图3
(4)如图4,在△ABC中,点D在边AC上,∠A=∠3,
∠C=∠ABC=∠1,求∠1的度数.
(4)设∠A=x,则∠3=x.
∴∠1=∠3+∠A=2x,
∴∠1=∠C=∠ABC=2x.
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠1=72°.
图4
3.(2026·重庆巴蜀)如图,在△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,下面的结论错误的是 ( )
A.∠1=2∠2
B.∠BOC=3∠2
C.∠BOC=90°+∠1
D.∠BOC=90°+∠2
B
4.如图,在三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内.若∠1=20°,则∠2的度数为 .
60°
5.如图,在△ABC中,∠ACB>∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
解:(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,
∴∠BAC=60°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAB=30°.
∴∠ADC=∠B+∠DAB=65°.
∵PE⊥AD,∴∠E=90°-∠ADC=25°.
(2)当点P在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,并说明理由.
(2)∠E=(∠ACB-∠B).理由如下:
设∠ACB=m°,∠B=n°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=(180-n-m)°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=n°+(180-n-m)°=°.
∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,
∴∠E=90°-°=(m-n)°=(∠ACB-∠B).(共10张PPT)
8.3 用正多边形铺设地面
1.用相同正多边形能铺满地面的条件
围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个 .
用一种正多边形铺地面时,只有 、
、 三种能铺满地面.
2.用多种正多边形能铺满地面的条件
(1)拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 ;
(2)相邻的多边形有 .
周角
正三角形
正方形
正六边形
360°
公共边
用相同的正多边形铺设地面
(1)下面四种正多边形中,用同一种图形不能铺满地面的是 ( )
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.正十二边形
D
(2)在美化泸州的建设中,常用正多边形的瓷砖铺地面,在①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤正七边形中,如果限于用一种正多边形进行平面镶嵌,能单独镶嵌成一个平面的正多边形有( )
A.①②③ B.②③④
C.③④⑤ D.①②④
D
1.我们知道正五边形不能进行平面镶嵌.若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起,那么图中的∠1的度数是( )
A.18° B.30°
C.36° D.54°
C
2.用两个边长为1的正六边形拼接成如图1的图形,其周长为10;用三个边长为1的正六边形可以拼接成如图2或3的图形,其周长分别为12和14.若要拼接成周长为18的图形,所需这样的正六边形至少为x个,至多为y个,则x+y= .
11
用多种正多边形铺设地面
小芳家房屋装修时,选中了一种漂亮的正八边形地砖,建材店老板告诉她,只用一种正八边形地砖是不能密铺地面的,需要再选一种正多边形地砖,便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面密铺,小芳应选择另一种形状的地砖是 ( )
B
(2)(2025·陕西)如图,这是儿童玩具底板的一幅图案,供小朋友拼图用的是正方形木块和正n边形木块.由于小朋友只选了正方形木块,导致没有拼成.老师鼓励他再选取正n边形木块试试,他试了几次终于成功了.这里的n= .
8
3.下列组合不能密铺平面的是 ( )
A.正三角形、正方形和正六边形
B.正三角形、正方形和正十二边形
C.正三角形、正六边形和正十二边形
D.正方形、正六边形和正十二边形
C
4.用正方形和正三角形覆盖平面,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正三角形(mn≠0),则m= ,n= .
2
3
5.用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形能否镶嵌成平面图案 说明理由.
解:用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形不能镶嵌成平面图案,理由如下:
∵正方形的每个内角是90°,
正五边形的每个内角是=108°,
正十二边形的每个内角是=150°,
∴正方形的一个内角、正五边形的一个内角、正十二边形的一个内角的和是90°+108°+150°=348°<360°,
∴一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形镶嵌平面图案时有缝隙,
即用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形不能镶嵌成平面图案.(共11张PPT)
第1课时 多边形的内角和
1.多边形
一般地,由n条不在同一条直线上的线段____________组成的平面图形称为n边形.
2.正多边形
一般地,如果多边形的各边都 ,各内角也都 ,那么就称它为正多边形.如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等.
首尾顺次连结
相等
相等
3.对角线
连结多边形 的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.一般地,过n边形一个顶点可以作 条
对角线,n边形共有 条对角线.
4.n边形的内角和
过n边形一个顶点作对角线,可以将n边形分成 个三角形, n边形的内角和为 .
不相邻
(n-3)
(n-2)
(n-2)·180°
多边形的相关概念
(2)有下列说法:①各边相等的多边形是正多边形;②各角相等的多边形是正多边形;③正方形、梯形、半圆都是多边形;④由一些线段首尾顺次连结组成的图形叫多边形;⑤连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线;⑥三角形没有对角线.其中正确的是( )
A.①②⑤⑥ B.④⑤⑥ C.⑤⑥ D.③⑤⑥
C
[方法点拨] 判断某些选项也可举反例,只要找到一个反例,便可判断为错误.
(2)(2025·江西)过m边形的一个顶点能作6条对角线,过n边形的一个顶点可将这个n边形分成5个三角形,则m+n的值为 .
16
1.一个多边形的对角线的条数是它的边数的2倍,则这个多边形的边数是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后,变成一个四边形,则原多边形纸片的边数不可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.过十五边形的一个顶点可以作 条对角线,它们将这个多边形分成 个三角形.
A
D
12
13
多边形的内角和
(1)一个七边形的内角和等于 ( )
A.540° B.900° C.980° D.1 080°
(2)如图1,在五边形ABCDE中,AE∥CD,∠1=50°,
∠2=70°,则∠3的度数是( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
C
图1
B
(3)如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .
图2
360°
4.一个多边形的内角和是1 080°,则这个多边形的边数是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
5.如图,长方形的两个顶点在正五边形的边上.若∠1=42°,则∠2的度数为( )
A.12° B.24° C.42° D.48°
(第5题)
B
B
6.(1)第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色,正、反面的内周边缘均为正十一边形,则其内角和为 ;
(2)如图,点P是正六边形ABCDEF内的一点,连结AP、BP.若AP平分∠FAB,∠APB=40°,则∠CBP的度数为 .
[第6(1)题]
[第6(2)题]
1 620°
40°
7.(2025·山东)如图,已知∠BGF=160°,那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 .
320°
